1、第五章综合检测第五章综合检测 时间：时间：120 分钟分钟分值：分值：150 分分 第第卷卷(选择题，共选择题，共 60 分分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1下列函数零点不能用二分法求解的是(C) Af(x)x31Bf(x)lnx3 Cf(x)x22x1Df(x)x24x1 解析：对于 C，f(x)(x1)20，不能用二分法 2下列方程在区间(0,1)存在实数解的是(C) Ax2x30B.1 2x10 C.1 2xlnx0 Dx2lgx0 解析：x2x30 的实数解为 x1 13 2 和 x1 13 2
2、 ，不属于区间(0,1)；1 2x10 的实数解为 x2， 不属于区间(0,1)；x2lgx0 在区间(0,1)内无解故选 C. 3函数 f(x)1 xlnx 的零点个数为( B) A0B1 C2D3 解析：函数 f(x)1 xlnx 的零点个数等价于函数 y 1 x(x0)与函数 ylnx(x0)图象交点的个数，在同一坐标系中， 作出它们的图象，如图： 由图象可知，两函数图象有 1 个交点，即函数 f(x)的零点个数为 1，故选 B. 4我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝(dB)，对于 一个强度为 I 的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10
3、lg I I0(其中 I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则 70 dB 的声音的声波强度 I1是 60 dB 的声音的声波强度 I2的(C) A.7 6倍 B10 7 6倍 C10 倍Dln 7 6倍 解析：由10lg I I0得 II 010 10，所以 I 1I0107，I2I0106，所以I1 I210，所以 70 dB 的声音的声波强度 I 1是 60 dB 的声音的声波强度 I2的 10 倍 5已知 s 是函数 f(x)的一个零点，且 x1s0Bf(x1)f(x2)0 Cf(x1)f(x2)0D以上答案都不对 解析：零点存在定理的逆命题不一定成立，故 f(x1)f(x2)的值不
4、确定 6函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( C) A(1,3)B(1,2) C(0,3)D(0,2) 解析：易知函数 f(x)在(1,2)内单调递增，因为 f(x)的一个零点在区间(1,2)内， 所以 f10， 即 22a0， 解得 0a0，b0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其称为“囧函数”若函 数 f(x)ax 2x1(a0，且 a1)有最小值，则当 c1，b1 时的“囧函数”与函数 ylog a|x|的图象的交点个数为 (C) A1B2 C4D6 解析：f(x)，且 f(x)有最小值，a1. 在同一坐标系中作出函数 y
5、 1 |x|1与 ylog a|x|的图象，如图所示 由图象知，当 c1，b1 时的“囧函数”与函数 yloga|x|的图象有 4 个交点，故选 C. 8已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若 f 1 2 0f( 3)，则方程 f(x)0 的根的个 数是(D) A2B2 或 1 C3D2 或 3 解析：f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)的图象关于 y 轴对称，又 f(x)在(0，)上是减函数，且 f 1 2 0f( 3)， f(x)在(0，)上有且仅有 1 个零点，则 f(x)在(，0)上也仅有 1 个零点，若 f(x)在 R 上连续，则 f(x)0 有
6、两个 根若 f(x)在 R 上不连续，f(x)为偶函数，不连续点有可能在原点，则 f(x)0 可能有 3 个根综上，方程 f(x)0 的根的个数是 2 或 3. 二、 多项选择题(本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多个选项符合题目要求 全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9设方程|x23|a 的解的个数为 m，则 m 可能等于(BCD) A1B2 C3D4 解析：在同一坐标系中分别画出函数 y1|x23|和 y2a 的图象，如图所示 易知方程解的个数为 0 或 2 或 3 或 4，不可能有 1 个解故选 BCD.
