1、全册综合检测全册综合检测 时间：时间：120 分钟分钟分值：分值：150 分分 第第卷卷(选择题，共选择题，共 60 分分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1设全集为 R，集合 Mx|x24，Nx|log2x1，则 MN(C) A2,2B(，2) C(2，)D(2，) 解析：由于 Mx|x24x|x2，或 x2故选 C. 2下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(，0)上单调递增的函数是(C) Af(x)x2Bf(x)2|x| Cf(x)log2 1 |x| Df(x)x|x| 解析：根据题意，依次分析选项
2、：对于 A，yx2，为一元二次函数，其对称轴为 y 轴，在其定义域内 是偶函数但在(，0)上单调递减，不符合题意；对于 B，y2|x| 2x，x0， 2 x，x0， log2x，x0， 在其定义域内既是偶函数又在(，0)上单调递增，符合题意；对于 D，yx|x| x2，x0， x2，xyz，则|xy|yz| B若1 a 1 bb 2 C若 ab，cd，则 acbd D若 a2xa2y，则 xy 解析：由题意，A 中，例如 123，此时|1(2)|(2)(3)|，所以 A 不正确；B 中，若1 a 1 b0， 则 baab，所以 B 不正确；C 中，例如12，34，则1(3)a2y，则 a2(x
3、y)0，则 xy0，则 xy，所以 D 正确故选 D. 5已知函数 f(x)ax2x，若对任意 x1，x22，)，且 x1x2，不等式fx1fx2 x1x2 0 恒成立，则实 数 a 的取值范围是(D) A. 1 2，B. 1 2， C. 1 4，D. 1 4， 解析：不妨设 x2x12，则 fx1fx2 x1x2 ax21x1ax22x2 x1x2 ax1x2x1x2x1x2 x1x2 a(x1x2)1，对任意 x1，x22，)，且 x1x2， 不等式fx1fx2 x1x2 0 恒成立，x2x12 时，a(x1x2)10，即 a 1 x1x2恒成立x 2x12， 1 x1x2 1 4，a 1
4、 4，即 a 的取值范围为 1 4，.故选 D. 6函数 f(x)xa满足 f(2)4，那么函数 g(x)|loga(x1)|的图象大致为(C) 解析：函数 g(x)|loga(x1)|的定义域为x|x1，从而排除 B、D.x0 时，g(x)0，排除 A.故选 C. 7如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到 t0时刻水灌满容器时停止注水， 此时水面高度为 h0.水面高度 h 是时间 t 的函数，这个函数图象只可能是(C) 解析：容器是球形，两头体积小，中间体积大，在一开始单位时间内高度的增长速度变慢，超过球心 后高度的增长率变快，根据图象增长率可得对应的图象是 C. 8定义
5、一种新运算：ab b，ab， a，a2， log 2x，0 x2， 作出函数 f(x)的图象如图，函数 g(x)f(x)k 恰有 两个零点可转化为 f(x)与 yk 有两个不同的交点，故 1k2.故选 B. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合 题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9设全集为 U，在下列选项中，是 BA 的充要条件的为(ABCD) AABAB(UA)B C(UA)(UB)DA(UB)U 解析：由 Venn 图可知，A、B、C、D 都是充要条件故选 ABCD. 10如下命题中为
6、真命题的是(BD) Ax(0，)， 1 2 xlog1 3 x Cx(0，)， 1 2 xlog1 2 x Dx 0，1 3 ， 1 2 x0)，因为 x0，所以该幂函数在(0，)上单调递增，因为1 2 1 3，所以 1 2 x 1 3 x恒成立，故 A 是错误的；对 B 选项，如图所示，ylog1 2 x 的图象为虚线部分，ylog1 3 x 的图象为 实线部分，显然x(0,1)，使得 log1 2 xlog1 3 x 成立，故 B 正确；对 C 选项，x(0，)，0 1 2 xlog1 2 x 不会恒成立，故 C 错误；对 D 选项，x 0，1 3 ，由指数 函数 y 1 2 x的图象知，
7、函数 值恒小于 1，由对数函数 ylog1 3 x 的图象知，函数值恒大于 1，所以 1 2 xlog1 3 x 恒成立，故 D 正确故 选 BD. 11对于实数 x，符号x表示不超过 x 的最大整数，例如3，1.082，定义函数 f(x)xx， 则下列命题中正确的是(ACD) Af(3.9)f(4.1) B函数 f(x)的最大值为 1 C函数 f(x)的最小值为 0 D方程 f(x)1 20 有无数个根 解析：f(3.9)(3.9)3.93.9(4)0.1，f(4.1)4.14.14.140.1，A 正确；显然 x 1xx，因此 0 xx1，所以 f(x)无最大值，但有最小值且最小值为 0，
8、B 错误，C 正确；方程 f(x) 1 20 的解为 xk 1 2(kZ)，D 正确故选 ACD. 12在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是 1.6，全年比赛失球个数的标准差为 1.2；二队 每场比赛平均失球数是 2.2，全年失球个数的标准差是 0.5.下列说法正确的是(ABCD) A平均说来，一队比二队防守技术好 B二队比一队技术水平更稳定 C一队有时表现很差，有时表现又非常好 D二队很少不失球 解析：一队每场比赛平均失球数是 1.6，二队每场比赛平均失球数是 2.2，所以从平均数的角度来说一 队比二队防守技术好，A 正确；一队全年比赛失球个数的标准差为 1.2，二队全年失球个数的标
