1、课时跟踪检测课时跟踪检测 15解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例 (对应学生用书 P099) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1某人遥控一机器人，让机器人从点 A 出发向正北方向走了 2 3 km 到达 点 B 后，向右转 105，然后朝新方向走了 x km 后到达点 C，结果发现机器人在 点 A 的东北方向，则 x 为() A. 3B2 3 C23或 2 2D2 2 解析由题意可知ACB60， 由正弦定理可得 2 3 sin60 x sin45， 即 x2 2. 答案D 2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 30(即BAC30
2、)的方向上；行驶 600 m 后到达 B 处，测得 此山顶在西偏北 75(即CBE75)的方向上，且仰角为 30，则此山的高度 CD () A300 6 mB150 3 m C100 6 mD100 3 m 解析由题意得在ABC 中，BAC30，ABC105，ACB45， AB600 m， 由正弦定理 BC sin30 AB sin45， BC300 2 m， 又仰角为 30， 即DBC 30，所以CD CBtan30，CD100 6 m，选 C. 答案C 3如图，在限速为 90 km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P，已知点 P 距测速区 起点 A 的距离为 0.07 km，距测速区终点
3、B 的距离为 0.04 km，且APB60， 现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3 s，则此车的速度介于() A60 至 70 km/hB70 至 80 km/h C80 至 90 km/hD90 至 100 km/h 解 析根 据 题 意 可 知 AP 70 m ， BP 40 m ， 则 有 AB 49001600270401 210 37， 而10 37 3 360012000 37 m/h12 37 km/h，因为 7012 3780，故选 B. 答案B 4北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15的看台 上，同一列上的第一排和最后一排测得
4、旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一 排和最后一排的距离为 106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上， 已知国歌长度为 50 秒，升旗手匀速升旗的速度为() A.3 5米/秒 B. 3 5 米/秒C. 6 5 米/秒D.1 5米/秒 解析由条件得ABD 中，DAB45，ABD105，ADB30，AB 10 6，由正弦定理得 BDsinDAB sinADBAB20 3，则在 RtBCD 中，CD 20 3sin6030，所以速度 v30 50 3 5米/秒，故选 A. 答案A 5江岸边有一炮台高 30 米，江中有两条船，则炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部
5、连线成 30角，则两条船相距()米() A10 3B100 3 C20 30D30 解析如图，过炮台顶部 A 作水平面的垂线，垂足为 B，设 A 处观测小船 C 的俯角为 45，设 A 处观测小船 D 的俯角为 30，连接 BC、BD，RtABC 中， ACB45， 可得 BCAB30 米， RtABD 中， ADB30， 可得 BD 3AB 303米， 在BCD 中，BC30 米，BD303米，CBD30，由余弦定理可得： CD2BC2BD22BCBDcos30900，CD30 米(负值舍去)，故选 D. 答案D 6已知在海中一孤岛 D 的周围有两个观察站 A、C，且观察站 A 在岛 D 的
6、 正北 5 海里处，观察站 C 在岛 D 的正西方现在海面上有一船 B，在 A 点测得 其在南偏西 60方向相距 4 海里处，在 C 点测得其在北偏西 30方向，则两个观 察站 A 与 C 的距离为() A. 21 2 B. 21C. 7D2 7 解析画出如右示意图 由题意可得，BCD120，又BAD60，所以 A，B，C，D 四点共圆， 且 AC 为直径、ABC90. 在BAD 中，AB4，AD5，BAD60， 由余弦定理得 BD2AB2AD22ABADcosBAD42522451 2 21， BD 21.AC2R BD sinBAD2 7(其中 R 为圆的半径)选 D. 答案D 二、填空题
7、 7我国南宋著名数学家秦九韶在数学九章的“田域类”中写道：问沙 田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为 田几何意思是已知三角形沙田的三边长分别为 13,14,15 里，请问此田面积为 _平方里 解析由题意画出图形：且 AB13 里，BC14 里，AC15 里， 在ABC 中，由余弦定理得，cosBAB 2BC2AC2 2ABBC 13 2142152 21314 5 13， 所以 sinB 1cos2B12 13， 则该沙田的面积：即ABC 的面积 S1 2ABBCsinB 1 21314 12 1384. 故答案为 84. 答案84 8如图，我舰在岛 A 南偏西
