1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 复变函数全册配套最完整 精品课件 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 课程特点：课程特点： 1. 注意复变与微积分不同之处。注意复变与微积分不同之处。 4. 积分变换公式多，计算量大。积分变换公式多，计算量大。 3. 基本公式，基本公式， 定理掌握。定理掌握。 2. 复复-实实-复。复。 5. 类型问题和特殊情况。类型问题和特殊情况。 复变复变 函数函数 积分积分 变换变换 总结：总结：应用广泛。学好本门课程并不容
2、易。应用广泛。学好本门课程并不容易。 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 参考书目参考书目 1 钟玉泉钟玉泉 ， 复变函数论，复变函数论， 高等教育出版社高等教育出版社 2 复变函数与积分变换习题解答复变函数与积分变换习题解答 3 E.B.Saff, A.D.Snider等，复分析基础及等，复分析基础及 工程应用，机械工业出版社工程应用，机械工业出版社 4 自测题自测题 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答疑时间：星期一答疑时间：星期一18:00-19:30 地点：主楼答疑室地点：主楼答疑室 作业：每星期一晚作业：每星期一晚7点前点前 机动机动
3、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一节第一节 复数及其表示复数及其表示 一、复数的概念及代数运算 二、复数的几何表示 三、复数的积与商 四、小结与思考 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、复数的概念及代数运算 z = x + iy 虚虚 部部 实 部 虚数 单位 复数：复数： 或或 z = x+ yi.).Im(),Re( zyzx 记作记作 实部和虚部分别实部和虚部分别 1.复数的概念复数的概念 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 机动机动 目录目录
4、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n 对虚数单位的规定对虚数单位的规定: : ; 1)1( 2 i . )2( 四四则则运运算算 样样的的法法则则进进行行可可以以与与实实数数在在一一起起按按同同i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个 复数称为共轭复数. , zz 共共轭轭的的复复数数记记为为与与 . , iyxziyxz 则则若若 两复数两复数相等相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分别它们的实部和虚部分
5、别 相等相等. 复数复数 z 等于等于 0 当且仅当当且仅当它的实部和虚部同时它的实部和虚部同时 等于等于0. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习 复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43( 2 mm .)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65( 2 答案：答案： . 16)1( mm或或 . 4)2( m 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 复数的代数运算复数的代数运算 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 1. 两复数的两复数的和和(差差): ).()( 212121 yyixxzz 2. 两复数
6、的两复数的积积: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3. 两复数的两复数的商商: . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 共轭复数的性质共轭复数的性质: ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz );()Im()Re()3( 22 实数实数zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
7、 例例1 1 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx . 1 1i i i i 解解 , 2 1 )1)(1 ( )1 ( 1 ) 1 ( i ii ii i i i i i i i 2 1 2 31 1 i i i i 1 1 )2( ii ii )1( )1( 22 i i 1 21 2 )1)(21(ii . 2 1 2 3 i i i i 1 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2 解解 . 1 1 2 i i i i 计算计算 iii ii i i i i )1)(1( )1)(2( 1 1 2 ii iii 1 22 2 2 i
8、i 2 31 )2)(2( )2)(31( ii ii 22 2 1)2( 362 iii .1i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 解解 , 1 31 i i i z 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求 i i i z 1 31 )1)(1( )1(3 ii ii ii i , 2 1 2 3 i , 2 1 )Im(, 2 3 )Re( zz 22 )Im()Re(zzzz 22 2 1 2 3 . 2 5 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、复数的几何表示 r 1. 复平面的定义复平面的定义 ),(yxP x y x
9、y o iyxz 2. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) . 22 yxrz 记为记为 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 求复数求复数)1( 1 1 z z z 的实部、虚部和模的实部、虚部和模. 解解 因为因为 )1( )1( )1( )1( 1 1 zz zz z z 2 2 |1| Im2|1 z ziz 所以所以 , |1| |1 1 1 Re 2 2 z z z z , |1| Im2 1 1 Im 2 z z z z z z z z z z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 |1| Re2|
10、1 z zz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以所以 . |1| Re2|1 1 1 2 z zz z z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 z zOPz z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 ),(yxP x y o iyxz 说明说明.0有有无无穷穷多多个个辐辐角角任任何何一一个个复复数数 z ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数k kz , 0 , 0 , zz时时
