1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定 学习目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两 直线是否平行或垂直 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原 理过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使 设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能 感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 一、两条直线平行的判定 问题 1在平面几何中，两条平行直线被第三条
2、直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内 角有什么关系？ 提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补 问题 2平面中的两条平行直线被 x 轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因 此可以得出什么结论？ 提示两直线平行，倾斜角相等 知识梳理 对于斜率分别为 k1，k2的两条直线 l1，l2，有 l1l2k1k2. 注意点： (1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与 l2不重合 (2)k1k2l1l2或 l1与 l2重合(斜率存在) (3)l1l2k1k2或两条直线的斜率都不存在 例 1判断下列各题中的直线 l1与 l2是否平行：
3、 (1)l1经过点 A(1，2)，B(2,1)，l2经过点 M(3,4)，N(1，1)； (2)l1的斜率为 1，l2经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2经过点 M(1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点 A(3,2)，B(3,10)，l2经过点 M(5，2)，N(5,5) 解(1)k112 211，k 214 13 5 4，k 1k2，l1与 l2不平行 (2)k11，k221 211，k 1k2，故 l1l2或 l1与 l2重合 (3)k101 101，k 2 03 211，则有 k 1k2. 又 kAM 31 1021， 则 A，B
4、，M 不共线故 l1l2. (4)由已知点的坐标，得 l1与 l2均与 x 轴垂直且不重合，故有 l1l2. 延伸探究已知 A(2， m)， B(m,4)， M(m2,3)， N(1,1)， 若 ABMN， 则 m 的值为. 答案0 或 1 解析当 m2 时，直线 AB 的斜率不存在，而直线 MN 的斜率存在，MN 与 AB 不平行， 不符合题意； 当 m1 时，直线 MN 的斜率不存在，而直线 AB 的斜率存在，MN 与 AB 不平行，不符合 题意； 当 m2，且 m1 时，kAB 4m m2 4m m2， kMN 31 m21 2 m1. 因为 ABMN，所以 kABkMN， 即4m m2
5、 2 m1，解得 m0 或 m1. 当 m0 或 1 时，由图形知，两直线不重合 综上，m 的值为 0 或 1. 反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法 跟踪训练 1(1)已知 l1经过点 A(0,3)，B(5,3)，l2经过点 M(2,5)，N(6,5)，判断直线 l1与 l2是 否平行 解l1与 l2都与 y 轴垂直，且 l1与 l2不重合，l1l2. (2)试确定 m 的值，使过点 A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点 C(4,3)，D(0,5)的直线平行 解由题意知直线 CD 的斜率存在，则与其平行的直线 AB 的斜率也存在kAB m0 5m1 m 6m，k CD 53 04
6、1 2，由于 ABCD，所以 k ABkCD，即 m 6m 1 2，得 m2.经 验证，当 m2 时直线 AB 的斜率存在，所以 m2. 二、两条直线垂直的判定 问题 3平面中，两条直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，则两条直线的方向向量分别为 a(1， k1)，b(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示k1k21. 知识梳理 对应 关系 l1与 l2的斜率都存在，分别为 k1，k2，则 l1l2k1k21 l1与 l2中的一条斜率不存在，另一条斜 率为零，则 l1与 l2的位置关系是 l1l2 图示 注意点： (1)l1l2k1k21 成立的条件是两条直线的斜率都存
7、在 (2)当直线 l1l2时，有 k1k21 或其中一条直线垂直于 x 轴，另一条直线垂直于 y 轴；而若 k1k21，则一定有 l1l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另 一条直线的斜率 例 2已知ABC 的顶点为 A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC 为直角三角形，求 m 的 值 解若A 为直角，则 ACAB，kACkAB1， 即m1 25 11 151，解得 m7； 若B 为直角，则 ABBC，kABkBC1， 即11 15 m1 21 1，解得 m3； 若C 为直角，则 ACBC，kACkBC1， 即m1 25 m1
