1、习题课习题课与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几 何问题的思想 导语 2017 年 7 月我国首座海上风电平台 4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达 60 公里 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号已知基站在海面上的信 号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少 呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题) 一、与距离有关的最值问题 1圆外一点到圆上任意一点距离的最小值dr，最大值dr. 2直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值dr，最大值dr. 3
2、过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值2 r2d2，最大值2r. 4直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 d2r2. 例 1(1)当直线 l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)被圆 C：(x1)2(y2)225 截得 的弦最短时，m 的值为_ 答案3 4 解析直线 l 的方程可化为(2xy7)mxy40，所以直线 l 会经过定点 2xy70， xy40， 解得定点坐标为 M(3,1) ， 圆心 C 为(1,2)， 当直线 l 与 CM 垂直时， 直线被圆截得的弦长最短， kCM21 13 1 2，k l2m1 m1 ，所以 kCMkl 1 2 2m1 m1 1，解得 m3
3、 4. (2)已知圆 C：x2y22x4y10 关于直线 l：3ax2by40 对称，则由点 M(a，b)向圆 C 所作的切线中，切线长的最小值是() A2B. 5C3D. 13 答案B 解析因为圆 C：x2y22x4y10，即圆 C：(x1)2(y2)24， 所以圆心为 C(1，2)，半径 R2. 因为圆 C 关于直线 l：3ax2by40 对称， 所以 l：3a4b40，所以点 M(a，b)在直线 l1：3x4y40 上， 所以|MC|的最小值为 d|384| 5 3，切线长的最小值为 d2R2 94 5. 反思感悟(1)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点
4、(a，b)的距离 的平方的最值问题 (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的 最值 跟踪训练 1(1)从点 P(1，2)向圆 x2y22mx2ym20 作切线，当切线长最短时，m 的值为() A1B1C2D0 答案B 解析x2y22mx2ym20 可化为(xm)2(y1)21，圆心 C(m，1)，半径为 1， 切线长最短时，|CP|最小，|CP| m129， 即当 m1 时，|CP|最小，切线长最短 (2)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦长为_ 答案2 2 解析设点 A(3,1)，易知圆心 C(2,2)，半径 r2. 当弦过
5、点 A(3,1)且与 CA 垂直时为最短弦， |CA| 232212 2. 半弦长 r2|CA|2 42 2. 最短弦长为 2 2. 二、与面积相关的最值问题 例 2已知点 O(0,0)，A(0,2)，点 M 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，则OAM 面积的最 小值为() A1B2C3D4 答案A 解析根据题意，得圆(x3)2(y1)24 的圆心为(3，1)，半径 r2， O(0,0)，A(0,2)，OA 所在的直线是 y 轴， 当 M 到直线 AO 的距离最小时，OAM 的面积最小， 则 M 到直线 AO 的距离的最小值 d321， 则OAM 的面积最小值 S1 2|OA|d1. 反思
6、感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形 的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想， 利用数形结合思想求解 跟踪训练 2(1)直线 ykx3 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点，则OAB 面积的最大值 为() A1B.1 2 C. 2 4 D. 3 4 答案B 解析设圆心到直线的距离为 d(0d0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条 切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k_. 答案2 解析圆 C：x2y22y0 的圆心为 C(0,1)，半径 r1， 由圆的性质可知，
7、四边形的面积 S2SPBC， 又四边形 PACB 的最小面积是 2，则 SPBC的最小值为 S11 2r|PB| min1 2|PB| min， 则|PB|min2， 因为|PB| |PC|2r2 |PC|21， 所以当|PC|取最小值时，|PB|最小 又点 P(x，y)是直线 kxy40 上的动点， 当 CP 垂直于直线 kxy40 时，|PC|最小，即为圆心 C(0,1)到直线的距离， 所以 |14| k21 2 212 5，解得 k2，因为 k0，所以 k2. 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题 例 3已知点 P(x，y)在圆 C：x2y26x6y140 上 (1)求y x的最大值和