7、10已知定义在2,2上的函数 yf(x)和 yg(x)的图象如图所示 下列命题中正确的是(ACD) A方程 f(g(x)0 有且仅有 6 个根 B方程 g(f(x)0 有且仅有 3 个根 C方程 f(f(x)0 有且仅有 5 个根 D方程 g(g(x)0 有且仅有 4 个根 解析：当 x2，1时，g(x)2,2，f(g(x)有且仅有 3 个零点；当 x(1,2时，g(x)2,2)，f(g(x)有 且仅有 3 个零点， 所以方程 f(g(x)0 有且仅有 6 个根 同样的方法可得方程 g(g(x)0 有且仅有 4 个根 当 x2， 1时，f(x)2,1，g(f(x)有且仅有 2 个零点；当 x(
8、1,1时，f(x)1,1)，g(f(x)有且仅有 1 个零点，当 x(1,2 时，f(x)(1，2，g(f(x)有且仅有 1 个零点，所以方程 g(f(x)0 有且仅有 4 个根，同样的方法可得方程 f(f(x)0 有且仅有 5 个根故选 ACD. 11已知实数 a，b 满足等式 1 2 a 1 3 b，则下列五个关系式中不可能成立的是( CD) A0baBab0 C0abDbab0；若 a，b 为负数，则 ab0；若 ab0，则 1 2 a 1 3 b1，故选 CD. 12设函数 f(x) |log2x|，02， 若实数 a，b，c 满足 0abc，且 f(a)f(b)f(c)则下列结论恒成
9、立 的是(ABC) Aab1Bca3 2 Cb2 4 ac0 Dac2b 解析：由题意得实数 a，b，c 满足 0abc，且 f(a)f(b)f(c)，结合图象，可得log2alog2blog1 2 c3 2 ，即 a1 bc 3 2，且 1 2a1，可得 ab1 和 ca 3 2恒成立，即 A，B 恒成立；又由 b 24 ac 1 a2 4 a a3 2 3 1 2a a2 a3 2 0，所 以 b2 4 ac0，所以 C 恒成立；又由 ac2b2a 3 2 2 a 3 2， 3 2 ，当1 2a1 时，ac2b 的符号不能确定，所以 D 不恒成立，故选 ABC. 第第卷卷(非选择题，共非选
10、择题，共 90 分分) 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13方程 lg xx2 的根 x0(k，k1)，其中 kZ，则 k1. 解析：令 f(x)lgxx2，显然 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(1)0，所以 f(x)在(1,2)上有唯一一个零 点，即方程 lg xx2 在(1,2)上只有一个根，又知 x0(k，k1)，所以 k1. 14某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元若公司拟定的奖励模型为 yalog4xb.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额
11、应为 1_024 万元 解析：依题意得 alog48b1， alog464b4， 即 3 2ab1， 3ab4. 解得 a2，b2. 所以 y2log4x2，当 y8 时，即 2log4x28. 解得 x1 024(万元) 15设函数 f(x) 2xa，x1， 4xax2a，x1， 若 a1，则 f(x)的最小值为1；若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的 取值范围是 1 2，12，) 解析：a1 代入解析式得 f(x) 2x1，x1， 4x1x2，x1. 当 x1 时，12x11，即1f(x)1， 当 x1 时，f(x)4(x1)(x2)，函数的对称轴为 x3 2，故 f(x)f 3
12、2 1. 综上可得 f(x)的最小值为1； f(x) 2xa，x1， 4xax2a，x1. 当 a1 时， f(x)在 x1 上有 2 个零点，要使 f(x)恰有 2 个零点，则 21a0，故 a2. 当 a1 时，要使 f(x)恰有 2 个零点，则 a0， 解得1 2a1. 综上，a 1 2，12，) 16方程 x2 2x10 的解可视为函数 yx 2的图象与函数 y1 x的图象交点的横坐标若方程 x 4ax4 0 的各个实根 x1，x2，xk(k4)所对应的点 xi，4 xi(i1,2，k)均在直线 yx 的同侧，则实数 a 的取值范围是( ，6)(6，) 解析：方程 x4ax40 可以转