9、准差是 0.5， 所以二队比一队技术水平更稳定，B 正确；一队全年比赛失球个数的标准差为 1.2，二队全年失球个数的标 准差是 0.5，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，C 正确；二队每场比赛平均失球数是 2.2，全年 失球个数的标准差是 0.5，所以二队很少不失球，D 正确故选 ABCD. 第第卷卷(非选择题，共非选择题，共 90 分分) 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两个数之和等于 4 的概率是1 3. 解析：集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数有 236 种可能
10、结果，其两数之和为 4 的情况有两种：22,13，这两数之和等于 4 的概率为2 6 1 3. 14关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1,3) 解析：由于不等式 axb0 的解集是(1，)，所以 a0 且b a1，故 ab0，即(x1)(x3)0，解得1x3. 15若函数 f(x) x x2xa为奇函数，则实数 a 的值为 2，且当 x4 时，f(x)的最大值为 1 3. 解析：由于函数 f(x)为奇函数，故 f(x)f(x)0，即 x x2xa x x2xa0，即 42ax2 x2x2xaxa0，故 42a0，a2.所以 f(x) x x24.当 x4 时，f(x) 1 x4 x ，注
11、意到 y x4 x在4，)上单调递增，故 x 4 x4 4 43，所以 00)的最小值为 3. 解析：因为在(3)中，对任意 a，bR，(a*b)*cc*(ab) (a*c)(b*c)5c，令 c0，代入得， (a*b)*001,x)1x1 x.因为 x0， 所以由基本不等式可得 f(x)1x1 x3，当且仅当 x1 时等号成立，所以最小值为 3. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10 分)已知命题 p：实数 x 满足 x26x50，命题 q：实数 x 满足 m1xm1. (1)当 m5 时，若 p 和 q 均为真命题，求实数 x
12、 的取值范围； (2)若 q 是 p 的充分条件，求实数 m 的取值范围 解：(1)由题意 p：1x5，q：4x6， p，q 都为真命题，4x5. (2)q 是 p 的充分条件，则x|m1xm1是x|1x5的子集， m11， m15， 2m4. 18(12 分)根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM2.5 的年平均浓度不得超 过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米某城市环保部门随机抽取了一居 民区去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据统计如下： 组别 PM2.5 浓度 (微克/立方米) 频数(天)频率 第一
13、组(0,2530.15 第二组(25,50120.6 第三组(50,7530.15 第四组(75,100)20.1 (1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中， 随机抽取2天求恰好有一天PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率； (2)求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是 否需要改进？说明理由 解： (1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75内的三天记为A1， A2， A3， PM2.5的24小时平均浓度在(75,100) 内的两天记为 B1，B2. 所以 5 天任取 2 天的
14、情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共 10 种 其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共 6 种所以所求的概率为 6 10 3 5. (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为： 12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5(微克/立方 米) 因为 42.535，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要 改进 19(12 分)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)，且 x0 时 f(x)x22 x. (1)求 x0
