1、单元质量评估单元质量评估 圆锥曲线圆锥曲线 （120120 分钟分钟150150 分）分） 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中中, ,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) ) 1.已知椭圆+ =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距 离为() A.2B.3C.5D.7 2.椭圆+=1 的一个焦点为(0,1),则 m 的值为() A.1B. C.-2 或 1D.以上均不对 3.(2013浏阳高二检测)如图,共顶点的
2、椭圆,与 双曲线,的离心率分别为 e1,e2,e3,e4,其大小关系 为() A.e1e2e4e3B.e1e2e3e4 C.e2e1e3e4D.e2e1e40,b0)的两条渐近线与抛物线 y 2=2px(p0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为,则 p=() A.1B.C.2D.3 10.已知抛物线 y 2=4px(p0)与双曲线 - =1(a0,b0)有一个相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AFx 轴,则双曲线的离心率为() A.B. C.+1D.+1 11.(2012山东高考)已知椭圆 C: +=1(ab0)的离心率为,双曲线
3、 x 2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭 圆 C 的方程为() A. + =1B. + =1 C. + =1D. + =1 12.椭圆+=1(ab0)的内接矩形的最大面积的取值范围是3b 2,4b2,则该椭 圆的离心率 e 的取值范围是() A.,B., C.,D., 二二、 填空题填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分. .请把正确答案填在题中横线请把正确答案填在题中横线 上上) ) 13.(2012天津高考)已知双曲线 C1: -=1(a0,b0)与双曲线 C2: -
4、 =1 有相 同的渐近线,且 C1的右焦点为 F(,0),则 a=,b=. 14.(2013南昌高二检测)若椭圆+=1 过抛物线 y 2=8x 的焦点,且与双曲线 x 2-y2=1 有相同的焦点,则该椭圆的方程为 . 15.(2013辽宁高考)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点为 F,C 与过原点的直 线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF= ,则 C 的离心率 e=. 16.(2013安阳高二检测)直线 y=x+3 与曲线-=1 交点的个数为. 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7070 分分. .
5、解答时应写出必要的文字说明、证明过解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤) ) 17.(10 分)已知椭圆的顶点与双曲线 - =1 的焦点重合,它们的离心率之和为, 若椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程. 18.(12 分)(2013汝阳高二检测)k 代表实数,讨论方程 kx 2+2y2-8=0 所表示的曲 线. 19.(12 分)(2012北京高考)已知椭圆 C: +=1(ab0)的一个顶点为 A(2,0), 离心率为,直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程. (2)当AMN 的面积为时,求 k 的值. 20.(12 分)
6、(2013嘉峪关高二检测)设椭圆 E: + =1(ab0)过 M(2,), N(,1)两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 E 的方程. (2)若直线 y=kx+4(k0)与圆 x 2+y2= 相切,并且与椭圆 E 相交于 A,B 两点,求 证:. 21.(12 分)(2012广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: + =1 (ab0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1上. (1)求椭圆 C1的方程. (2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2:y 2=4x 相切,求直线 l 的方程. 22. (12 分)(2013山东高考)在平面直角坐标系 xO