11、当当特殊地特殊地辐角不确定辐角不确定. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 辐角辐角主值主值的定义的定义: .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记作记作的主值的主值称为称为 的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 , 0 x ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 辐辐角角的的主主值值0 z zarg , 0)(, 0 yx , 0)(, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2 ,)(arctan x y , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 zArg
12、 , 0 x ,sgn1 2 arctanx x y ,sgn 2 y , 0, 0 yx 无定义无定义 0, 0 yx 扩展：扩展：幅角的计算公式幅角的计算公式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 利用平行四边形法则求复数的和差利用平行四边形法则求复数的和差 x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减两个复数的加减法运算与相应的向量的加减 法运算一致法运算一致. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质 ;)1(
13、2121 zzzz .)2( 2121 zzzz , 2121 故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin ,cos ry rx 复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式 再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos ie i 复数可以表示成复数可以表示成 i rez 复数的指数表示式复数的指数表示式 欧拉介绍欧拉介绍 6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三
14、角表示和指数表示 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ; 5 cos 5 sin)2(;31)1( iziz 解解 zr )1(, 231 , 在在第第三三象象限限因因为为 z 1 3 arctan 所以所以, 3 2 故三角表示式为故三角表示式为, 3 2 sin 3 2 cos2 iz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 指数表示式为指数表示式为.2 3 2 i ez 5 cos 5 sin)2( iz 52 cos 5 sin, 10 3 cos 52
15、sin 5 cos, 10 3 sin 故三角表示式为故三角表示式为, 10 3 sin 10 3 cos iz 指数表示式为指数表示式为. 10 3 i ez 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6 . , 0 ,sincos1 的的辐辐角角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式与与指指数数表表示示 化化为为把把复复数数 z iz 解解 sincos1iz 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 i 2 cos 2 sin 2 sin2 i 2 sin 2 cos 2 sin2 i . 2 sin2 2 i e (三角式三角式) (指数式指数式) .
16、 2 arg z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7 7 . . : : , , 2 22 2 zzzz zz 11 21, 证明证明为两个任意复数为两个任意复数设设 证证 2 12 2 zz )( )( 2121 zzzz )( 2121 zzzz 21212211 zzzzzzzz 2121 2 2 2 1 zzzzzz , )Re(2 212121 zzzzzz 因为因为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 21 zz 2 2 2 1 zz )Re(2 21z z 21 2 2 2 1 2zzzz 21 2 2 2 1 2zzz
17、z ,)( 2 21 zz 两边同时开方得两边同时开方得. 2121 zzzz 思考：思考：已知已知z1, z2非零，非零，什么时候等式相等什么时候等式相等? 答案答案： 为正实数为正实数cczz, 21 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、乘积与商三、乘积与商 命题命题1 两复数相乘就是把模相乘两复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. . )sin()cos( 21212121 irrzz .ArgArg)(Arg 2121 zzzz 的的指指数数形形式式分分别别为为和和设设复复数数 21 zz , 1 11 i erz . )( 2121 21 i er
18、rzz则则, 2 22 i erz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 2 倍倍再再把把它它的的模模扩扩大大到到 r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 2121 ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集两
19、端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应. 例如，例如，, 1 21 izz 设设, 21 izz 则则 ), 2, 1, 0(,2Arg 1 nnz ), 2, 1, 0(,2 2 Arg 2 mmz ), 2, 1, 0(,2 2 )Arg( 21 kkzz . 1,2 2 )(2 2 3 nmkknm只须只须故故 , 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或则则 ?argarg)(arg 2121 zzzz 思考：思考： 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 命题命题2 商的模等于模的商商
20、的模等于模的商; 商的辐角等于辐角之差商的辐角等于辐角之差. , 1 2 1 2 z z z z .ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的的指指数数形形式式分分别别为为和和设设复复数数 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 则则, 2 22 i erz 练习：练习： 100 100 )( )( i i = 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8 8 解解 , 3 cos 3 sin ),31( 2 1 21 iziz已知已知 , 3 sin 3 cos 1 iz因为因为 , 6 sin 6 co
21、s 2 iz 63 sin 63 cos 21 izz所以所以 , i 63 sin 63 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3 i . 2 1 21 z z zz和和求求 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9 9 解解 . ,2 1 21 求求它它的的另另一一个个顶顶点点 和和点点为为已已知知正正三三角角形形的的两两个个顶顶izz o x y 1 1 z iz 2 2 3 z 3 z 3 13 zz 3 z 12 zz i e 3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )( 12 3 13 zzezz i o x y 1 1 z
