1、【3】 【较难题剖析较难题剖析】2020 学年学年上海部分上海部分区数学区数学“一模考一模考”客观题客观题 上海市各区高三数学期末质量调研“俗称：一模考”；是检测学生在第一轮高三数学复习中，对 数学基础知识、基本技能的掌握，数学方法与思想的理解，数学知识与方法的综合应用等是否掌握 与落实，也是指导学生下一阶段调整复习计划、思路、查“缺”补“漏”的有效保证。对教学而言：我 个人认为，由于这次质量调研的命题，都是集合了各区数学命题团队的“集体智慧”，有些试题很好 地展示了：对教材知识的一般化与特殊化，揭示了不同知识的“交汇点”、“综合点”、“切入点”，以 及如何体现考查教材中的研究性、拓展性知识等
2、；注重在知识与方法的交汇处编制试题；注重考查 数学思维能力，减少繁杂的数学运算，从“解题”走向“解决问题”； 15、设 123 2f xxbkxbxb，其中常数0k ， 123 ,b b b R.若函数 yfx的图像如图所示， 则数组 123 ,b b b的一组值可以是（）. A.3, 1,1；B.1, 2, 1； C.1,2,2；D.1, 3,1. 16、设等差数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 0a ，公差0d ，若对任意的 * nN，总存在 * k N， 使 21 (21) kn SkS . 则3kn的最小值为 17、 已知函数 3f xx xax， 若存在3,4a ， 使得关于
3、x的方程 f xtf a有三个不相等的实数根， 则实数t的取值范围是 18、 如图， 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中， 点P是该正方体棱上一点， 若满足 1 0PBPCm m 的点的个数为 4，则m的取值范围是（） A.2 2,4 B.4,22 3 C.4,4 2 D.22 3,4 2 19、设函数 2 fxxaa x ，若关于x的方程 1xf有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构 成的集合为_ 20、对于任意的正实数a，b，则 22 2 29 53 aab ab 的取值范围为_ 21、已知函数 2,( ) ( ) ,() 为无理数 为有理数 xx f x xx ，则以
4、下 4 个命题： ( )f x是偶函数； ( )f x在0,上是增函数； ( )f x的值域为R； 对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（） A0B1C2D3 【3 解析解析】 【较难题剖析较难题剖析】2020 学年学年上海部分上海部分区数学区数学“一模考一模考”客观题客观题 上海市各区高三数学期末质量调研“俗称：一模考”；是检测学生在第一轮高三数学复习中，对 数学基础知识、基本技能的掌握，数学方法与思想的理解，数学知识与方法的综合应用等是否掌握 与落实，也是指导学生下一阶段调整复习计划、思路、查“缺”补“漏”的有效保证。对教学而言：我 个人认
5、为，由于这次质量调研的命题，都是集合了各区数学命题团队的“集体智慧”，有些试题很好 地展示了：对教材知识的一般化与特殊化，揭示了不同知识的“交汇点”、“综合点”、“切入点”，以 及如何体现考查教材中的研究性、拓展性知识等；注重在知识与方法的交汇处编制试题；注重考查 数学思维能力，减少繁杂的数学运算，从“解题”走向“解决问题”； 15、设 123 2f xxbkxbxb，其中常数0k ， 123 ,b b b R.若函数 yfx的图像如图所示， 则数组 123 ,b b b的一组值可以是（）. A.3, 1,1；B.1, 2, 1； C.1,2,2；D.1, 3,1. 提示：注意数形结合提示：注
6、意数形结合； 答案：答案：A； 解析：结合本题是选择题的特点解析：结合本题是选择题的特点；不妨取极限不妨取极限x ， 则则 123123 2=2f xxbkxbxbf xbxbkxxb 123 (1)bbbk x， 结合已知的图像结合已知的图像10k， 123 0bbb，代入检验得代入检验得，选选 A； 评注：本题【长宁区16 题】解法较多，可以结合图像找“零点”去绝对值直接判断，或利用选择题特点用排除 法；但是，结合函数的图像与研究函数的方法，利用“极限思想”相比之下，较简捷。 16、设等差数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 0a ，公差0d ，若对任意的 * nN，总存在 * k