8、最小值； (2)求 x2y22x3 的最大值与最小值； (3)求 xy 的最大值与最小值 解方程 x2y26x6y140 可化为(x3)2(y3)24. (1)y x表示圆上的点 P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然 PO(O 为坐标原点)与圆 相切时，斜率最大或最小 设切线方程为 ykx(由题意知，斜率一定存在)，即 kxy0，由圆心 C(3,3)到切线的距离等 于半径 2，可得|3k3| k212，解得 k 92 14 5 ，所以y x的最大值为 92 14 5 ，最小值为92 14 5 . (2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圆上的点 P 到 E(1,0)的距离的平
9、方再加 2，所以 当点 P 与点 E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点 E 在圆 C 的外部，所以点 P 与点 E 距离的最大值为|P1E|CE|2，点 P 与点 E 距离的最小值 为|P2E|CE|2.又|CE| 312325，所以 x2y22x3 的最大值为(52)2251， 最小值为(52)2211. (3)设 xyb，则 b 表示动直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线 y xb 与圆(x3)2(y3)24 相切时，b 取得最大值或最小值，此时圆心 C(3,3)到切线 x yb 的距离等于圆的半径 2，则|33b| 1212
10、 2，即|b6|2 2，解得 b62 2，所以 xy 的最大值为 62 2，最小值为 62 2. 反思感悟(1)形如 uyb xa形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最 值问题 (2)形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 ya bx l b的截距的最值问题 跟踪训练 3(多选)已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则下列说法正确的是() Ayx 的最大值为 62 Bx2y2的最大值为 74 3 C.y x的最大值为 3 2 Dxy 的最大值为 2 3 答案AB 解析对于 A，设 zyx，则 yxz，z 表示直线 yxz 的纵截距，当直线与圆(x2
11、)2 y23 有公共点时，|2z| 2 3，解得 62z 62，所以 yx 的最大值为 62， 故 A 说法正确； 对于 B，x2y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为 2， 则原点到圆上的最大距离为 2 3，所以 x2y2的最大值为(2 3)274 3，故 B 说法正 确； 对于 C，设y xk，把 ykx 代入圆方程得(1k 2)x24x10，则164(1k2)0，解得 3k 3，y x的最大值为 3，故 C 说法错误； 对于 D，设 mxy，则 yxm，m 表示直线 yxm 的纵截距，当直线与圆(x2)2 y23 有公共点时， |2m| 2 3， 解得 62
12、m 62， 所以 xy 的最大值为 62， 故 D 说法错误 1知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题 (2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题 2方法归纳：数形结合、转化思想 3常见误区：忽略隐含条件导致范围变大 1圆 x2y24 上的点到直线 4x3y250 的距离的取值范围是() A3,7B1,9 C0,5D0,3 答案A 解析x2y24，圆心(0,0)，半径 r2， 圆心到直线 4x3y250 的距离 d |0025| 42325， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为 523， 最大值为 527，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为3,7 2已知 O 为坐标原点，点 P 在单位圆
13、上，过点 P 作圆 C：(x4)2(y3)24 的切线，切点 为 Q，则|PQ|的最小值为() A. 3B2 3C2D4 答案B 解析根据题意，圆 C：(x4)2(y3)24，其圆心 C(4,3)，半径 r2，过点 P 作圆 C：(x 4)2(y3)24 的切线，切点为 Q，则|PQ| |PC|24，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点 P 在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|1 91614，则|PQ|的最小值为 1642 3. 3点 M(x，y)在圆 x2(y2)21 上运动，则y x的取值范围是( ) A 3，) B. (， 3 C. (， 3 3，) D. 3， 3 答案C 解析将
14、y x看作圆上动点(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率，如图，可得 k 3或 k 3. 4已知圆 C1：x2y24x4y0，动点 P 在圆 C2：x2y24x120 上，则PC1C2面积 的最大值为_ 答案4 5 解析因为 C1(2,2)，r12 2，C2(2,0)，r24， 所以|C1C2| 222222 5， 当 PC2C1C2时，PC1C2的面积最大，其最大值为1 22 544 5. 课时课时对点对点练练 1已知过点(1,1)的直线 l 与圆 x2y24x0 交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为() A. 2B2C2 2D4 答案C 解析将圆的方程 x2y24x0 化为标准方程为