22、iz 2 2 3 z 3 z 3 )1( 2 3 2 1 ii i 2 3 2 1 2 3 2 1 , 2 31 2 33 3 iz 所以所以. 2 31 2 33 3 iz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例10 证明：三角形的内角和是证明：三角形的内角和是. 证明：证明：设三角形三个顶点为设三角形三个顶点为 z1，z2，z3, 对应的三个对应的三个 12 13 arg zz zz 于是于是 = = 23 21 arg zz zz 顶角分别为顶角分别为 ， ， ， = 31 32 arg zz zz 1 z 2 z 3 z ox y 机动机动 目录目录 上页上页
23、 下页下页 返回返回 结束结束 由于由于 12 13 zz zz 23 21 zz zz 31 32 zz zz = 1 所以所以 + + = +2k ( k为某整数为某整数) 由假设由假设 0 , 0 , 0 , 所以所以 0 + + 0, 存在 N, 使得 nN 时，|zn|M. 对任意的M 0, 存在, 使得 |z-z0| M. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、解析函数三、解析函数 1.导数的定义: , , , )( 0 0 的范围的范围不出不出点点一点一点 中的中的为为内内定义于区域定义于区域设函数设函数 Dzz DzDzfw , )( . )( 0 0
24、 的导数的导数在在 这个极限值称为这个极限值称为可导或可微可导或可微在在那末就称那末就称 z zfzzf . )()( lim d d )( 00 0 0 0 z zfzzf z w zf z zz 记作记作 , )()( lim 00 0 存在存在如果极限如果极限 z zfzzf z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在定义中应注意: .)0( 00 的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzz . )()( , 00 00 都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值 时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即 z zfzzf zDzz . )( , )( 可导可
25、导内内在区域在区域就称就称 我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数 Dzf Dzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例 .)(的导数的导数求求 n zzf z zfzzf zf z )()( lim)( 0 解 z zzz nn z )( lim 0 ) ! 2 )1( (lim 21 0 zz nn nz nn z . 1 n nz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例 是否可导？是否可导？问问zzf )( z zfzzf z f zz )()( limlim 00 解 z zzz z 0 lim z z z 0 lim
26、 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz x y o z 0 y 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x y o z 0 y , 1lim 0 z z z ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 x 的的导导数数不不存存在在所所以以.)(zzf , 1lim 0 z z z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （C）等于 0 0 0 )Im()Im( lim 0zz zz zz 练习： i （A）等于 i （B）等于 （D）不存在 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.
27、 可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定 在 z0 处可导. .)()()()( 000 zzzzfzfzzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 . 解析函数的定义 . )( , )( 0 0 解析解析在在那末称那末称 的某个邻域内处处可导的某个邻域内处处可导在在如果函数如果函数 zzf zzf ).( )( .)( ,)( 全全纯纯函函数数或或正正则则函函数数个个解解析析函函数数 内内的的一一区区域域是是或或称称内内解解析析区区域域在在 则则称称内内每每一一点点解解析析区区域域在在如如果果函
28、函数数 DzfDzf Dzf 4. 奇点的定义 .)( , )( 00 的奇点的奇点 为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数 zf zzzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处 可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数f (z) 在点 z 可导是f (z) 在点 z 解析的 ( ) （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充
29、分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 练习 B 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理 . )( )( )( )1( 内解析内解析在在除去分母为零的点除去分母为零的点和、差、积、商和、差、积、商 的的与与内解析的两个函数内解析的两个函数在区域在区域 D zgzfD 并且并且内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于 都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对 如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数 内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数 , )( , )( , . )( , )( )2( DzgfwG hzgz
30、D Ghhfw Dzzgh z zg h f z zgf d )(d d d d )(d 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考：设f (z), g(z)是整函数,下列命题哪些是正确的？ f (z)g(z)是整函数f (z)/g(z)是整函数 f 3 (z) 是整函数 f (g(z)是整函数 4f (z)+ig(z)是整函数 f (1/z)是整函数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、解析的充分必要条件 定理一 . , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( x v y u y v x u yxyxvyxu yixzDz