8、50方向相距 12 n mile 的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10的方向航行，若我舰以 28 n mile/h 的速度用 1 小时追上敌舰，则 敌舰的速度为_ n mile/h. 解析设敌舰的速度为 v，则BAC120，AB12，ACv1v，BC 28128， 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC， 即 282122v2212vcos120784， 解得 v20，即敌舰的速度为 20 海里/小时，故答案为 20. 答案20 9.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区 的一个出入口， 且小区里有一条平行于 AO 的
9、小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用 2 min，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的速度为每分钟 50 m， 则该扇形的半径为_ m. 解析依题意得 OD100 m，CD150 m，连接 OC，易知ODC180 AOB60， 因此由余弦定理有 OC2OD2CD22ODCDcosODC， 即 OC210 00022 50021001501 2，OC 217 500，OC50 7 m即该扇形的半径为 50 7 m. 答案50 7 m 10已知某台风中心位于海港城市 A 东偏北的 150 公里外，以每小时 v 公 里的速度向正西方向快速移动， 2.5 小时后到
10、达距海港城市 A 西偏北的 200 公里 处，若 4cos3cos，则风速 v 的值为_公里/小时 解析如图所示：AB150，AC200，B，C，在 RtADB 中， ADABsin150sin，BDABcos， 在 RtADC 中，ADACsin200sin，CDACcos. 150sin200sin， 即 3sin4sin， 又 cos3 4cos， 由解得 sin3 5，cos 4 5，sin 4 5，cos 3 5，BDABcos150 3 5 90，CDACcos2004 5160， BCBDCD90160250，v250 2.5 100，故答案为 100. 答案100 三、解答题
11、11为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考 点周围 1 km 内不能收到手机信号， 检查员抽查某市一考点， 在考点正西约 3 km 的 B 处有一条北偏东 60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至 少持续多长时间该考点才算合格？ 解检查开始处为 B，设公路上 C，D 两点到考点的距离均为 1 km. 在ABC 中，AB 3，AC1，ABC30，由正弦定理，得 sinACB ABsin30 AC 3 2 ， ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1. 在ACD 中，AC
12、AD，ACD60，ACD 为等边三角形，CD1. BC 12 605，在 BC 段需要 5 min， 在 CD 段需要 5 min.则最多需要 5 min，检查员开始收不到信号，并至少持 续 5 min. 12在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰，在 A 处收到某商 船在航行中发出求救信号后，立即测出该商船在方位角为 45、距离 A 处为 10 n mile 的 C 处，并测得该船正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度航行， “徐州”舰立即以 21 n mile/h 的速度航行前去营救 (1)“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，
13、“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进？(角 度精确到 0.1，时间精确到 1 min，参考数据：cos21.80.9286) 解(1)如图，由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在 B 处靠近 商船，从 A 处到靠近商船所用的时间为 x h. AB21x n mile，BC9x n mile，AC10 n mile.又ACB1245 (180105)120， 根据余弦定理， 可得 AB2AC2BC22ACBCcos120， 即(21x)2102(9x)2 2109xcos120， 即 36x29x100，解得 x12 3，x 2 5 12(舍去)故“徐州”舰最少需要 40 min 才能靠近商
