1、【1】 【较难题剖析较难题剖析】2020 学年学年上海部分上海部分区数学区数学“一模考一模考”客观题客观题 上海市各区高三数学期末质量调研“俗称：一模考”；是检测学生在第一轮高三数学复习中，对 数学基础知识、基本技能的掌握，数学方法与思想的理解，数学知识与方法的综合应用等是否掌握 与落实，也是指导学生下一阶段调整复习计划、思路、查“缺”补“漏”的有效保证。对教学而言：我 个人认为，由于这次质量调研的命题，都是集合了各区数学命题团队的“集体智慧”，有些试题很好 地展示了：对教材知识的一般化与特殊化，揭示了不同知识的“交汇点”、“综合点”、“切入点”，以 及如何体现考查教材中的研究性、拓展性知识等
2、；注重在知识与方法的交汇处编制试题；注重考查 数学思维能力，减少繁杂的数学运算，从“解题”走向“解决问题”； 这里，特选取了各区质量调研卷中，综合性强，题型新颖，方法灵活，思维创新的填充题、选 择题（注：解答题一般都可以查到详解）作一剖析；以期能对同学们下一阶段的复习，开拓思路， 积累方法。 1、设函数( )sin2cos2f xaxbx （, a bR），给出下列结论： 当0a ，1b 时，( )f x为偶函数； 当1a ，0b 时，(2 )fx在区间(0,) 4 上是单调函数； 当3a ，1b 时，(|) 2 x f在区间( 2 ,2 )上恰有 3 个零点； 当3a ，1b 时，设( )f
3、 x在区间 , 4 t t （tR）上的最大值为( ) t，最小值为 ( ) t，则( )( )2 2tt； 则所有正确结论的序号是 2、若定义在N上的函数( )f x、( )g x满足：存在 0 x N，使得成立 00 ()()f xg x，则称( )f x与( )g x在N上 具有性质( , )P f g， 设函数 1 ( ) 2 x a f x 与 3 ( )g xx， 其中0a ， 已知( )f x与( )g x在N上不具有性质( , )P f g， 将a的最小值记为 0 a，设有穷数列 n b满足 1 1b ， 1 1 nn bb （ * nN， 0 504 na），这里 0 a表示
4、不 超过 0 a的最大整数，若去掉 n b中的一项 t b后，剩下的所有项之和恰可表示为 2 m（ * mN），则 t bm 3、下列结论中错误的是（） A. 存在实数x、y满足 | 1 | 1 x xy ，并使得4(1)(1)9xy成立 B. 存在实数x、y满足 | 1 | 1 x xy ，并使得4(1)(1)7xy成立 C. 满足 | 1 | 1 x xy ，且使得4(1)(1)9xy 成立的实数x、y不存在 D. 满足 | 1 | 1 x xy ，且使得4(1)(1)9xy 成立的实数x、y不存在 4、 已知函数( )yf x，对任意xR，都有(2)( )f xf xk（k为常数），且当
5、0,2x时， 2 ( )1f xx， 则(2021)f 5、已知点D为圆 22 :4O xy的弦MN的中点，点A的坐标为(1,0)，且1AM AN uuur uuu r ，则OA OD uur uuu r 的最大值 为 6、设函数( )yf x的定义域是R，对于下列四个命题： （1）若函数( )yf x是奇函数，则函数( ( )yf f x是奇函数； （2）若函数( )yf x是周期函数，则函数( ( )yf f x是周期函数； （3）若函数( )yf x是单调减函数，则函数( ( )yf f x是单调减函数； （4）若函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx ，且函数 1 ( )( )
6、yf xfx 有零点，则函数( )yf xx也有零点； 其中正确的命题共有（） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 7、若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，则pqpq的值形成的集合是 【1 解析解析】 【较难题剖析较难题剖析】2020 学年学年上海部分上海部分区数学区数学“一模考一模考”客观题客观题 上海市各区高三数学期末质量调研“俗称：一模考”；是检测学生在第一轮高三数学复习中，对 数学基础知识、基本技能的掌握，数学方法与思想的理解，数学知识与方法的综合应用等是否掌握 与落实，也是指导学生下一