31、fD yxivyxuzf 点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程 并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是 可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则内内 定义在区域定义在区域设函数设函数 柯西介绍 黎曼介绍 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证(1) 必要性. , )( , ),(),()( 可导可导内一点内一点在在且且 内内定义在区域定义在区域设设 yixzDzf Dyxivyxuzf 0, yixz则对于充分小的则对于充分小的 ,)()()()( zzzzfzfzzf 有有 , 0)(lim 0 z z 其中其中 ,)()( viuzfzzf 令令 ,)(i
32、bazf , )( 21 iz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 viu 所以所以 )(iba )(yix )( 21 i )(yix )( )( 12 21 yxyaxbi yxybxa , 21 yxybxau 于是于是 . 12 yxyaxbv , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与由此可知由此可知yxyxvyxu . , x v y u y v x u 且满足方程且满足方程 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2) 充分性. )()( zfzzf ),(),( ),(),( yxvyyxxvi yxuyyxxu , viu
33、由于 , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与又因为又因为yxyxvyxu |),(| 1 zy y u x x u u 于是于是 |),(| 2 zy y v x x v v ) , 2 , 1( , 0 | lim 0| k z k z 其中其中 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()( zfzzf因此因此 |).(|)(| 21 zizy y v i y u x x v i x u )()(zfzzf )(yix x v i x u |).(|)(| 21 zz , , 2 x v i x v y u y v x u 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 机动
34、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 z zfzzf)()( x v i x u . |)(|)(| 21 z izz z zfzzf zf z )()( lim)( 0 所以所以. x v i x u . ),(),()( 可导可导在点在点即函数即函数yixzyxivyxuzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 : ),(),()( , 处的导数公式处的导数公式点点 在在可得函数可得函数根据定理一根据定理一 yixz yxivyxuzf . 1 )( y v y u ix v i x u zf 内解析的充要条件内解析的充要条件函数在区域函数在区域
35、D . , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微 在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域 在其定义在其定义函数函数定理二定理二 D yxvyxuD yxivyxuzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解析函数的判定方法: . )( , )( )1( 内内是是解解析析的的在在解解析析函函数数的的定定义义断断定定 则则可可根根据据内内处处处处存存在在的的导导数数在在区区域域数数 导导法法则则证证实实复复变变函函如如果果能能用用求求导导公公式式与与求求 Dzf Dzf . )( ,R C ) ),( , (
36、, )( 2)( 内解析内解析在在的充要条件可以断定的充要条件可以断定 那么根据解析函数那么根据解析函数方程方程并满足并满足可微可微 因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在 内内在在中中如果复变函数如果复变函数 Dzf yxvu Dvuivuzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、典型例题 例4 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: ).Re()3( );sin(cos)()2(;)1( zzw yiyezfzw x 解 ,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 y v x v y u x u 不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解
37、析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )sin(cos)()2(yiyezf x ,sin,cosyevyeu xx ,sin,cosye y u ye x u xx ,cos,sinye y v ye x v xx . , x v y u y v x u 即即 四个偏导数均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf ).()sin(cos)(zfyiyezf x 且且 指数函数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )Re()3(zzw , 2 xyix
38、 , 2 xyvxu ., 0,2x y v y x v y u x x u 四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例5 .2)( 2 在在复复平平面面上上的的解解析析性性讨讨论论yixzf 解 ,2yvxu 因因为为 . 2, 0, 0,2 y v x v y u x x u , , 1 满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程时时仅仅当当 x .在在复复平平面面内内不不解解析析 思考：求f(z)
39、在z=1+i处的导数？ 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例6 解 ? )( , , , , ),()( 2222 解析解析 在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数 设设 zfdcba ydxycxibyaxyxzf ,2ydx y v ,2ayx x u ,2byax y u ,2dycx x v , , x v y u y v x u 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2 . 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例7 . )( , )( 内内为为一一常常数数区
40、区域域 在在则则内内处处处处为为零零在在区区域域如如果果 D zfDz f 证 x v i x u zf )(, 0 y u i y v , 0 x v y u y v x u 故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例8 . , , ),( ),( 0,)( , )( 21 21 为为常常数数其其中中 必必相相互互正正交交与与那那末末曲曲线线族族 且且为为一一解解析析函函数数设设 cc cyxvcyxu zfivuzf 证 )( zf因为因为, 0 y u i y v
