1、3.4函数的应用(一) 第三章函数的概念与性质 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛 应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简 单的实际问题. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、一次函数模型的应用 二、二次函数模型的应用 三、分段函数模型的应用 内容索引 一、一次函数模型的应用 例1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的 收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月 (30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1，y2与
2、通话时间x之间的函数解析式； 解由图象可设y1k1x30(k10)，y2k2x(k20)， 把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1k1x30，y2k2x， (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 当x90时，y1y2，两种卡收费一致； 当xy2，使用便民卡便宜； 当x90时，y10， 所以y是一个单调递增函数，再由250 x400知， 当x400时，y取得最大值， 此时y1.64008001 440(元). 所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元. 二、二次函数模型的应用 例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低 于50元且不得高于55元.
3、市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平 均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解根据题意，得y903(x50)，化简， 得y3x240(50 x55，xN). (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函 数关系式； 解因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销 售利润. 所以w(x40)(3x240)3x2360 x9 600(50 x55，xN). (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解因为w3x2360 x9 600 3(
4、x60)21 200， 所以当x60时，w随x的增大而增大. 又50 x55，xN，所以当x55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润 为1 125元. 反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别 式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中 的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 跟踪训练2据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨 时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月
5、产量 为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为 17.5万元，为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； 解设ya(x15)217.5(a0)， 将x10，y20代入上式，得2025a17.5， (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大 利润？ 解设最大利润为Q(x)， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元. 三、分段函数模型的应用 例3中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路” 带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固 定成本为500万元，每生产x台需要另投
6、入成本C(x)(万元).当年产量不足 80台时，C(x) x240 x，当年产量不小于80台时，C(x)101x 2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子 设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 并求出这个最大利润. 当x60时，y取得最大值为1 300， 综上所述，当年产量为90台时， 该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元. 反思感悟应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义
7、域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下 结论. 跟踪训练3经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日 销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t) 802t，价格近似满足f(t) (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式； 解由已知得， (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 解由(1)知，当0t10时， yt210t1 200(t5)21 225， 函数图象开口向下，对称轴为t5， 该函数在t0,5上单调递增，在t(5,10上单调递减， ymax1 225(
8、当t5时取得)， ymin1 200(当t0或10时取得)； 当10t20时，yt290t2 000(t45)225， 函数图象开口向上，对称轴为t45， 该函数在t(10,20上单调递减， y0，Q1005x0，得0 x20， 故当x13时，每天获利最大. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)在 x5,15时，每天售出该鲜花支数p(x)，若想每天获得的利润最 多，则销售价格应定为 A.9元 B.11元C.13元 D.15元 解析设每天的利润为y元， 显然此函数在5,15上单调递增，故当x15时，y取得最大
9、值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下 列说法正确的是 A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 12345678910 11 12 13 14 15 5.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量 为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于 240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则 第二次服药最迟的时间应为 16 A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 1
10、2345678910 11 12 13 14 15 解析由图象知， 当0 x4时，设直线ykx，把点(4,320)代入得k80，所以y80 x； 当4x20时，设yf(x)kxb， 16 12345678910 11 12 13 14 15 当0 x4时，令80 x240，得3x4， 当4x20时，令y20 x400240，解得4x8， 所以3x8， 故第二次服药最迟的时间应为8小时后，即下午4：00. 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂 对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
11、则下列说法正确的是 A.买小包装实惠 B.买大包装实惠 C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多 型号小包装大包装 质量100克300克 包装费0.5元0.7元 销售价格3.0元8.4元 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则 买大包装实惠，故A错误，B正确； 卖1大包盈利8.40.71.832.3(元)，卖3小包盈利3(30.51.8) 2.1(元)， 则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确. 型号小包装大包装 质量100克300克 包装费0.5元0.7元 销售价格3.0
12、元8.4元 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天 可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 _. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设解析式为ykxb(k0)， 其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.小明自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了， 水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若 同时打开进水管和
13、出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到 底想放水还是注水？”小明质疑这类问题的合理性.其实这类放水、注水问题 只是个数学模型，用来刻画“增加量消耗量改变量”，这类数量关系可 以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货 不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到 把仓库中的货出完.假设每小时进、出货量是常数，仓库中的 货物量y(吨)与时间x(时)之间的部分关系如图，那么从不进 货起_小时后该仓库内的货恰好运完. 8 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由图象可知，在0到4小时进货20吨， 故进货速度是每
14、小时5吨， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时， 学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始 逐渐分散，用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验 结果表明f(x)与x有如下关系：f(x) (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意得，当0 x10时，f(x)5x9，此时函数单调递增； 当10 x16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)59； 当16x30时，f(x)3x107，此
15、时函数单调递减. 所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能 否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当0 x10时，令f(x)55，即5x955， 解得9.2x10，集中注意力时间共109.20.8(分钟)； 当10 x16时，f(x)5955，集中注意力时间共6分钟； 当160，则0 x13. y(52040 x)x20040 x2520 x200 40(x6.5)21 49
16、0,0 x8， 由82.1552.85(x8)122.6， 解得x9. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆 客车营运的利润y与营运年数x(xN)为二次函数关系(如图)，则客车有 营运利润的时间不超过_年. 7 解析由图得y(x6)211， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.某信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文 明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，z的26个字母(不 论大小写)依次对应1,2,3，26这26个自然数. 通过变换公式：
17、 12345678910 11 12 13 14 15 16 love 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由已知得加密变换公式为 又明文译成的密文是shxc， 设密文s对应的明文为，则f()19， 12345678910 11 12 13 14 15 16 同理可以确定出h对应的明文为o，x对应的明文为v，c对应的明文为e， 原来的明文是love. 16.荷兰阿斯麦尔公司(ASML)是全球高端光刻机霸主，最新的EUV(极 紫外光源)具备7 nm工艺.芯片是手机中的重要部件，除此以外还有如液 晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量(单位：百 个)与生产
18、成本x(单位：百元)满足如下关系：(x) 此外，还需要投入其他成本(如运输、包装成本等)2x百元，已知这种手 机配件的市场售价为16元/个(即16百元/百个)，且市场需要始终供不应 求.记这条生产线获得的利润为L(x)(单位：百元). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求L(x)的函数表达式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解L(x)16(x)2xx (2)当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利 润是多少？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以L(x)maxL(2)74； 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为7574， 所以当投入的生产成本为300元时， 这条生产线获得的利润最大，最大利润为7 500元. 本课结束 更多精彩内容请登录：
