1、4.1指数指数 4.1.1n 次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 学习目标1.理解 n 次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和 分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质 导语 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考 虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数， 也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2的诞生这就是本节课 我们要学习的根式 一、n 次方根 问题 1如果 x2a，那么 x 叫做 a 的什么？这样的 x 有几个？x3a 呢？ 提示如
2、果 x2a，那么 x 叫做 a 的平方根，这样的 x 有两个；如果 x3a，那么 x 叫做 a 的 立方根，这样的 x 有一个 问题 2类比平方根、立方根的概念，试着说说 4 次方根、5 次方根、10 次方根等，你认为 n 次方根应该是什么？ 提示比如(2)416，我们把2 叫做 16 的 4 次方根；(3)481，我们把3 叫做 81 的 4 次 方根；(2)532，我们把2 叫做32 的 5 次方根；(2)101 024，我们把2 叫做 1 024 的 10 次方根等类比上述过程，我们可以得到：如果 2na，那么我们把 2 叫做 a 的 n 次方 根 知识梳理 1n 次方根的定义 一般地，
3、如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*. 2n 次方根的性质 n 为奇数n 为偶数 aRa0a0a1) (4) n an|a| a，a0， a，a0 (n 为大于 1 的偶数) 注意点： (1)对于( n a)na，若 n 为奇数，则 aR；若 n 为偶数，则 a0；(2)( n a)n与 n an意义不同，比 如 3 333， 4 343，而( 4 3)4没有意义，故( n a)n n an； (3)当 a0 时， ( n a)n n an； 当 a0 且 n 为奇数时， ( n a)n n an； 当 a0 且 n 为偶数时， 对于 n an 要注意运算次
4、序 例 1(1)化简下列各式： 5 25( 5 2)5； 6 26( 6 2)6； 4 x24. 解原式(2)(2)4. 原式|2|2224. 原式|x2| x2，x2， x2，x2. (2)已知3x3，求 x22x1 x26x9的值 解原式 x12 x32|x1|x3|， 3x3， 当3x1 时， 原式(x1)(x3)2x2； 当 1x3 时，原式(x1)(x3)4. 原式 2x2，3x1， 4，1x3. 延伸探究在本例(2)中，若将“3x3”变为“x3”，则结果又是什么？ 解原式 x12 x32|x1|x3|. x3， x11. 二、分数指数幂 问题 3那么被开方数的指数不能被根指数整除的
5、根式，比如 3 a2， 4 a2， 3 a5， 9 a3，a0，是否 也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示 3 a2 2 3 a， 4 a2 2 4 a 1 2 a， 3 a5 5 3 a， 9 a3 3 9 a 1 3 a. 知识梳理 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： m n a n am(a0，m，nN*，且 n1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： 1 m n m n a a 1 n am (a0，m，nN*，且 n1)； (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 注意点：(1)分数指数幂 m n a不可理解为m n 个
6、 a 相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数 指数幂总表示正数，而不是负数 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： arasar s(a0，r，sQ)； (ar)sars(a0，r，sQ)； (ab)rarbr(a0，b0，rQ) 拓展：a r asa rs(a0，r，sQ) a b rar br(a0，r，sQ) 注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运 算 例 2(1)化简 1 3 125 27 的结果是() A.3 5 B.5 3 C3D5 (2) 3 a a(a0)的分数指数幂表示为() A 1 2 aB 3 2 aC
7、3 4 aD都不对 (3)化简 a 3 a2(a0)的结果是() A. 3 aB. 6 a7C.1 a 6 aD. 6 a 答案(1)A(2)A(3)B 解析(1)原式 1 3 3 5 3 5 3 13 5. (2)原式 1 3 2 a a 3 3 2 a 3 1 2 3 a 1 2 a. (3)原式 1 2 a 2 3 a 7 6 a 6 a7. 反思感悟根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性 质解题 跟踪训练 2(1)求值： 3 8 27_. (2)用分
8、数指数幂表示 a 5 1 a3(a0)_. 答案(1)2 3 (2) 2 5 a 解析(1)原式 1 3 8 27 1 3 3 2 3 2 3. (2)原式a 3 5 a 2 5 a. 三、有理数指数幂的运算性质 例 3(1) 1 211 2 1 332 65 a bab ab _.(式中的字母均是正数) 答案 1 a 解析原式 21 111 32 322 15 66 abab ab 1 11 155 5 1 3 22 366 6 6 1515 6666 abab a abab a 11 a. (2)计算： 25 9 1 3 8 27 (3)0 1 2 1 4 . 解原式5 3 2 3122.