7、阶段调整复习计划、思路、查“缺”补“漏”的有效保证。对教学而言：我 个人认为，由于这次质量调研的命题，都是集合了各区数学命题团队的“集体智慧”，有些试题很好 地展示了：对教材知识的一般化与特殊化，揭示了不同知识的“交汇点”、“综合点”、“切入点”，以 及如何体现考查教材中的研究性、拓展性知识等；注重在知识与方法的交汇处编制试题；注重考查 数学思维能力，减少繁杂的数学运算，从“解题”走向“解决问题”； 这里，特选取了各区质量调研卷中，综合性强，题型新颖，方法灵活，思维创新的填充题、选 择题（注：解答题一般都可以查到详解）作一剖析；以期能对同学们下一阶段的复习，开拓思路， 积累方法。 1、设函数(
8、 )sin2cos2f xaxbx （, a bR），给出下列结论： 当0a ，1b 时，( )f x为偶函数； 当1a ，0b 时，(2 )fx在区间(0,) 4 上是单调函数； 当3a ，1b 时，(|) 2 x f在区间( 2 ,2 )上恰有 3 个零点； 当3a ，1b 时，设( )f x在区间 , 4 t t （tR）上的最大值为( ) t，最小值为 ( ) t，则( )( )2 2tt； 则所有正确结论的序号是 提示：注意提示：注意借助借助“含三角比函数含三角比函数” ，先进行三角变换，化简为三角函数，然后研究函数的性质；，先进行三角变换，化简为三角函数，然后研究函数的性质； 答案
9、答案：，； 解析：解析：当当0a ，1b 时，时，( )cos2 =cos2()()f xxxfx，( )yf x为偶函数，所以为偶函数，所以，命题正确，命题正确； 当当1a ，0b 时时，(2 )sin4fxx，在区间在区间(0,) 8 上是上是递增递增函数函数，在区间在区间(,) 8 4 上是上是递减递减函数函数，所以所以，命题命题 错误错误； 当当3a ，1b 时时，(|)2sin |0 26 x fx ，解得解得| 6 xk ，kZ，在区间在区间( 2 ,2 )上恰有上恰有 4 个零点个零点，所以，命题错误，所以，命题错误； 当当3a ，1b 时，时，( )2sin(2) 6 f xx
10、 ，周期周期 2 2 T ，单调区间长度为，单调区间长度为 2 ，由函数由函数( )f x在区间在区间 , 4 t t （tR）上的最大值为）上的最大值为( ) t，最小值为，最小值为( ) t，检验检验( )( )tt是否小于是否小于2 2， 不妨设不妨设由函数由函数( )f x在区间在区间 , 4 t t （tR）上单调递增）上单调递增，则，则22, 242 kttkkZ ， ( )( )tt 5 2sin(2)2sin(2)2 2cos(2) 26612 ttt ， 所以，当所以，当 5 24 t 时，满足时，满足则则( )( )2 2tt，所以所以，命题正确，命题正确； 评注：本题【宝
11、山区11 题】主要考查三角变换，三角函数的图像与性质，以及让学生借助“含三角比的函数” 与三角函数，体验教材第 3、4 章，研究函数的相关性质的过程与方法；应该来讲还是紧扣教材与引导师生高考 复习还得关注教 材。 2、若定义在N上的函数( )f x、( )g x满足：存在 0 x N，使得成立 00 ()()f xg x，则称( )f x与( )g x在N上 具有性质( , )P f g， 设函数 1 ( ) 2 x a f x 与 3 ( )g xx， 其中0a ， 已知( )f x与( )g x在N上不具有性质( , )P f g， 将a的最小值记为 0 a，设有穷数列 n b满足 1 1
12、b ， 1 1 nn bb （ * nN， 0 504 na），这里 0 a表示不 超过 0 a的最大整数，若去掉 n b中的一项 t b后，剩下的所有项之和恰可表示为 2 m（ * mN），则 t bm 提示提示：注意理解与转化注意理解与转化“新性质新性质” ，仔细阅读题设中仔细阅读题设中“具有性质具有性质( , )P f g” 、 “不具有性质不具有性质( , )P f g” 、 “（ * nN， 0 504 na），这里），这里 0 a表示不超过表示不超过 0 a的最大整数的最大整数” ； 答案：答案：3103； 解析：由题意，得解析：由题意，得 3 3 1 2 a x 对于任意的对于任