41、, 不全为零不全为零与与所以所以 y u y v , 都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处 y u y v 根据隐函数求导法则, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 线的斜率分别为线的斜率分别为 中任一条曲中任一条曲与与曲线族曲线族 ),( ),( 21 cyxvcyxu , 21 y x y x v v k u u k 根据柯西黎曼方程得 y x y x v v u u kk 21 , 1 y y y y v u u v . ),( ),( 21 相互正交相互正交与与故曲线族故曲线族cyxvcyxu . , , , , 它们仍然相互正交它们仍然相互
42、正交一条是铅直的一条是铅直的 另另的切线一条是水平的的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处两族中的曲线在交点处 则另一个必不为零则另一个必不为零中有一个为零中有一个为零和和如果如果 yy vu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 极坐标形式下可导的充分必要条件： 若函数f (z) = u(r,)+iv(r,), z=r(cos + isin ), 则 f (z)在点z可导的充分必要条件是u,v在点(r, )处 可微且满足极坐标下的CR方程： )0(, 1 , 1 r u rr vv rr u 且 )()(sin(cos)( r v i r u z r r v i r u
43、 izf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、小结与思考 理解复变函数极限、连续、导数和解析的 概念; 重点是奇点和可导、解析的关系以及判别可导、解析方法及求导 方法. 掌握并能灵活应用柯西黎曼方程. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题 ? )( 00 解解析析有有无无区区别别可可导导与与在在在在点点复复变变函函数数zzzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题答案 , )( 00 可导可导解析必在解析必在在点在点zzzf 反之不对. , 0 )( 0 2 处可导处可导在在例如例如 zzzf . 0 0
44、处不解析处不解析但在但在 z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 放映结束，按Esc退出. 作业：P28 1(1)(2), 2, 5, 6(3)(4)(5) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Riemann 黎曼资料 Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、小
45、结与思考 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、指数函数 1. 指数函数的定义: )sin(cos yiyeee xiyxz 对于复变数 z = x + iy，由关系式 所确定的函数称为指数函数. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 指数函数的性质 (1) 指数函数在复平面处处不为零. (2) 加法定理 2121 zzzz eee ,2 )3(ike z 的周期是的周期是 . 22zikzikz eeee 即即 )(为任何整数为任何整数其中其中k .)( , (4) zzz eee 在在复复平平面面内内处处处处解解析析 机动机动 目录目录
46、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我们熟悉的 实数的指数函数曲线的图像. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例1 );Re()3();(Arg)2(;)1( , 1 2 2 z zzi eeeiyxz 求求设设 解 zi e 2 )1( )(2iyxi e , )21(2yix e ; 22xzi ee 2 )2( z e 2 )(iyx e , 2 22 xyiyx e ,22)(Arg 2 kxye z k取任意整数 z e 1 )3( yix e 1 , 2222 yx y i yx x e .cos)Re( 22 1
47、 22 yx y ee yx x z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例2 解 求出下列复数的辐角主值: ).20( ,)4( ;)3(;)2(;)1( 43432 ii iii ee eee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeee xiyxz )(2Arg为整数为整数kkye z .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 z e )1( ,21Arg 2 ke i ; 1arg 2 i e ,24Arg 43 ke i ;24arg 43 i e ;)2( 43i e 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
48、结束结束 ,24Arg 43 ke i ;24arg 43 i e ii ee )4( ;)3( 43i e )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i 2 sin 2 cos2 2 sin 2 sin2 i 2 cos 2 sin 2 sin2 i 2 sin 2 cos 2 sin2 i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,20 因为因为, 0 2 sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是复数上式就是复数 ii ee )( Arg ii ee 所以所以,2 2 k ,时时当当 )(arg ii ee , 2 ,时时当当 )(arg
49、 ii ee .2 2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例3 的周期的周期求函数求函数. )( 5 z ezf 解 ,2ike z 的周期是的周期是 5 )( z ezf ik z e 2 55 10ikz e 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5 ikezf z ),10(ikzf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、对数函数 1. 定义 .Ln , )( )0( zw zfwzze w 记记为为称称为为对对数数函函数数 的的函函数数满满足足方方程程 .2 , )( , Arg 的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多
50、值函数也是多值函数 所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于 i zfwz .2arglnArglnLnikzizzizz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 . Ln , , 个个分分支支的的第第 称称为为可可得得一一个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的 k zk .arglnlnzizz k=0时，称 为对数函数的主值，记为lnz. 其余各值为 ), 2, 1(2lnLn kikzz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例4 解 .)1(Ln, )1(Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求i ,2 4