7、y 中,已知椭圆 C 的中心在原 点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为. (1)求椭圆 C 的方程. (2)A,B 为椭圆 C 上满足AOB 的面积为 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 于点 P, 设=t,求实数 t 的值. 答案解析答案解析 1.【解析】选 D.根据定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10, P 到另一焦点的距离是 10-3=7. 2.【解析】选 C.椭圆一个焦点是(0,1), 3-m-m 2=1, 即 m 2+m-2=0,解得 m=1 或 m=-2. 3-mm 20,m=1 或 m=-2 均符合题意. 【误区警示】解答本题容易习惯性
8、地认为 m0 而把 m=-2 舍去.应该代入验证,确 保不漏解. 3. 【解析】 选 A.由椭圆、 双曲线的离心率的定义知,e3,e4(1,+),e1,e2(0,1), 再根据椭圆的扁平程度知 e2e1,而双曲线的开口越大离心率就越大,e3e4,故 选 A. 4.【解题指南】利用抛物线的标准形式求出焦点.对于双曲线的标准方程,只需 注意到 c 最大,同时也满足一个平方关系式即可.同时要熟知渐近线的方程,焦点 在 x 轴上时,方程是 y= x. 【解析】选 A.y 2=12x 的焦点为(3,0),由题意知,4+b2=9,b2=5,取双曲线的一条渐 近线为y=x,即x-2y=0,所以双曲线的焦点到
9、其渐近线的距离为d=. 【变式备选】(2012山东高考)已知双曲线 C1: -=1(a0,b0)的离心率为 2. 若抛物线 C2:x 2=2py(p0)的焦点到双曲线 C 1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的 方程为() A.x 2= yB.x 2= y C.x 2=8y D.x 2=16y 【解题指南】利用离心率求出渐近线方程,而抛物线焦点到两条渐近线的距离相 等,再利用点到直线的距离公式求出 p. 【解析】选 D.因为双曲线 C1: -=1(a0,b0)的离心率为 2,所以 e= =2, 所以 c=2a,所以 c 2=a2+b2=(2a)2,b= a,双曲线的渐近线为 y= x,即 y
10、=x. 抛物线 C2:x 2=2py(p0)的焦点(0, )到双曲线 C 1的渐近线 y= x 的距离为 d=2,所以 p=8,所以抛物线 C2的方程为 x 2=16y. 5.【解析】选 C.因点(3,0)恰是双曲线 4x 2-9y2=36 的右顶点,所以过(3,0)与双曲 线只有一个公共点的直线有 3 条,其中一条是切线,另外两条是平行于渐近线的 直线. 【举一反三】若把本题中点(3,0)改为(3,2),其他条件不变,这样的直线有 () A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 【解析】选 B.因为点(3,2)在双曲线的一条渐近线上,且右顶点为(3,0),所以过 该点与双曲线只有一个公共点的
11、直线只有两条,一条为 x=3,另一条为 y=- x. 6.【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程. 【解析】选 B.设 P(x,y),=(-2-x,-y), =(2-x,-y).由=12 得 x 2-4+y2=12 即 x2+y2=16. 【举一反三】本题中,若把=12 改为|=2|,点 P 的轨迹如何? 【解析】令 P(x,y),则=2 整理得(x- ) 2+y2= . 点 P 的轨迹是以( ,0)为圆心,以 为半径的圆. 7.【解析】选 D.设弦的中点为(x,y)且两端点设为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=2x, 由得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x
12、2), k=x1+x2=2x=2,即 x=1(在抛物线内的部分) 【一题多解】设直线的方程为 y=2x+b 且弦的中点为(x,y), 由得 x 2-2x-b=0,x 1+x2=2. 即 x=1,故轨迹为直线 x=1 在抛物线内的部分. 8.【解题指南】可先设出等轴双曲线 C 的方程,然后利用|AB|的长及抛物线的准 线方程,得到 A,B 两点的坐标,代入所设的曲线 C 方程,可求得曲线 C 的方程,最 后求得实轴长. 【解析】选 C.设双曲线的方程为 -=1,抛物线的准线为 x=-4,且|AB|=4,故 可得 A(-4,2),B(-4,-2),将点 A 坐标代入双曲线方程得 a 2=4,故 a
13、=2,实轴 长为 4. 9. 【解析】 选 C.如图,A,B 两点是双曲线的两条渐近线与抛 物线 y 2=2px(p0)的准线的交点,其坐标分别为 A(- , ), B(- ,- ),故AOB 的面积为=.又因为双曲线的离心率 为 2,即 c=2a,由 b 2=c2-a2 得 b=a,所以 p=2. 10.【解题指南】利用点 A 在两条曲线上,找出 A 的横纵坐标之间的关系建立等 式求出离心率. 【解析】选 D.由条件可知,点 A 的坐标可以为(p,2p), 又 A 在双曲线上,坐标又可表示为(c, ). 故=2c,整理得 e 2-2e-1=0, 解得 e=+1. 【变式备选】(2012成都高