7、N， 使 21 (21) kn SkS . 则3kn的最小值为 提示：注意利用等差数列的定义、公式，等价转化提示：注意利用等差数列的定义、公式，等价转化“3kn”为为“最值问题最值问题”； 答案：答案：8； 解析：由解析：由若对任意的若对任意的 * nN，总存在，总存在 * k N，使，使 21 (21) kn SkS ， 得得 121 (21 (21)( 2 ) ) k n kaa kS ，即，即 kn aS，取，取2n 得，得， 2k aS， 即即 11 (1)2akdad（*） ，化简得，化简得 1 2 a k d ， 又因为又因为 1 0a ，0d ，则由，则由 1 20 a k d
8、且且 * k N，所以，所以1k ，代入，代入（*）得）得 1 da ； 当当 1 da 时，再由时，再由 kn aS，得，得 1111 (1) (1) 2 n n akanaa ， 整理，得整理，得 (1)(2) 1 2 nn k ，所以，所以 22 191977 32() 22222 knnnn， 因此，当因此，当4n 或或5n 时，时，3kn的最小值为：的最小值为：8； 评注：本题【嘉定区11 题】主要利用数列的基本量计算，减少变量与挖掘“隐含条件”，建立“3kn”与变量 间的关系，然后利用求最值的方法解之；起点不高，强调数列的基本量计算；寻找“首项 1 0a ，公差0d ”间 的关系，
9、是本题的“切入点”。 17、 已知函数 3f xx xax， 若存在3,4a ， 使得关于x的方程 f xtf a有三个不相等的实数根， 则实数t的取值范围是 提示：注意数形结合；提示：注意数形结合； 答案：答案： 49 1, 48 ； 解析：由题意，得解析：由题意，得( )3f aa，所以，所以，( )( )f xtf a，等价变形为，等价变形为| 33x xaaat， 即即若存在若存在3,4a ，使得关于，使得关于x的方程的方程| 33x xaaat（*）有三个不相等的实数根；有三个不相等的实数根； 当当0a 时，此时方程只有一解，显然不合题意；时，此时方程只有一解，显然不合题意； 当当0
10、a 时，方程时，方程| 33x xaaat（*）整理为）整理为 1 ( | 3 ) 3 tx xaa a ， 不妨令不妨令 2 2 13 , 1 33 ( )( | 3 ) 133 , 33 a xx xa aa g xx xaa aa xx xa aa ， 由二次函数图像可知，由二次函数图像可知， 当当3a 时，时，( )g x为单调递增函数，此时方程最多只有一解，舍去；为单调递增函数，此时方程最多只有一解，舍去； 当当34a时，时，( )g x在在 3 2 a x 和和xa上单调递增函数，上单调递增函数， 在在 3 2 a xa 上单调递减函数；上单调递减函数； 所以，由题意得所以，由题意
11、得 3 ( ),() 2 a tg ag ，其中，其中( )1g a ， 2 3(3)31 () 2121242 aaa g aa ，当，当34a时，时， 2 3(3)3149 ()1, 212124248 aaa g aa ， 实数t的取值范围是： 49 1, 48 ； 评注：本题【嘉定区12 题】主要通过函数与方程思想，将函数与方程通过多次等价变形，转化为基本的：给 定区间上一元二次函数问题与基本不等式或“双勾函数”问题；所以，本题紧扣教材、基础知识、基本方法，但综 合性强。 18、 如图， 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中， 点P是该正方体棱上一点， 若满足 1 0PB
12、PCm m 的点的个数为 4，则m的取值范围是（） A.2 2,4 B.4,22 3 C.4,4 2 D.22 3,4 2 提示：注意正方体的几何性质与椭圆的定义；提示：注意正方体的几何性质与椭圆的定义； 答案：答案：B； 解析解析：点点P是正方体棱上的一点是正方体棱上的一点，满足满足 1 0PBPCm m，点点P是以是以22 2c 为焦距的椭圆与正方体棱为焦距的椭圆与正方体棱 的交点；另正方体的棱长为的交点；另正方体的棱长为2，正方体的面对角线长为，正方体的面对角线长为2 2，正方体的体对角线长为，正方体的体对角线长为2 3； 当点当点P分别在棱分别在棱BC、 1 BB、 1 CC、 11
13、BC上运动时，上运动时，m的取值范围是的取值范围是2 2 , 4； 当点当点P分别在棱分别在棱CD、 11 AB上运动时，上运动时，m的取值范围是的取值范围是4, 4 2； 当点当点P分别在棱分别在棱AB、 11 C D上运动时，上运动时，m的取值范围是的取值范围是2 2 , 22 3； 当点当点P分别在棱分别在棱AD、 11 AD、 1 DD、 1 AA上运动时，上运动时，m的取值范围是的取值范围是22 3 , 4 2； 取交集得，与对应的棱的交点有取交集得，与对应的棱的交点有 4 个的区间为：个的区间为：4,22 3 ，答案为：，答案为：B； 评注：本题【嘉定区16 题】是立体几何与圆锥曲