8、21 1，解得 m2. 综上所述，m7 或 m3 或 m2. 反思感悟判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1 即可；若有一条直线 与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直 跟踪训练 2(多选)下列各对直线互相垂直的是() Al1过点 M(1,1)，N(1,2)，l2过点 P(1,5)，Q(3,5) Bl1的斜率为2 3，l 2过点 P(1,1)，Q 0，1 2 Cl1的倾斜角为 30，l2过点 P(3， 3)，Q(4,2 3) Dl1过点 M(1,0)，N(4，5)，l2过点 P(6,0)，Q(1,3) 答案ABD 解
9、析A 中，l1与 x 轴垂直，l2与 x 轴平行，故两直线垂直； B 中，l2过点 P(1,1)，Q 0，1 2 ，kPQ3 2，故两条直线垂直 C 中，kPQ 3，故 l1不与 l2垂直 D 中，l1过点 M(1,0)，N(4，5)，kMN5 3 ，l2过点 P(6，0)，Q(1,3)，kPQ3 5，故两条 直线垂直 三、平行与垂直的综合应用 例 3已知 A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接 A，B，C，D 四点，试判定 四边形 ABCD 的形状 解A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB 53 24 1 3，k CD 03 36
10、 1 3，k AD 03 343，k BC35 62 1 2， kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合， ABCD. 由 kADkBC，AD 与 BC 不平行 又 kABkAD1 3(3)1， ABAD. 故四边形 ABCD 为直角梯形 反思感悟利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练 3已知点 A(0,3)， B(1,0)， C(3,0)， 求点 D 的坐标， 使四边形 ABCD 为直角梯形(A， B，C，D 按逆时针方向排列) 解设所求点 D 的坐标为(x，y)， 如图所示，由于 kAB3，kBC0， kABkBC01， 即 AB 与 BC 不垂直， 故 AB，BC 都不
11、可作为直角梯形的直角腰 (1)若 CD 是直角梯形的直角腰，则 BCCD，ADCD， kBC0， CD 的斜率不存在，从而有 x3. 又 kADkBC， y3 x 0，即 y3，此时 AB 与 CD 不平行， 故所求点 D 的坐标为(3,3) (2)若 AD 是直角梯形的直角腰，则 ADAB，ADCD， kADy3 x ，kCD y x3， y3 x 31， y3 x y x31， 解得 x18 5 ，y9 5， D 点坐标为 18 5 ，9 5 . 综上，D 点坐标为(3,3)或 18 5 ，9 5 . 1知识清单： (1)两直线平行的判定 (2)两直线垂直的判定 2方法归纳：分类讨论、数形
12、结合 3常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为 0 或斜率不存在的情况 1若过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2，1)和点 N(3,4)的直线平行，则 m 的 值是() A.1 3 B1 3 C2D2 答案B 解析由题意知，PQ 的斜率存在， 由 kPQkMN，即 2m2 3m 41 32 ，得 m1 3. 经检验知，m1 3符合题意 2(多选)已知直线 l1的斜率为 a，l1l2，则 l2的斜率可以为() A.1 a B1 a CaD不存在 答案BD 解析当 a0 时，由 k1k21 知，k21 a， 当 a0 时，l2的斜率不存在 3若直线 l1的倾斜角为
13、 135，直线 l2经过点 P(2，1)，Q(3，6)，则直线 l1与 l2的位 置关系是() A垂直B平行 C重合D平行或重合 答案D 解析直线 l1的倾斜角为 135， 故斜率 1 l ktan 1351. 由 l2经过点 P(2，1)，Q(3，6)， 得 2 l k61 32 1， 所以 12 ll kk， 所以直线 l1与 l2平行或重合 4已知ABC 的三个顶点分别是 A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点 D(m,1)在边 BC 的高所在的直线 上，则实数 m. 答案 5 2 解析设直线 AD，BC 的斜率分别为 kAD，kBC，由题意，得 ADBC， 则有 kADkBC1，
14、 所以有12 m2 31 401，解得 m 5 2. 课时课时对点对点练练 1过点 A(2,5)和点 B(4,5)的直线与直线 y3 的位置关系是() A相交B平行C重合D以上都不对 答案B 解析斜率都为 0 且不重合，所以平行 2直线 l1的倾斜角130，直线 l1l2，则直线 l2的斜率为() A 3 3 B. 3 3 C 3D. 3 答案C 解析如图，直线 l1的倾斜角130，直线 l1l2，则 l2的倾斜角等于 3090120， l2的斜率为 tan 120tan 60 3. 3已知两条直线 l1，l2的斜率是方程 3x2mx30(mR)的两个根，则 l1与 l2的位置关系 是() A
15、平行B垂直 C可能重合D无法确定 答案B 解析由方程 3x2mx30，知m243(3)m2360 恒成立 故方程有两相异实根，即 l1与 l2的斜率 k1，k2均存在设两根为 x1，x2，则 k1k2x1x21， 所以 l1l2，故选 B. 4若直线 l1的斜率 k13 4，直线 l 2经过点 A(3a，2)，B(0，a21)，且 l1l2，则实数 a 的 值为() A1B3 C0 或 1D1 或 3 答案D 解析因为 l1l2， 所以 k1k21， 即3 4 a212 03a 1， 解得 a1 或 a3. 5(多选)设平面内四点 P(4,2)，Q(6，4)，R(12,6)，S(2,12)，下
16、面四个结论正确的是() APQSRBPQPS CPSQSDPRQS 答案ABD 解析由斜率公式知， kPQ42 64 3 5，k SR126 212 3 5，k PS122 24 5 3，k QS124 26 4，kPR 62 124 1 4， PQSR，PQPS，PRQS.而 kPSkQS， PS 与 QS 不平行，故 ABD 正确 6已知 A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点 D 满足 CDAB，CBAD，则 D 点的坐 标为() A(1,0)B(0，1) C(1,0)D(0,1) 答案D 解析设 D(x，y)， 则 kCDy0 x3 y x3，k ADy1 x1. kA