14、二检测)设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1,F2,若曲 线上存在点 P 满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线的离心率等于 () A. 或B. 或 2 C. 或 2D. 或 【解题指南】根据|PF1|F1F2|PF2|=432,设出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后 按曲线为椭圆或者双曲线,利用定义求离心率. 【解析】选 A.|PF1|F1F2|PF2|=432,设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k, 其中|F1F2|=2c=3k,c=.若圆锥曲线为椭圆, 则|PF1|+|PF2|=2a=6k, a=3k,e= = ; 若圆锥曲线为双曲线,则|PF1|-|P
15、F2|=2a=2k, a=k,e= = = ,e 的取值为 或 . 11.【解题指南】利用椭圆的对称性及双曲线 x 2-y2=1 的渐近线为 y=x 找出双 曲线 x 2-y2=1 的渐近线 y=x 与椭圆 C 的四个交点的特点,然后加上条件离心率 为,即可求得椭圆 C 的方程. 【解析】选 D.由双曲线 x 2-y2=1 的渐近线为 y=x,以及椭圆的对称性可知以渐 近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,因为四边形面积为 16,所以边 长为 4,所以椭圆过点(2,2). 所以解得 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 12.【解题指南】利用基本不等式求出 S 的最值,然后通过解不等式求得
16、 e 的范 围. 【解析】选 B.设椭圆上一点 P 坐标为 P(x0,y0),则以 P 为一个顶点的内接矩形面 积 S=4|x0y0|, 又 + =1, S=4|x0|y0|=4ab| | |4ab=2ab,由 3b 22ab4b2, 知 ,e=,. 13.【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解. 【解析】由题意可得解得 a=1,b=2. 答案:12 14.【解析】双曲线 x 2-y2=1 的焦点为(- ,0),(,0), 由条件知 a 2-b2=2 ,又抛物线的焦点为(2,0), 由条件知 a=2,a 2=4,b2=2, 故椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 15.【解析】在三角形
17、ABF 中,由余弦定理得|AF| 2=|AB|2+|BF|2- 2|AB|BF|cosABF,又|AB|=10,|AF|=6,cosABF= , 解得|BF|=8.在三角形 ABF 中,|AB| 2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形 ABF 为直角 三角形. 设椭圆的右焦点为 F,连接 AF,BF,根据椭圆的对称性可得四边形 AFBF为矩 形, 则其对角线|FF|=|AB|=10,且|BF|=|AF|=8,即焦距 2c=10. 又据椭圆的定义,得|AF|+|AF|=2a, 所以 2a=|AF|+|AF|=6+8=14. 故离心率 e= = = . 答案: 【拓展提升】抛物线
18、定义的应用 “给焦点,看准线;给准线,看焦点”,充分显示了抛物线中的解题规律,即抛物线 上的点到焦点的距离等于它到准线的距离. 焦半径公式:|PF|=x0+ (以 y 2=2px(p0)为例); 过焦点弦长(以 y 2=2px(p0)为例):|AB|=x A+xB+p. 16.【解题指南】采用数形结合法. 【解析】当 x0 时,方程-=1 化为- =1;当 xb0),其离心率为 e,焦距 为 2c, e= -2= ,即 = 又 F1(0,-4),F2(0,4)为其顶点,b=c1=4 又a 2=b2+c2 由可得 a 2=25,b2=16, 所求椭圆方程为+ =1. 18.【解析】当 k0 时,
19、曲线 -=1 为焦点在 y 轴上的双曲线; 当 k=0 时,曲线 2y 2-8=0 为两条平行于 x 轴的直线 y=2 或 y=-2; 当 0k2 时,曲线+=1 为焦点在 y 轴上的椭圆. 19. 【解题指南】 第(1)问,利用椭圆中 a,b,c 与 e 的关系即可求出椭圆方程;第(2) 问,AMN 的面积等于 x 轴上下两个小三角形面积之和. 【解析】(1)a=2,e= =,c=,b=, 椭圆 C: + =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由 消 y 得(1+2k 2)x2-4k2x+2k2-4=0. 直线 y=k(x-1)过椭圆内点(1,0),0 恒成立, 由根与系数
