1、空间向量与空间距离空间向量与空间距离 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.已知ABC 的三个顶点的坐标为 A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则 BC 边上 的中线 AD 的长为() A.B.6C.D.3 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M 是 AA1的中点,则点 A1到平面 MBD 的距 离是() A.aB.aC.aD.a 3.(2013开封高二检测)四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PA=AB=2,E,F
2、 分别为 PB,PD 的中点,则 P 到直线 EF 的距离为() A.1B.C.D. 4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3,E 为 CD 的中点,则点 D1到平面 AEC1的距 离为() A.B.C.D.1 5.(2013石家庄高二检测)正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则直线 A1C1到平面 ACD1的距离为() A.1B.C.D. 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2013东莞高二检测)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3, BAD=90,BAA1=DAA1=60,
3、则 AC1的长为. 7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,ABCD 且ADC=90,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E 是 CC1的中点 则 A1B1到平面 ABE 的距离是. 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面 A1BC1与平面 ACD1的距离 是. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点, 将正方形沿 EF 折成直二面角(如图所示),M 是矩形 AEFD 内一点,如果MBE=MBC,M
4、B和平面 BCFE 所成的角的正切值为 ,求点 M 到直线 EF 的距离. 10.(2013 济南高二检测)如图所示的多面体是由底面 为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求|. (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G 分别为 CC1,B1C1, A1C1的中点,EF 与 B1D 相交于点 H. (1)求证:B1D平面 ABD. (2)求证:平面 EGF平面 ABD. (3)求平面 EGF
5、 与平面 ABD 的距离. 答案解析答案解析 1.【解析】选 A.易知 D(0,1,3),=(1,1,2),|=. 2.【解析】选 A.如图所示,建立空间直角坐标系,则 A1(a,0,a),M(a,0, ), B(a,a,0),D(0,0,0) =(0,0, ),=(a,0, ),=(a,a,0),设平面 MBD 的法向量为 n=(x,y,z),则 令 x=1,得 n=(1,-1,-2) 点 A1到平面 MBD 的距离为=a. 【一题多解】由于 M 是 AA1的中点,故 A1与 A 到平面 MBD 的距离相等. 又 VA-MBD=VB-AMD,即 aah= aa,解得 h=a. 3.【解析】选
6、 D.建系如图,即 P(0,0,2), E(1,0,1),F(0,1,1), =(-1,0,1),=(-1,1,0). 在上的投影为=, 点 P 到直线 EF 的距离为=. 4.【解题指南】先求平面 AEC1的法向量,代入点面距公式求解. 【解析】选 A.建立如图所示空间直角坐标系, 则 A(3,0,0),D1(0,0,3), E(0, ,0),C1(0,3,3), =(-3, ,0), =(-3,3,3),=(0,3,0), 设 n=(x,y,z)为平面 AEC1的法向量,则 令 x=1,得 y=2,z=-1,n=(1,2,-1). D1到平面 AEC1的距离为 =. 5.【解析】选 B.易
7、知 A1C1平面 ACD1,则点 A1到平面 ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图 易知=(0,0,1) 平面 ACD1的一个法向量为 n=(1,1,1), 故所求的距离为=. 6.【解析】=+, | 2=( +) 2 =| 2+| | 2+| | 2+2 +2+2 =1+2 2+32+2| |cos+2|cos+ 2|cos=14+212cos 90+213cos 60+22 3cos 60=23, |=,即 AC1=. 答案: 7.【解析】以 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系, 则 A(1,0,0),B(1,2
8、,0),E(0,1),A1(1,0,2), =(0,2,0),=(-1,-,1), 设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z),则 解得, 取 z=1,则 n=(1,0,1).又易证 A1B1平面 ABE,所以 A1B1到平面 ABE 的距离等于点 A1到平面 ABE 的距离,又=(0,0,2), 点 A1到平面 ABE 的距离为=. 答案: 8. 【解析】由 AD1BC1,A1BD1C 可证得平面 A1BC1平面 ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系, AB=4,BC=3,CC1=2,则 A1(3,0,2),B(3,4,0), C1(0,4,2),A(3,0,0). =(0,4,-2)
9、,=(-3,0,2).设平面 A1BC1的法向量为 n=(x,y,z),则 n ,n, 解得, 取 z=6,则 n=(4,3,6),又=(0,4,0), 则平面 A1BC1与平面 ACD1的距离为 =. 答案: 9.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,作 MNEF,垂足为 N,则 MN平面 BCFE,连接 BN, 则MBN 即为 MB与平面 BCFE 所成的角, tanMBN= , 设 M(0,y,z),0y2,0z1,则由题意可知 N(0,y,0),而 E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), =(-1,0,0),=(0,2,0),=(-1,y,z),=(-1,y,0),=(
10、0,0,-z), cosMBE=, cosMBC=,tanMBN= . MBE=MBC,y=1,z=. 因此点 M 到直线 EF 的距离为. 10.【解析】以 D 为原点,DA,DC,DF 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系, D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3). (1)设 F(0,0,a), 由=,得(-2,0,a)=(-2,0,2), a=2. F(0,0,2),=(-2,-4,2). |=2. (2)设 n=(x,y,z)为平面 AEC1F 的法向量, 由得 取 z=1,则 n=(1,- ,1)
11、,又=(0,0,3), C 到平面 AEC1F 的距离 d=. 11.【解题指南】寻找条件中的三线两两垂直建立空间直角坐标系,正确地求出 图中各点坐标,然后利用向量的坐标运算证明、求解. 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设 A1(a,0,0),则 B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1), A(a,0,4),B(0,0,4), D(0,2,2),G( ,1,0). (1)=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2). =0+0+0=0,=0+4-4=0. B1DAB,B1DBD. 又 ABBD=B,B1D平面 ABD. (2)=(-a,0,0),=(0,2,-2
12、). =(- ,0,0),=(0,1,-1), =,=.GFAB,EFBD. 又 GFEF=F,ABBD=B, 平面 EGF平面 ABD. (3)方法一:由(1)(2)知 DH 为平面 EFG 与平面 ABD 的公垂线段. 设=(0,2,2),则=(0,2,2-1),=(0,1,-1). 与共线, =,即= , =(0, , ),=(0, , ), |=. 平面 EGF 与平面 ABD 的距离为. 方法二:由(2)知平面 EGF平面 ABD, 设平面 ABD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n,n, 解得 取 z=1,则 n=(0,1,1),=(0,2,1), d=, 即平面 EGF 与平面 ABD 的距离为. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