15、(x2)2y24， 则圆心为(2,0)，半径 r2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为 2， |AB|的最小值为 2 22 222 2. 2已知点 P 是直线 3x4y50 上的动点，点 Q 为圆(x2)2(y2)24 上的动点，则|PQ| 的最小值为() A.19 5 B.9 5 C.5 9 D.29 5 答案B 解析圆(x2)2(y2)24 的圆心为(2,2)，半径为 2， 则圆心到直线 3x4y50 的距离为|685| 5 19 5 ， 所以|PQ|的最小值为19 5 29 5. 3已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则 y2x 的最小值和最大值分别为() A9,1B10
16、,1 C9,2D10,2 答案A 解析y2x 可看作是直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图所示， 当直线 y2xb 与圆 x2y24x10 相切时， b 取得最大值或最小值， 此时|22b| 122 5， 解得 b9 或 1，所以 y2x 的最大值为 1，最小值为9. 4已知直线 l：xy40 与圆 C：(x1)2(y1)22，则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最 小值为() A. 2B. 3C1D3 答案A 解析由题意知，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线 l 的距离减去圆 的半径，即 |114| 1212 2 2. 5在平面直角坐标系 xOy 中，已知(
17、x12)2y215，x22y240，则(x1x2)2(y1y2)2 的最小值为() A. 5 5 B.1 5 C.121 5 D.11 5 5 答案B 解析由已知得点(x1，y1)在圆(x2)2y25 上，点(x2，y2)在直线 x2y40 上， 故(x1x2)2(y1y2)2表示(x2)2y25 上的点和直线 x2y40 上点的距离的平方， 而距离的最小值为 |24| 14 5 5 5 ， 故(x1x2)2(y1y2)2的最小值为1 5. 6已知点 P 是直线 l：3x4y70 上的动点，过点 P 引圆 C：(x1)2y2r2(r0)的两条 切线 PM，PN，M，N 为切点，则当 PM 的最
18、小值为 3时，r 的值为() A2B. 3C. 2D1 答案D 解析如图，由题意得|PM|2|PC|2r2， 当 PCl 时，|PC|最小时，|PM|最小 由题意得|PC|mind|31407| 3242 2， 所以( 3)222r2，r1. 7在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所 有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 答案(x1)2y22 解析直线 mxy2m10 恒过定点(2，1)， 圆心(1,0)到直线 mxy2m10 的最大距离为 d 21212 2， 半径最大为 2， 半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22. 8已知圆 C：(x4
19、)2(y3)24 和两点 A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆 C 上存在点 M， 使得 AMMB，则 m 的最小值为_ 答案3 解析根据题意，点 A(m，0)，B(m，0)(m0)， 则 AB 的中点为(0,0)，|AB|2m， 则以 AB 的中点为圆心，半径 r1 2|AB|的圆为 x 2y2m2，设该圆为圆 O， 若圆 C 上存在点 M，使得 AMMB， 则圆 C 与圆 O 有交点，必有|m2|OC|m2， 即 |m2|5， m25， 又由 m0， 解得 3m7， 即 m 的最小值为 3. 9已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3) (1)求|MQ|
20、的最大值和最小值； (2)若 M(m，n)，求n3 m2的最大值和最小值 解(1)由圆 C 的方程 x2y24x14y450 化为标准方程得(x2)2(y7)28， 圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 2， 又|QC| 2227324 2， |MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2. (2)由题可知n3 m2表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30， 则n3 m2k. 由直线 MQ 与圆 C 有交点，得|2k72k3| 1k2 2 2， 可得 2 3k2 3， n3 m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. 10已