14、船 (2)由(1)知 AB21x14 (n mile)， BC9x6 (n mile)， 由余弦定理可得 cosBACAB 2AC2BC2 2ABAC 14 210262 21410 0.928 6， BAC21.8， 故“徐州”舰前进的方位角约为 4521.866.8. 13海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙 秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞 的口径 A，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 C，D，测得 CD80， ADB135，BDCDCA15，ACB120，求 A，B 两点的距离？ 解由已知，ACD 中，ACD15，A
15、DC150， DAC15，由正弦定理得 AC80sin150 sin15 40 6 2 4 40( 6 2)， BCD 中，BDC15，BCD135， DBC30， 由正弦定理， CD sinCBD BC sinBDC， 所以 BCCDsinBDC sinCBD 80sin15 1 2 160sin1540( 6 2)； ABC 中，由余弦定理， AB2AC2BC22ACBCcosACB1 600(84 3)1 600(84 3) 21 600( 6 2)( 6 2)1 21 600161 60041 60020 解得 AB80 5， 两目标 A，B 间的距离为 80 5. 素养能力题从容有序
16、过 14如图，从高为 h 的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥 头(B)的俯角是，桥头(C)的俯角是，则桥 BC 的长为() A.sin coscosh B.cos sinsin h C.sin sinsin h D.cos coscos h 解析如图， 由题意得：ACD，ABD，ADh，在 RtACD 中， tanACDAD CD，即 tan h CD， 整理得：CD h tan；在 RtABD 中， tanABDAD BD，即 tan h BD，整理得：BD h tan， 则 BCCDBD h tan h tan cos sin cos sin h sincoscossi
17、n sinsin h sin sinsin h，故选 C. 答案C 15.如图， 游客从景点 A 下山至 C 有两种路径： 一种是从 A 沿直线步行到 C， 另一种是先从 A 乘缆车到 B， 然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、 乙两位游客从 A 下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 米/分钟在甲出发 2 分钟后，乙从 A 乘缆 车到 B，在 B 处停留 1 分钟后，再从 B 匀速步行到 C.已知缆车从 A 到 B 要 8 分 钟，AC 长为 1 260 米，若 cosA12 13，sinB 63 65.为使两位游客在 C 处互相等待的 时间不超过 3 分钟，则乙步行的速度 v(米/分钟
18、)的取值范围是_ 解析在ABC 中解三角形：已知 b1 260，cosA12 13， sinB 63 65，则：sinA 5 13， 由正弦定理可得：absinA sinB 1 260 5 13 63 65 500， 乙从 B 出发时， 甲已经走了 50(281)550 m， 还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min， 由题意得3500 v 710 50 3， 解得1 250 43 v625 14 ， 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应 控制在 1 250 43 ，625 14 范围内 答案 1 250 43 ，625 14 1
19、6.西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为 五边形 ABCDE，其中三角形区域 ABE 为球类活动场所；四边形 BCDE 为文艺活 动场所， AB， BC， CD， DE， EA 为运动小道(不考虑宽度)BCDCDE120， BAE60，DE2BC2CD6 千米 (1)求小道 BE 的长度； (2)求球类活动场所ABE 的面积最大值 解如图所示，连接 BD， (1)在三角形 BCD 中，BCCDDE 2 3 千米，BCD120， 由余弦定理得： BD2BC2CD22BCCDcosBCD27， 所以BD3 3(千 米) BCCD，BCD120，CDBCBD30，CDE12
20、0， BDECDECDB1203090. 在 RtBDE 中，BE BD2DE2 3 32623 7(千米)， 小道 BE 的长度为 37千米； (2)设ABE，BAE60， AEB180BAE18060120. 在三角形 ABE 中，由正弦定理可得： AB sinAEB AE sinABE BE sinBAE 3 7 3 2 2 21， AB2 21sin(120)，AE2 21sin， SABE1 2ABAEsin60 1 22 212 21 3 2 sin(120)sin 21 3 1 2 cos120cos120 21 3 2 cos(1202)21 3 4 ， 0120，1202120120， 故当60时，SADE取得最大值，最大值为21 3 2 21 3 4 63 3 4 . 球类活动场所ABE 的面积最大值为63 3 4 平方千米