9、 反思感悟关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减 (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错 跟踪训练 3(1) 1 2 1 2 4 (2)0 2 3 27 8 3 2 2； (2) 14113 33442 236xx yxy (x，y0) 解(1)原式 1 2 2 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 23 21 4 9 4 9 1 2. (2)原式 1 41 13 2 3 34 4 2 236xyx y . 1知识清单： (1)n 次方根的概念、表示及性质 (2)根式的概念及性质 (3)分数指数幂与根式的相互
10、转化 (4)分数指数幂的运算性质 2方法归纳：转化法 3常见误区： (1)对于 n a，当 n 为偶数时，a0. (2)混淆( n a)n和 n an. 1( 4 2)4运算的结果是() A2B2C2D不确定 答案A 解析( 4 2)42. 2若 a1 4，则化简 4a1 2的结果是( ) A4a1B14a C 4a1D 14a 答案B 解析a1 4， 4a10， 4a12|4a1|(4a1)14a. 3下列运算结果中，正确的是() Aa2a3a5B(a2)3(a3)2 C( a1)01D(a2)3a6 答案A 解析A 项，a2a3a2 3a5，故 A 项正确； B 项，(a2)3a6，(a3
11、)2a6，故 B 项错误； C 项，当 a1 时无意义，故 C 项错误； D 项，(a2)3a6，故 D 项错误 4计算：0.25 1 2 4420 1 2 1 16 _. 答案4 解析原式1 41641 1 4 1 4444. 课时对点练课时对点练 1若 a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是() A. 4 a2B. 5 aC. 5 aD. 4 a 答案D 解析当 a0，b0)的结果是() A.2a 3b B2a 3b C. 16 81a4b4 D 1 81a4b4 答案C 解析 3 8a 3 27b 3 4 4 33 3 3 2 3 a b 2a 1 3b 4 16 81a4b4. 4下
12、列等式一定成立的是() A 31 32 aaaB 11 22 aa0 C(a3)2a9D 11 3 1 26 aaa 答案D 解析同底数幂相乘，指数相加，故 A，B 错误；因为(am)namn,326，故 C 错误；同底 数幂相除，指数相减，故 D 正确 5若 a0，将 a2 a 3 a2 表示成分数指数幂，其结果是() A 1 2 aB 5 6 aC 7 6 aD 3 2 a 答案C 解析由题意得 a2 a 3 a2 1 1 2 2 3 a 7 6 a. 6(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是() A x 1 2 ()x B. 6 y2 1 3 y(y0) C 3 4 x 4 1 x
13、3(x0) D 3 42 3 ()x 1 2 x(x0) 答案BCD 解析A 项错误， x 1 2 x(x0)，而 1 2 ()x x(x0)； B 项正确， 6 y2 1 3 y(y0)； C 项正确， 3 3 4 4 1 x x 4 1 x 3(x0)； D 项正确， 3 1 31 2 42 33 42 () xxx (x0) 7当 x0 时，x 4 x4 3 x3 x _. 答案1 解析原式x|x|x xxx11. 8方程 3x 11 9的解是_ 答案x1 解析3x 11 93 2x12x1. 9化简下列各式： (1) 532 522； (2) 1x2 3x2(x1) 解(1) 532
14、522| 53| 52|3 5 521. (2)当 1x3 时， 1x2 3x2|1x|3x|x13x2； 当 x3 时， 1x2 3x2|1x|3x|x1x32x4. 所以原式 2，1x0，b0)； (2)求值： 23 5 022 1 2 1 2 4 0.010.5. 解(1) 211511 336622 263a ba ba b 2(6) 2111 1 5 32 62 3 6 ( 3)ab 5 3 36ab. (2) 23 5 022 1 2 1 2 4 0.010.5 11 4 11 22 41 9100 11 4 2 3 1 10 11 6 1 10 16 15. 11若 3 4 1 2x 有意义，则 x 的取值范围是() ARB. ，1 2 1 2， C. 1 2，D. ，1 2 答案D 解析将分数指数幂化为根式，可知需满足 12x0， 解得 x0，a 1 x k，b 1 y k，c 1 z k， 因此 abc 1111 11 yxyz xz k k kk k01.