13、意的xN恒成立恒成立，等价变形为等价变形为 1 3 (21)xax对于任意的对于任意的xN恒成立恒成立， 由计算器，列表计算得由计算器，列表计算得 0 =4a，再由再由有穷数列有穷数列 n b满足满足 1 1b ， 1 1 nn bb （ * nN， 0 504 na），可知可知 穷数列穷数列 n b有有 2017 项，所以，项，所以，有穷数列有穷数列 n b所有项之和为所有项之和为： (12017) 2017 1220171009 2017 2 ， 2 1009 2017 t bm，其中其中2017 t b ， t b N， 2 12201622017m，则借助计算器则借助计算器，计算得计算
14、得1426m ，则则1677 t b ， 则则1426 16773103 t bm； 评注：本题【宝山区12 题】依据简易逻辑中的“存在性命题的否定”或者是现行教材中的补集思想，先了解题 设中的“新性质”， ；然后，利用等价转化（变量分离法）找到本题的关键点 0 =4a，结合数列求和、不等式性质 与借助计算器“估算”、验证，进而求解；解答本题的关键还是：仔细阅读理解题设，合理等价转化解之。 3、下列结论中错误的是（） A. 存在实数x、y满足 | 1 | 1 x xy ，并使得4(1)(1)9xy成立 B. 存在实数x、y满足 | 1 | 1 x xy ，并使得4(1)(1)7xy成立 C.
15、满足 | 1 | 1 x xy ，且使得4(1)(1)9xy 成立的实数x、y不存在 D. 满足 | 1 | 1 x xy ，且使得4(1)(1)9xy 成立的实数x、y不存在 提示：注意依据不等式性质进行转化或结合线性规划直观判断提示：注意依据不等式性质进行转化或结合线性规划直观判断； 答案：答案：A； 解析：方法解析：方法 1：不妨设不妨设1ax，1by，则已知题设则已知题设 | 1 | 1 x xy ，等价等价 |1| 1 |2| 1 a ab ，即即 02 13 a ab ， 再由再由 222 2()4abababab，即即 2 (1)(1) 4 (1)(1)4(2)9 4 xy xy
16、xy 即即4(1)(1)xy的最大值为的最大值为：9；所以，；所以，A 错误错误； 方法方法 2：结合线性规划，数形结合进行排除；：结合线性规划，数形结合进行排除； 评注：本题【宝山区16 题】主要考查不等式性质；当然，结合题设利用换元法进行等价转化，则简捷合理又 方便直观表示与判断；关键还是在：仔细阅读，注意关键词“存在”、“使得”等。 4、 已知函数( )yf x，对任意xR，都有(2)( )f xf xk（k为常数），且当0,2x时， 2 ( )1f xx， 则(2021)f 提示：注意等价转化题设中的代数条件提示：注意等价转化题设中的代数条件“(2)( )f xf xk（k为常数）为常
17、数）”； 答案：答案：2； 解析解析：因为对任意因为对任意xR，都有都有(2)( )f xf xk为常数为常数，所以所以(4)(2)f xf xk，从而从而(4)( )f xf x， 即即( )f x的周期为的周期为 4， 所以所以(2021)(1)2ff； 评注：本题【崇明区11 题】主要通过阅读理解与等价转化，将题设条件转化为教材中的函数性质“周期性”解 之；属于：源于教材，“高”与教材。 5、已知点D为圆 22 :4O xy的弦MN的中点，点A的坐标为(1,0)，且1AM AN uuur uuu r ，则OA OD uur uuu r 的最大值 为 提示：注意平面向量的提示：注意平面向量
18、的坐标坐标表示表示； 答案：答案：2； 解析：设解析：设( , )D x y，则，则() ()() ()AM ANADDMADDNADDNADDN 222222 441ADDNADODADOD ， 因为因为(1, ),( , )ADxy ODx y ，所以，所以 2222 (1)5xyxy， 整理得整理得 2 2 19 24 xy ，即为点，即为点( , )D x y的轨迹方程，所以的轨迹方程，所以 13 2 22 OA ODx ， 故故OA OD 的最大值为的最大值为 2； （或根据（或根据 2 2 19 24 xy ，不妨设不妨设 13 cos 22 x， 3 sin 2 y，其中其中0,