13、化为 x3a4 x， 在同一直角坐标系中分别画出函数 yx， y4 x，yx 3的图象，如图所示 由 yx， y4 x 可得 x12， y12， 或 x22， y22， 则得 A(2,2)，B(2，2) 将 yx3的图象向下移动到点 A 时，得到 a6，再向下移动，则满足题意，此时 a6， 综上可知，实数 a 的取值范围是(，6)(6，) 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10 分)设函数 f(x)|1 1 x|(x0) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0ab，且 f(a)f(b)时，求1 a 1 b的值； (3)若方程
14、 f(x)m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围 解：(1)如图所示 (2)因为 f(x)|1 1 x| 1 x1，x0，1， 11 x，x1， 故 f(x)在(0,1上是减函数，而在1，)上是增函数， 由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且1 a11 1 b，所以 1 a 1 b2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当 0m 4 3，故第 4 年长得较快 19(12 分)已知函数 f(x)2x 1 2|x|. (1)求函数 yf(x)的零点的集合； (2)设 g(x) fx，x0， fx1，1x0， 当 x0 时，易知 f(x)2x 1 2x单调递增， f(x)f(0)0，
15、 函数 yf(x)的零点的集合为x|x0 (2)g(x) 2x 1 2x，x0， 2x 11 2x 1，1x0， 当1x0 时，g(x)单调递增，则 g(1)g(x)g(0)，0g(x)3 2，g(x) 0，3 2 . 当 x0 时，g(x)单调递增，则 g(x)g(0)0. 又当 x时，g(x)，g(x)0，) 结合及 yg(x)的图象(如图)可知：当 a0 时，没有零点；当 0a3，解得 x40 3 10. 所以，10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元 (2)任取 x1，x2N*，且 1x10， 所以 608002 000a0，解得 a0， g30， g20， 解得 3m4. 所以
16、实数 m 的取值范围是3,4) 根据根与系数的关系，可知 t1t24， 即 log2log24， 所以 log2()4，2 41 16. 22(12 分)房屋造价(单位：元/m2)与建筑层数有关，等于一般造价(单位：元/m2)乘以层数系数，根据数据，绘 出了层数系数与层数 n 的关系，如图所示，其中 2 层到 5 层的建筑由于共用地基和层顶等原因，随层数增加沿抛物 线下降，沿 5 层到 8 层及以上的建筑则由于防震、防风等因素需增加成本，随层数增加而增加 (1)请根据所给图与表格建立随层数 n 增加而改变的函数关系式f(n)(2n8，nN)，并将表中数据填完整： n12345678 1.251
17、.081.0311.081.171.26 (2)某单位为建造楼房筹集资金 100 万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为 800 元/m2，土 地价为 300 元/亩 1 亩2 000 3 m2 ，试利用(1)中的条件求该单位的总建房面积的最大值(精确到 1 m2) 解：(1)由题可知，当 2n5，nN时，f(n)的图象为抛物线上的一些孤立的点，所以设an2bnc，将 (2,1.08)，(3,1.03)，(4,1)代入，得 1.084a2bc， 1.039a3bc， 116a4bc， 解得 a0.01， b0.1， c1.24， 所以0.01n20.1n1.24. 当 5n8，
18、nN时，观察图形，三点似乎在同一条直线上，所以设knd，将(6,1.08)和(8,1.26)代入，得 1.086kd， 1.268kd， 解得 k0.09， d0.54， 所以0.09n0.54， 通过验证知(7,1.17)正好在此直线上 故所求函数 0.01n20.1n1.24，2n5，nN， 0.09n0.54，5n8，nN. 把 n5 代入上式，得0.99. 故表中的空格里应填 0.99. (2)设所建楼房占地面积为 x m2， 由(1)知当 n5 时，造价最低，此时0.99，故总建房面积为 5x m2，其总造价为 0.998005x x 2 000 3 300， 依题意得 1 000 0000.998005x 9 20 x， 解得 5x1 262， 即该单位的总建房面积的最大值为 1 262 m2.