21、知直线 l：3x4y10，一个圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心 C 到直线 l 的距离为 3. (1)求圆的方程 (2)P 是直线 l 上的动点，PE，PF 是圆的两条切线，E，F 分别为切点，求四边形 PECF 的面 积的最小值 解(1)圆与 x，y 轴正半轴都相切， 圆的方程可设为(xa)2(ya)2a2(a0)， 圆心 C 到直线的距离为 3， 由点到直线的距离公式，得 d|3a4a1| 3242 3， 解得 a2， 半径为 2. 圆的方程为(x2)2(y2)24. (2)PE，PF 是圆的两条切线，E，F 分别为切点， PCEPCF， S四边形PECF2SPCE，PE 是
22、圆的切线，且 E 为切点， PECE，|CE|2，|PE|2|PC|2|CE|2|PC|24， 当斜边 PC 取最小值时，PE 也最小，即四边形 PECF 的面积最小|PC|min即为 C 到 l 的距 离， 由(1)知|PC|min3， |PE|2min3245，即|PE|min 5， SPCE1 2|EC|PE| 1 22 5 5， 四边形 PECF 面积的最小值为 2 5. 11设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，则|PQ|的最小值为 () A6B4C3D2 答案B 解析如图，圆心 M(3，1)与定直线 x3 的最短距离为|MQ|3(3)6.又因为圆
23、的 半径为 2，故所求最短距离为 624. 12已知 AC，BD 为圆 O：x2y24 的两条互相垂直的弦，且垂足为 M(1， 2)，则四边形 ABCD 面积的最大值为() A5B10C15D20 答案A 解析如图，作 OPAC 于 P，OQBD 于 Q，则|OP|2|OQ|2|OM|23，|AC|2|BD|2 4(4|OP|2)4(4|OQ|2)20.又|AC|2|BD|22|AC|BD|，则|AC|BD|10， S四边形ABCD1 2|AC|BD| 1 2105， 当且仅当|AC|BD| 10时， 等号成立， 四边形 ABCD 面积的最大值为 5. 13已知圆 C 的方程为(x2)2(y1
24、)25，点 B 的坐标为(0,2)，设 P，Q 分别是直线 l：x y20 和圆 C 上的动点，则|PB|PQ|的最小值为_ 答案2 5 解析由于点 B(0,2)关于直线 l：xy20 的对称点为 B(4，2)， 则|PB|PQ|PB|PQ|BQ|， 又 B到圆上点 Q 的最短距离为|BC|R3 5 52 5， 所以|PB|PQ|的最小值为 2 5. 14已知实数 x，y 满足方程 y x24x1，则y x的取值范围是_ 答案0， 3 解析方程 y x24x1化为(x2)2y23(y0)，表示的图形是一个半圆，令y xk，即 ykx，如图所示，当直线与半圆相切时，k 3，所以y x的取值范围是
25、0， 3 15已知直线 l：xy1 与圆 M：x2y22x2y10 相交于 A，C 两点，点 B，D 分别 在圆 M 上运动，且位于直线 AC 两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值为_ 答案30 解析把圆 M：x2y22x2y10 化为标准方程为(x1)2(y1)23，圆心 M(1，1)， 半径 r 3.直线 l 与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距 d|111| 1212 2 2 ，由勾股 定理得半弦长3 2 2 2 10 2 ， 所以弦长|AC|2 10 2 10. 又 B， D 两点在圆上， 并且位于直线 l 的两侧， 四边形 ABCD 的面积可以看成是ABC和ACD 的面积之和，当
26、 B，D 为如图所示位置，即 BD 为弦 AC 的垂直平分线时(即为直径)，两三角 形的面积之和最大，即四边形 ABCD 的面积最大，最大面积为 S1 2|AC|BE| 1 2|AC|DE| 1 2|AC|BD| 1 2 102 3 30. 16已知圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l：4x3y60 切于点 M 3 5， 6 5 . (1)求圆 C 的标准方程； (2)已知 N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线 l1与圆 C 交于 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 求证：1 x1 1 x2为定值； 求|PN|2|QN|2的最大值 (1)解由圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l：4x3y6
27、0 切于点 M 3 5， 6 5 ，设 C(a，0)， 直线 l：4x3y60 的斜率为4 3， 则 kCM 6 5 3 5a ， 所以 6 5 3 5a 4 3 1， 所以 a1， 所以 C(1,0)，|CM| 13 5 2 6 5 22， 即 r2， 所以圆 C 的标准方程为(x1)2y24. (2)证明设直线 l1：ykx(k0)，与圆联立方程组可得(1k2)x22x30， 412(1k2)0，x1x2 2 1k2，x 1x2 3 1k2， 则 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 2 3为定值 解|PN|2|QN|2(x12)2(y11)2(x22)2(y21)2 (x12)2(kx11)2(x22)2(kx21)2 (1k2)(x1x2)22(1k2)x1x2(42k)(x1x2)10 124k 1k2 16， 令 t3k(t3)， 则 kt3， 所以124k 1k2 16 4t 1t3216 4 t10 t 6 16 4 2 106162 1022， 当且仅当 t10 t ，即 t 10时，取等号，此时 k 103， 所以|PN|2|QN|2的最大值为 2 1022.