14、线椭圆的交汇与整合，同时渗透了分类讨论、等价转化等思 想的考查。 19、设函数 2 fxxaa x ，若关于x的方程 1xf有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构 成的集合为_ 提示：注意函数与方程的等价转化；提示：注意函数与方程的等价转化； 答案：答案： 1 2 2 12 2 ,2 22 解析：解析： 由已知，得方程由已知，得方程 2 1xaa x ，即方程，即方程 2 1xaa x 有且仅有两个不同的实数根有且仅有两个不同的实数根， 即等价两个函数即等价两个函数( ) |f xxaa， 2 ( )1g x x 有且仅有两个不同的交点；有且仅有两个不同的交点； 据图函数就是据图函数就是|
15、yx按向量按向量( , )na a 平移可得，平移可得， 数形结合，等价为：方程数形结合，等价为：方程 2 2 1(1 2 )20axaxa x x 有且仅有有且仅有“一个不同解一个不同解”， 则判别式则判别式 2 (1 2 )4 1 20a ，即，即 2 (1 2 )8a，解得，解得 1 2 2 a ； 又因为又因为 2 ( )1g x x 过定点过定点(2, 2)A，可以验证当，可以验证当2a 时，也符合题设；时，也符合题设； 综上，综上，实数实数a的取值构成的集合为：的取值构成的集合为： 1 2 2 12 2 ,2 22 ； 评注：本题【浦东新区11 题】主要考查了函数与方程的等价转化，
16、当然，函数最好与教材的“几个初等函数” 构成联系，注意数形结合将抽象问题具体化，同时简化计算；注意：初等函数图像过定点特点，如：以回顾函数 “yx、 1 y x ”的性质与图像为起点，结合图像变换，先画函数 2 ( )1g x x 的图像，然后，“从左到右移 动函数( ) |f xxaa的图像，可以避免本题出错。 20、对于任意的正实数a，b，则 22 2 29 53 aab ab 的取值范围为_ 提示：注意利用提示：注意利用“换元换元”减少变量与转化；减少变量与转化； 答案：答案： 2 ,1 2 解析：由解析：由 2 22 2 21 9 2 29 53 53 b aaab bab a ，不妨
17、令，不妨令53 b t a ，则，则5t ， 222 2 21(5)2 29 53 taab abt ，再由不等式，再由不等式 2 22 2 2 xy xy ， 得得 2 222 152 2 22 () 2 21(5)2 292 22 532 t t taab abttt ， 等号当且仅当等号当且仅当6t 时成立，时成立， 又又t 时，时， 222 2 21(5)2 29 1 53 taab abt ， 则则 22 2 29 53 aab ab 的取值范围为：的取值范围为： 2 ,1 2 评注： 本题【浦东新区12 题】将双变量问题转化为单变量的基本不等式求最值问题；一道以基本不等式为主， 通
18、过“换元”、“等价转化”、极限思想等综合应用进行转化；思路比较容易想到，但是转换相对有点难度，综合性 较灵活。 21、已知函数 2,( ) ( ) ,() 为无理数 为有理数 xx f x xx ，则以下 4 个命题： ( )f x是偶函数； ( )f x在0,上是增函数； ( )f x的值域为R； 对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（） A0B1C2D3 提示：提示： 注意认真阅读、理解与转化；注意认真阅读、理解与转化； 答案：答案：B 解析：解析：错误；举反例：错误；举反例：( 3)(3)3ff，(3)3f ，( 3)3f，则，则( )f
19、 x为非奇非偶函数；为非奇非偶函数； 错误；举反例：错误；举反例：(3)3f，( 3)3f，则，则( )f x在在0,)上不单调递增；上不单调递增； 错误；举反例：当错误；举反例：当x为无理数时，都有为无理数时，都有( )0f x ，可知，可知( )3f x 无解，则无解，则( )f x的值域不是的值域不是R； 正确；正确；对于任意的正有理数对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存在零点可以转化为：方程存在零点可以转化为：方程( )f xa的根；的根； 当当a为有理数时，方程为有理数时，方程( )f xa的只有一根，的只有一根，( )f aa； 当当a为无理数时，方程为无理数时，方程( )f xa的只有三根，的只有三根，( )f aa， ，()faa，()faa； 评注：本题【浦东新区16 题】主要考查教材中函数的基本性质的研究过程、方法与结论；同时考查了“举反例” 与逻辑推理能力；总体而言：源于教材，高于教材；为用好、用活教材进行了“导向”。 综上， 熟练掌握基础知识以及常规题型的常见做法， 不管试卷如何变， 核心的板块不会变， 同学们要对函数， 立体几何，解析几何，数列，三角等的常见出题形式以及处理的方法要熟练，在仔细阅读理解题设的基础上，提 高计算力，注意数形结合、等价转化。