15、 时 f(x)的解析式； (2)求证：f(x)在1，)上为增函数； (3)解关于 x 的不等式 f(2x6)f(4x32x3) 解：(1)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)，则 f(0)0， 当 x0 则 f(x)x22 x， f(x)f(x)x22 x， 综上所述，当 x0 时，f(x) 0，x0， x22 x，x0. (2)证明：任取 x1，x21，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)x22 2 x2x 2 1 2 x1(x 2 2x21) 2 x2 2 x1(x2 x1) x2x1 2 x1x2， 1x10，x2x12， 2 x1x20， 即 f(x2)f(x1)，f(x)在1，
16、)上为增函数 (3)2x66,4x32x33， 根据(2)及题意知，f(2x6)f(4x32x3)，可得 2x64x32x3， 设 2xt(t0)，则 t6t23t3，即 t22t30，0t1，即 02x1，解得 x0. 故不等式的解集为x|x0 20 (12 分)某班级 50 名学生的考试分数 x 分布在区间50,100)内， 设分数 x 所属区间的分布频率是 f(x)， 且 f(x) n 100.4，10nx10n1，n5，6，7， n 5b，10nx10n1，n8，9. (1)求实数 b 的值； (2)估算 50 名学生的平均分； (3)考试成绩采用“5 分制”，规定：若考试分数在50,
17、60)内则成绩记为 1 分，若考试分数在60,70)内则 成绩记为 2 分，若考试分数在70,80)内则成绩记为 3 分，若考试分数在80,90)内则成绩记为 4 分，若考试分 数在90,100)内则成绩记为 5 分用分层抽样的方法，从班级中成绩为 1 分、2 分、3 分的学生中随机抽取 6 人， 再从这 6 人中抽出 2 人， 试分析这 2 人的成绩之和为 3 分、 4 分、 6 分的概率哪个最大(将频率视为概率) 解：(1)依题意得频率分布表如下： 分数50,60)60,70)70,80)80,90)90,100) 频率0.10.20.3b1.6b1.8 由 f(5)f(6)f(7)f(8
18、)f(9)1，所以 b1.9. (2)平均分约为 550.1650.2750.3850.3950.176(分) (3)由题意知，考试成绩为 1 分、2 分、3 分的频率分别是 0.1,0.2,0.3，故采用分层抽样的方法从成绩为 1 分、2 分、3 分的学生中抽取 6 人，应分别从成绩为 1 分、2 分、3 分的学生中抽取 1 人(记为 A)、2 人(记 为 B，C)、3 人(记为 D，E，F)，再从这些人中抽出 2 人包含的样本点为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)， (A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D
19、，F)，(E，F)，共 15 个 成绩之和为 4 分包含的样本点为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，共 4 个， 所以抽取 2 人的成绩之和为 4 分的概率 P1 4 15. 成绩之和为 3 分包含的样本点为(A，B)，(A，C)，共 2 个， 所以抽取 2 人的成绩之和为 3 分的概率 P2 2 15. 成绩之和为 6 分包含的样本点为(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 3 个， 所以抽取 2 人的成绩之和为 6 分的概率 P3 3 15 1 5. 综上，抽取 2 人的成绩之和为 4 分的概率最大 21(12 分)已知函数 f(x)x2，对任意实数 t，gt(x)tx1.
20、(1)h(x) x fxg t(x)在(0,2上是单调递减的，求实数 t 的取值范围； (2)若 f(x)mg2(x)对任意 x 0，1 3 恒成立，求正数 m 的取值范围 解：(1)由已知得：h(x) x fxg t(x)1 xtx1， 任取 0 x10 在(0,2上恒成立 x2x10,0 x1x20 在(0,2上恒成立，即 t 1 x1x2对 0 x 1 1 4，t 1 4， 实数 t 的取值范围是 ，1 4 . (2)法一：由 f(x)mg2(x)，得 x20， 又m0，1 m 1 x2 2 x. 又f(x)mg2(x)对任意 x 0，1 3 恒成立 1 m 1 x2 2 xmin，x
21、0，1 3 ， 1 x2 2 x 1 x1 21， 当 x1 3时，函数 y 1 x2 2 x取得最小值 3. 1 m0，m 1 3， 正数 m 的取值范围是 1 3，. 法二：由 f(x)mg2(x)，得 x22mxm0， 令 F(x)x22mxm，则 F(x)0 对任意 x 0，1 3 恒成立 F00， F 1 3 0， 即 m0， 1 9 2 3mm1 3. 正数 m 的取值范围是 1 3，. 22(12 分)已知函数 f(x)loga(ax1)(a0，a1) (1)当 a1 2时，求函数 f(x)的定义域； (2)当 a1 时，求关于 x 的不等式 f(x)m 对任意实数 x1,3恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)当 a1 2时，f(x)log1 2 1 2x1，故 1 2x10，解得 x1)，定义域为 x(0，)，用定义法易知，f(x)为 x(0，)上的 增函数，由 f(x)0， xm 对任意实数 x1,3恒成立，故 mg(x)minlog23.
