1、课时作业课时作业15函数的单调性和最值函数的单调性和最值 时间：时间：45 分钟分钟 一、选择题 1函数 f(x)x2x1 的单调递增区间为(D) A. 1 2，B. 1 2， C. ，1 2D. ，1 2 解析：根据题意，由已知得 f(x) x1 2 23 4，所以函数在 ，1 2 上为增函数，故选 D. 2若 f(x)在 R 上是减函数，则 f(1)与 f(a21)之间有(B) Af(1)f(a21)Bf(1)f(a21) Cf(1)f(a21)Df(1)f(a21) 解析： f(x)在 R 上是减函数，对任意 x1，x2， 若 x1f(x2)又1f(a2 1) 3当 x4 时，x 4 x
2、1的最小值为( D) A5B4 C.11 2 D.16 3 解析： 因为 x 4 x1x1 4 x11， 令 tx1， 所以 g(t)t 4 t 1(t3)， 由对勾函数的单调性可知： g(t)在3，)上单调递增，所以 g(t)ming(3)16 3 .故选 D. 4已知函数 f(x)2x1 x1 ，其定义域是8，4)，则下列说法正确的是(A) Af(x)有最大值5 3，无最小值 Bf(x)有最大值5 3，最小值 7 5 Cf(x)有最大值7 5，无最小值 Df(x)有最大值 2，最小值7 5 解析：f(x)2x1 x1 2x23 x1 2 3 x1，由函数的单调性定义可知， f(x) 2x1
3、 x1 在8，4)上单调 递减，所以 f(x)有最大值 f(8)281 81 15 9 5 3，无最小值即 f(x)有最大值 5 3，无最小值故选 A. 5已知函数 f(x)在(0，)上是减函数，则 f(3.14)，f(3)，f()的大小关系正确的是(C) Af(3.14)f()f(3) Bf(3)f()f(3.14) Cf()f(3.14)f(3) Df(3.14)f(3)f() 解析：33.14，又函数 f(x)在(0，)上是减函数，f()f(3.14)0，在其定义域内下列函数为增函数的是(BC) Ayaf(x)(a 为常数)Byaf(x)(a 为常数) Cy 1 fx Dyf(x)2 解
4、析：f(x)在定义域内是减函数，且 f(x)0 时，f(x)， 1 fx均为增函数，故选 BC. 二、填空题 9 如果一元二次函数 f(x)x2(a1)x5 在区间 1 2，1上单调递增， 则实数 a 的取值范围为(， 2 解析：函数 f(x)x2(a1)x5 的对称轴为 xa1 2 ，且在区间 1 2，1上单调递增，a1 2 1 2，即 a2. 10函数 f(x)2x23|x|的单调递减区间是 ，3 4 和 0，3 4 . 解析：函数 f(x)2x23|x| 2x23x，x0， 2x23x，x4， 其最大值为交点的纵坐标，所以 f(x)的最大值为 6. 三、解答题(解答应写出必要的文字说明、
5、证明过程或演算步骤) 12已知函数 f(x)x2 x. (1)求它的定义域和值域； (2)用单调性的定义证明：f(x)在(0， 2)上单调递减 解：(1)函数的定义域是x|x0， 当 x0 时，x2 x2 2， 当且仅当 x2 x，即 x 2时等号成立， 当 x0，x 2 x2 2， 即 x2 x2 2， 当且仅当x 2 x，即 x 2时等号成立 函数 f(x)的值域是(，2 22 2，) (2)证明：设 0 x1x2 2，则 f(x1)f(x2) x1 2 x1 x2 2 x2x1x2x1x22 x1x2 . 0 x1x2 2，x1x20,0 x1x22， x1x220，即 f(x1)f(x
6、2)， f(x)在(0， 2)上单调递减 13已知函数 f(x)x22x3. (1)求 f(x)在区间2a1,2上的最小值 g(a)； (2)在(1)的条件下，求 g(a)的最大值 解：(1)f(x)(x1)22，f(2)3，f(0)3， 当 2a10，即 a1 2时，f(x) minf(2a1)4a28a6；当 02a12，即1 2a 3 2时，f(x) minf(2) 3. 所以 g(a) 4a28a6，a1 2， 3，1 2a 3 2. (2)当 a1 2时，g(a)4a 28a6 单调递增， g(a)g 1 2 3； 又当1 2a0 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 C若 x1x2
7、，则 f(a)f(x1)f(x2)0 解析：因为 f(x)在a，b上是增函数，对于任意的 x1，x2a，b(x1x2)，x1x2与 f(x1)f(x2)的符号相 同，故 A，B，D 都正确，而 C 中应为若 x1x2，则 f(a)f(x1)f(x2)f(b) 15已知函数 f(x) 2x x1a 在区间3,5上恒成立，则实数 a 的最大值是( D) A3B.1 3 C.2 5 D.5 2 解析： 因为 f(x) 2x x1 2x12 x1 2 2 x1， 所以函数 f(x)在3,5上单调递减， 函数 f(x)的最小值为 f(5) 5 2，所以 a 5 2，a 的最大值是 5 2.故选 D. 1
8、6已知函数 f(x) a2x5 2，x1， x272ax1，x0； 一元二次函数 yx2(72a)x1 在区间(，1)上为增函数，且该一元二次函数图象开口向下， 对 称 轴 为 直 线 x 72a 2 ， 则 72a 2 1. 且 有 a 2 5 2 1 7 2a 1 ， 于 是 有 a20， 72a 2 1， a25 2172a1， 解得13 6 a5 2， 因此，实数 a 的取值范围是 13 6 ，5 2 . 17已知一次函数 f(x)是 R 上的增函数，g(x)f(x)(xm)，且 f(f(x)16x5. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 g(x)在(1，)上单调递增，求实数 m 的取值范围 解：(1)由题意，设 f(x)axb(a0) 从而 f(f(x)a(axb)ba2xabb16x5， 所以 a216， abb5， 解得 a4， b1 或 a4， b5 3 (不合题意，舍去)所以 f(x)的解析式为 f(x)4x1. (2)g(x)f(x)(xm)(4x1)(xm)4x2(4m1)xm，g(x)图象的对称轴为直线 x4m1 8 . 若 g(x)在(1，)上单调递增，则4m1 8 1，解得 m9 4，所以实数 m 的取值范围为 9 4，.
