1、课时作业(三十九)二元一次不等式(组)与简单的线性规划 基础过关组 一、选择题 1不等式组 x2y40， xy10 所表示的平面区域大致为() 解析作出直线 x2y40，取其左下方，作出直线 xy10，取其左上方，故选 C。 答案C 2点 P(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则实数 t 的取值范围是() A. ，2 3B. ，2 3 C. 2 3，D. 2 3， 解析因为点 P(2，t)在直线 2x3y60 的上方，所以43t62 3。故选 C。 答案C 3设变量 x，y 满足约束条件 yx， xy2， y3x6， 约束条件表示的平面区域为 M，则平面区域 M 表示的几何 图形的周长为(
2、) A6 3B3 2 10 C2D9 解析画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分所示，易知区域 M 为图中的ABC 及其内部， A(2,0)，B(1，1)，C(3,3)，可得区域 M 的周长为 3 2 10。故选 B。 答案B 4设变量 x，y 满足约束条件 y2， xy1， xy1， 则目标函数 z 1 3 3xy的最大值为( ) A. 1 3 11 B. 1 3 3 C3D4 解析可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z 1 3 3xy，设 u3xy，欲求 z 1 3 3xy的最大值，等价 于求 u3xy 的最小值。u3xy 可化为 y3xu，该直线的纵截距为 u，作出直线 y3x 并平
3、移，当 直线 y3xu 经过点 B(1,2)时，纵截距 u 取得最小值 umin3(1)21，所以 z 1 3 3xy的最大值 zmax 1 3 13。故选 C。 答案C 5已知不等式组 yx2， ykx1， y0 所表示的平面区域为面积等于1 4的三角形，则实数 k 的值为( ) A1B1 2 C.1 2 D1 解析由题意知 k0，且不等式组 yx2， ykx1， y0 所表示的平面区域如图所示。因为直线 ykx1 与 x 轴的交点为 1 k，0，直线 ykx1 与直线 yx2 的交点为 3 k1， 2k1 k1 ，所以三角形的面积为 1 2 21 k 2k1 k1 1 4，解得 k1 或
4、k 2 7，经检验，k 2 7不符合题意，所以 k1。故选 D。 答案D 6若 x，y 满足约束条件 yx， x4y40， xy30， 则x1 y 的取值范围是() A. 5 3，11B. 1 11， 3 5 C. 3 5，11D. 1 11， 5 3 解析画出约束条件表示的可行域。x1 y 的几何意义为可行域内的点与点 P(1,0)连线的斜率的倒数。 由图可知，目标函数分别在点 B 8 3， 1 3 和点 A 3 2， 3 2 处取得最大值 11 与最小值5 3。故选 A。 答案A 7设 M 是 x20， x2y60， x2y20 表示的区域1内任一点，N 是区域1关于直线 l：yx 的对称
5、区域2内的 任一点，则|MN|的最大值为() A. 2B2 2 C4 2D5 2 解析不等式组 x20， x2y60， x2y20 表示的区域1如图中阴影部分所示，因为区域1与区域2关于直线 yx 对称，并且 M 是区域1内任一点，N 是区域2内任一点，所以当点 M 到直线 yx 的距离最大，并且点 N 为 M 关于直线 yx 的对称点时，|MN|最大，最大值为点 M 到直线 yx 距离的 2 倍，因此转化为求在区域 1内的点到直线 yx 的距离的最大值， 作出直线 yx， 由图可知点 A(4,1)到直线 yx 的距离最大， 为5 2 2 ， 所以|MN|的最大值为 5 2。故选 D。 答案D
6、 8若实数 x，y 满足不等式组 3xy20， 2x3y60， 2xy30， 且使 caxy3 取得最小值的最优解有无穷多个， 则实数 a 的值是() A1 2 B.2 3 C.2 3或3 D2 3或 3 解析作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示。易知当直线 yaxc3 平行于直线 AB， 或平行于直线 BC 时，满足题意，所以 kAB2 3a，或 k BC3a，所以 a2 3或 a3。故选 C。 答案C 二、填空题 9(2020全国卷)若 x，y 满足约束条件 xy1， xy1， 2xy1， 则 zx2y 的最大值是_。 解析作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 x2y0 并平移，
7、由图知，当平移后的直线经过点 A(2,3)时，z 取得最大值，zmax2238。 答案8 10若直线 y2x 上存在点(x，y)满足约束条件 xy30， x2y30， xm， 则实数 m 的取值范围是_。 解析根据题意，由 y2x， xy30， 可求得交点坐标为(1,2)，要使直线 y2x 上存在点(x，y)满足约束 条件 xy30， x2y30， xm， 则点(1,2)在可行域内，如图所示，可得 m1。 答案(，1 11已知关于 x，y 的不等式组 2xy10， xm0， y20 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x02y02， 则 m 的取值范围是_。 解析作出不等式组 2x
8、y10， xm0， y20 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由 2xy10， y2， 可得 x3 2， y2， 故 A 3 2，2，所以m3 2，解得 m 3 2。作出直线 x2y2，由 2xy10， x2y20， 可得 x4 3， y5 3 ，即 B 4 3， 5 3 ，因为存在点 P(x0，y0)，使得 x02y020，即直线 x2y20 与平面区 域有交点，则需满足m4 3，所以 m 4 3，所以 m 的取值范围是 ，4 3 。 答案 ，4 3 12已知 x，y 满足 x2， xy4， 2xym0。 若目标函数 z3xy 的最大值为 10，则 z 的最小值为_。 解析作出可行域，如图
9、中阴影部分所示。作出直线 3xy0，并平移可知，当直线过点 A 时，z 取得 最大值，为 10，当直线过点 B 时，z 取得最小值。由 xy4， 2xym0， 得 x4m 3 ， y8m 3 ， 即 A 4m 3 ，8m 3，所以 34m 3 8m 3 10，解得 m5，可得 点 B 的坐标为(2，1)，所以 zmin3215。 答案5 素养提升组 13若 x，y 满足约束条件 |x2y|2， |2y3x|6， 则(x1)y 的取值范围为() A3,0B. 3，9 4 C. 0，9 8D. 3，9 8 解析由 |x2y|2， |2y3x|6， 得 2x2y2， 62y3x6， 其可行域如图中阴
10、影部分所示， 令 z(x1)y，当 z0 时，y0 满足条件； 当 z0 时，曲线 y z x1与直线 x2y20 相切时 z 最大，此时 z 9 8；当 z0 时，曲线 y z x1经过点 B 1，3 2 时 z 最小，此时 z3。所以 z(x1)y 的取值范围是 3，9 8 。故选 D。 答案D 14已知区域 D： y2， xy20， xy10， 且圆 C：(xa)2(y2)22 与区域 D 有公共点，则实数 a 的取值 范围是_。 解析在坐标系中作出区域 D(如图中阴影部分所示)，易知圆 C 的圆心为(a,2)，半径为 2，所以只需确 定圆心的位置即可，可通过左右平移圆观察圆 C 与直线 l1：xy20 和 l2：xy10 分别相切时对应 a 取值的临界位置。当圆与 l1：xy20 相切时，圆心 C 到直线 l1的距离为 |a| 2 2a2，由图可得 a 2；当圆与 l2：xy10 相切时，圆心 C 到直线 l2的距离为|a3| 2 2a1 或 a5，由图可得 a5， 所以 a2,5。 答案2,5