19、 2 ， 则则 1313 cos2 2222 OA OD ） 评注：本题【崇明区12 题】是平面向量的坐标表示与曲线方程的简单整合；关键是：紧扣教材“平面向量的坐 标表示”用好“坐标表示”，实现“几何问题代数化”或方便数形结合思想的运用；本题也可以直接设 (2cos, 2sin)M，(2cos, 2sin)N然后利用三角变换与三角函数有界性解之，请同学们不妨自己尝试、 体验、比较与归纳。 6、设函数( )yf x的定义域是R，对于下列四个命题： （1）若函数( )yf x是奇函数，则函数( ( )yf f x是奇函数； （2）若函数( )yf x是周期函数，则函数( ( )yf f x是周期函
20、数； （3）若函数( )yf x是单调减函数，则函数( ( )yf f x是单调减函数； （4）若函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx ，且函数 1 ( )( )yf xfx 有零点，则函数( )yf xx也有零点； 其中正确的命题共有（） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 提示：注意研究函数性质的方法与过程提示：注意研究函数性质的方法与过程； 答案：答案：B； 解析解析： （1 1）若若是奇函数，则是奇函数，则()( )fxf x ，( ()( )( ( )f fxff xf f x 也也 是奇函数，正确；是奇函数，正确； （2 2）若若( )yf x是周期函数，则
21、是周期函数，则()( )f xTf x，( ()( ( )f f xTf f x也是周期函数，正确；也是周期函数，正确； （3 3）若若( )yf x是单调递减函数，则根据复合函数的性质，是单调递减函数，则根据复合函数的性质，( ( )yf f x是单调递增函数，不正确；是单调递增函数，不正确； （4 4）构造构造函数函数 1 ( )(0,1)f xxx x ，则其，则其存在反函数存在反函数 1 1 ( )(0,1)fxxx x ， 因此，因此，函数函数 1 ( )( )0yf xfx 有零点，但函数有零点，但函数 1 ( )(0,1)yf xxx xx x 无零点；无零点；不正确；不正确；
22、（或根据（或根据“若函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx ，且函数 1 ( )( )yf xfx 有零点” ，则仅有两点关于直线，则仅有两点关于直线 yx对称的对称的“图像为两个点的函数图像为两个点的函数”也满足以上条件，但也满足以上条件，但函数函数( )yf xx无零点无零点，（，（4）不正确不正确） 故答案选故答案选 B； 评注：本题【崇明区16 题】紧扣教材“第 3 章 函数的基本性质”的教学内容与学习过程与方法；既考查了 函数的基本性质与过程、方法，又考查了函数与方程思想、否定命题可以举反例、赋值法等。同时说明“函数及 其相关”始终是数学高考的重点、热点与难点。 7、若a、b
23、分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，则pqpq的值形成的集合是 提示：提示：注意不等式知识与数列知识的交汇；注意不等式知识与数列知识的交汇； 答案：答案：9； 解析：解析：根据两个根据两个正数的算术平均数和几何平均数正数的算术平均数和几何平均数，得，得 2 pq a ，bpq， 再据基本不等式，得再据基本不等式，得 2 pq apqb ，所以，所以2ab ， 再由再由a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则，则 a、b、2依次成等差数列，满足依次成等差数列，满足22ba；a、2、b依次成等比数列，满足依次成等比数列，满足 2 ( 2)ab； 由由、解得解得4a ，1b ，代入已知，代入已知4 2 pq a ，1bpq，所以，所以9pqpq； 评注：本题【虹口区11 题】整合了算术平均数，几何平均数、基本不等式、等差、等比数列与集合知识；起 点并不高，但知识的交汇与综合性强；解题的关键是：利用基本不等式，发现与挖掘隐含条件，简化“后续”的计 算；最后回答应规范。