17、B21 213，k CB20 232， 又 CDAB，CBAD， kCDkAB1， kADkCB， y x331， y1 x12， x3y3， 2xy1， x0， y1， 即 D(0,1) 7 已知点 A(2， 5)， B(6,6)， 点 P 在 y 轴上， 且APB90， 则点 P 的坐标为 答案(0，6)或(0,7) 解析设点 P 的坐标为(0，y) 因为APB90， 所以 APBP， 又 kAPy5 2 ，kBPy6 6 ，kAPkBP1， 所以y5 2 y6 6 1， 解得 y6 或 y7. 所以点 P 的坐标为(0，6)或(0,7) 8若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)，(3
18、b,3a)，其中 ab3，则线段 PQ 的垂直平 分线的斜率为 答案1 解析由过两点的直线的斜率公式可得 kPQ3ab 3ba1， 所以线段 PQ 的垂直平分线的斜率 为1. 9当 m 为何值时，过两点 A(1,1)，B(2m21，m2)的直线： (1)倾斜角为 135； (2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直； (3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行 解(1)由 kABm3 2m2 tan 1351， 解得 m3 2或 m1. (2)由 kABm3 2m2 ，且72 03 3， 得m3 2m2 1 3， 解得 m3 2或 m3. (3)令m3 2m2 93 422，解得 m
19、3 4或 m1. 经检验，当 m3 4或 m1 时，均符合题意 10已知在ABCD 中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4) (1)求点 D 的坐标； (2)试判定ABCD 是否为菱形？ 解(1)设 D 点坐标为(a，b)，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 kABkCD，kADkBC， 所以 02 51 b4 a3， b2 a1 40 35， 解得 a1， b6. 所以 D(1,6) (2)因为 kAC42 311，k BD 60 151， 所以 kACkBD1， 所以 ACBD，所以ABCD 为菱形 11(多选)已知点 A(m,3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1，0)
20、，且直线 AB 与直线 CD 平行， 则 m 的值为() A1B0 C1D2 答案BC 解析当 m0 时，直线 AB 与直线 CD 的斜率均不存在且不重合，此时 ABCD. 当 m0 时，kABm43 2mm ，kCD 20 m11， 则 kABkCD，即m1 m 2 m，得 m1，m0 或 1. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以 O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列 各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A(3,1)B(4,1) C(2,1)D(2，1) 答案A 解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即AOBC1，ABOC2，AOC3B.根
21、据平行四边形的性质，可知 B，C，D 分别是点 C1，C2，C3的坐标，故选 A. 13 已知ABC 的顶点 B(2,1)， C(6,3)， 其垂心为 H(3， 2)， 则其顶点 A 的坐标为 答案(19，62) 解析设 A(x，y)， 因为 ACBH，ABCH，且 kBH1 5，k CH1 3， 所以 y3 x65， y1 x23， 解得 x19， y62. 所以 A(19，62) 14 已知点 A(1,3)， B(4,2)， 以 AB 为直径作圆， 与 x 轴有交点 C， 则交点 C 的坐标是 答案(1,0)或(2,0) 解析以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则 ACBC.设
22、 C(x,0)，则 kAC 3 x1，k BC 2 x4， 所以 3 x1 2 x41，解得 x1 或 x2， 所以交点 C 的坐标是(1,0)或(2,0) 15直线 l 的倾斜角为 30，点 P(2,1)在直线 l 上，直线 l 绕点 P(2,1)按逆时针方向旋转 30后 到达直线 l1的位置，此时直线 l1与 l2平行，且 l2是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m1)， B(m,2)，则 m. 答案4 3 解析如图，直线 l1的倾斜角为 303060， 直线 l1的斜率 k1tan 60 3. 由 l1l2知，直线 l2的斜率 k2k1 3. 直线 AB 的斜率存在，且 kAB1
23、k2 3 3 . m12 1m m3 1m 3 3 ， 解得 m4 3. 16已知 M(1，1)，N(2,2)，P(3,0) (1)求点 Q 的坐标，满足 PQMN，PNMQ； (2)若点 Q 在 x 轴上，且NQPNPQ，求直线 MQ 的倾斜角 解(1)设 Q(x，y)，由已知得 kMN3， 由 PQMN，可得 kPQkMN1， 即 y x331. 由已知得 kPN2， 由 PNMQ，可得 kPNkMQ， 即y1 x12. 联立求解得 x0，y1，即 Q(0,1) (2)设 Q(x,0)， NQPNPQ， kNQkNP. 又kNQ 2 2x，k NP2， 2 2x2，即 x1， Q(1,0) 又M(1，1)， MQx 轴， 故直线 MQ 的倾斜角为 90.