20、的关系得 x1+x2=,x1x2=, SAMN= 1|y1-y2|= |kx1-kx2| =. 即 7k 4-2k2-5=0,解得 k=1. 【变式备选】(2012安徽高考)如图,F1,F2分别是椭 圆C: + =1(ab0)的左、 右焦点,A是椭圆C的顶点,B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点,F1AF2=60. (1)求椭圆 C 的离心率. (2)已知AF1B 的面积为 40,求 a,b 的值. 【解题指南】(1)由F1AF2=60a=2ce= = . (2)根据椭圆的定义设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m,由余弦定理求出 m,结合三角形的 面积公式即可求出 a,b 的值. 【
21、解析】(1)F1AF2=60a=2ce= = . (2)设|BF2|=m(m0),则|BF1|=2a-m, 在BF1F2中,|BF1| 2=|BF 2| 2+|F 1F2| 2-2|BF 2|F1F2|cos120,即(2a-m) 2= m 2+a2+am, m= a. AF1B 的面积 S= |F2F1|AB|sin60 a(a+ a)=40a=10,c=5, b=5. 20.【解析】(1)因为椭圆 E: + =1(ab0)过 M(2,),N(,1)两点, 所以解得所以椭圆 E 的方程为 + =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得:=,k=. 联立化简得 11x 2+
22、16 x+24=0, 有 x1+x2=-,x1x2= . x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=6x1x2+4(x1+x2)+16=0,. 21.【解题指南】(1)根据题意可知 c=1,b=1,从而可解出 a 的值,进而得椭圆 C1 的方程. (2)由题意得:直线的斜率一定存在且不为 0,设出直线方程,分别与椭圆方程和 抛物线方程联立,根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于 0,可求得直 线 l 的方程. 【解析】(1)由题意得 c=1,b=1,a=, 椭圆 C1的方程为 +y 2=1. (2)由题意得:直线的斜率一定存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,
23、因为椭圆 C1的方程为 +y 2=1, 消去 y 得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-2=0, 直线 l 与椭圆 C1相切, =16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0, 即 2k 2-m2+1=0 直线 l 与抛物线 C2:y 2=4x 相切, 则消去 y 得 k 2x2+(2km-4)x+m2=0, =(2km-4) 2-4k2m2=0, 即 km=1 由解得 k=,m=或 k=-,m=-. 所以直线 l 的方程为 y=x+或 y=-x-. 22.【解题指南】(1)可由椭圆的定义及简单的几何性质,易知椭圆的标准方程. (2)由于 A,B 两点任意,因此需要考虑直线 AB 的
24、斜率是否存在,斜率不存在时,设 出 A,B 两点坐标,由已知条件得出 P 点坐标代入椭圆方程即可求得 t 的值;斜率 存在时,可设直线的方程,然后与椭圆联立,根据条件得出 t 的关系式. 【解析】(1)设椭圆 C 的方程为 +=1(ab0), 由题意知解得 a=,b=1. 因此,椭圆 C 的方程为+y 2=1. (2)当 ABx 轴时,设 A(x0,y0),B(x0,-y0), 由得= 或 , 由=t=t(x0,0)=(tx0,0)得 P(tx0,0), 又 P 在椭圆上,所以+0 2=1,所以 t2= =4 或 ,所以 t=2 或 (舍去负值). 当 AB 不垂直于 x 轴时,设 AB:y=
25、kx+m,显然 m0,代入椭圆方程得 (1+2k 2)x2+4kmx+2(m2-1)=0 (*) 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB=,xAxB=. 由三角形面积公式知, |m|xA-xB|=, 所 以 ,|xA-xB|= (xA+xB) 2-4x AxB= , 即-=, 整 理 得,1+2k 2- =m 2 又 xE=-,yE=kxE+m=,所以,=t=, 即 P, 将其代入椭圆方程得+=1, 整理可得,1+2k 2=m2t2 联立,消去 1+2k 2,约分掉 m2,移项整理得,3t4-16t2+16=0, 解之可得,t 2=4 或 ,均能使(*)式的0, 所以 t=2 或(舍去负值). 综上,t=2 或. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
