1、第1课时不等关系与不等式 第二章2.1等式性质与不等式性质 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. 学 习 目 标 大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的 关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、 轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比 如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同”. 导 语 随堂演练课时对点练 一、用不等式(组)表示不等关系 二、作差法比较大小 三、重要不等式 内容索引 一、用不等式(组)表示不等关系 问题1生活中，我们经常看到
2、下列标志，你知道它们的意思吗？你能 用一个数学式子表示下列关系吗？ 提示最低限速50 km/h，v50； 限制质量10 t,010； 限制高度3.5 m,0h3.5； 限制宽度3 m,0 x3； 时间范围7：3010：00,7.5t10. 问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数 n不少于10人. (2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000； 提示设月薪为x元，则x3 000； (3)若小明身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮； 提示xy； (4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (5
3、)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图). 提示CD 注意点：注意点： (1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致；(2)用适当的不等 号连接；(3)多个不等关系用不等式组表示. 例1某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万 元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据 需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不 等关系的不等式(组). 解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 反思感悟用不等式(组)表示不等式关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适
4、当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的 实际意义限制的范围. 跟踪训练1用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能 超过4 m； 解0h4； (2)a与b的和是非负实数； 解ab0； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库， 仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 二、作差法比较大小 问题3在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利 用数轴上点的位置关系来规定
5、实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么， 当点A在点B的左边时，ab. 知识梳理 基本事实 依据 ab_ ab_ a0 ab0 ab0， 2x25x3x24x2. 反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤 跟踪训练2比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小. 解因为(x3)(x7)(x4)(x6) (x210 x21)(x210 x24)30， 所以(x3)(x7)2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab. 于是就有a2b22ab. 证明a2b22ab(ab)2. 因
6、为a，bR，(ab)20， 当且仅当ab时，等号成立， 所以a2b22ab0. 因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2 b22ab， 当且仅当ab时，等号成立. 例3已知a0，b0. (1)求证：a23b22b(ab)； 证明a23b22b(ab)a22abb2(ab)20， 当且仅当ab时，等号成立， a23b22b(ab). (2)求证：a3b3ab2a2b. 证明因为a3b3(ab2a2b)a3b3ab2a2ba3ab2b3a2b a(a2b2)b(b2a2)(a2b2)(ab)(ab)(ab)2， 因为a0，b0，所以(ab)(ab)20， 当且仅当ab时，等号成立， 所以a3b3
7、(ab2a2b)0，所以a3b3ab2a2b. 反思感悟比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通 过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通 过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通 过逻辑推理进行证明. 跟踪训练3已知a0，求证：a 2. 证明方法一利用a2b22ab. 当且仅当a1时，等号成立. 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)重要不等式. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 课堂小结 随堂演练 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一
8、车道 上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为 A.v120 km/h且d10 m B.v120 km/h或d10 m C.v120 km/h D.d10 m 1234 解析v的最大值为120 km/h，即v120 km/h，车间距d不得小于10 m， 即d10 m. 1234 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人 40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满 足的关系式是 A.5x4yN B.MN C.Mb，则a2ab_bab2.(填“”或“b，所以(ab)20. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14
9、 15 1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为 A.ab0 C.ab0 D.ab0 解析a与b的和是非正数，即ab0. 16 2.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划 从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少 有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是 A.30 x60400 B.30 x60400 C.30 x60400 D.30 x40400 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，
10、文化课总 分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是 解析“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”， x95，y380，z45. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.若xR，yR，则 A.x2y22xy1 B.x2y22xy1 C.x2y20， 所以x2y22xy1. 12345678910 11 12 13 14 15 5.已知0a11,0a21，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是 A.MN C.MN D.MN 16 解析0a11,0a21， 1a110，1a210， MN. 12345678910 11 12 13 14
11、 15 16 6.(多选)下列说法正确的是 A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“xy” C.某变量x至少为a可表示为“xa” D.某变量y不超过a可表示为“ya” 解析对于A，x应满足x2 000，故A错； BCD正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.某商品包装上标有重量5001克，若用x表示商品的重量，则该商品 的重量可用含绝对值的不等式表示为_. |x500|1 解析某商品包装上标有重量5001克， 若用x表示商品的重量，则1x5001， |x500|1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若x(a3)(a5)，y(a
12、2)(a4)，则x与y的大小关系是_. xy 解析因为xy(a3)(a5)(a2)(a4) (a22a15)(a22a8)70， 所以x1.5， 身高不足1.2米可表示为h1.5h5时，y1y2； 当ny2，所以，当单位去的人数为5时，两辆车收费相同； 多于5时，选甲车队更优惠； 少于5时，选乙车队更优惠. 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国 队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A 队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若 全部安排乘B队
13、的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车 未坐满.则A队有出租车 A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设A队有出租车x辆， 则B队有出租车(x3)辆， 而x为正整数，故x10. 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为a11，a21， 所以a110,1a20， 13.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、 内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约 定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3， h4，则它们的大小关系
14、正确的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.h2h1h4 B.h1h2h3 C.h3h2h4 D.h2h4h1 解析根据四个杯的 形状分析易知h2h1 h4或h2h3h4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 PRQ PR. PRQ. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.已知a，bR，若ab1，则a2b2的最小值是_，当且仅当ab _，取得最小值. 2 1 解析根据a2b22ab(ab)20， 故a2b22ab2， 当且仅当ab0即ab1时等号成立. 16.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如 果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设宿舍有x间，则学生有(4x19)人， xN*，x10,11或12. 学生人数分别为59,63,67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人. 本课结束 更多精彩内容请登录：
