1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20202020 年高二下学期数学（理）质量检测试卷年高二下学期数学（理）质量检测试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分）分） 1.复数 25 2zii 在复平面上对应的点在（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出 25222 222ziiiiiii ，根据点的坐标即可判定其所在象限. 【详解】 25222 222ziiiiiii ，在复平面上对应的点为2,1， 位于第二象限. 故选：B 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义的辨析，关键在于熟练掌握复数的
2、乘方运算和几何 意义，找出复数对应复平面内的点所在象限. 2.已知函数( )sinf xax ，且 0 ()( ) lim2 x fxf x ，则实数a的值为（） A.2B.2C. 2D.2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果. 【详解】由 0 ()( ) lim2 x fxf x ，即 2f 因为( )sinf xax ，所以( )cosfxax 则 cos2fa ，所以2a 故选：C 【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题. 3. 222 2 123 111 1 , x Sx dx Sdx Se dx x 若 ，则 s1,s2,s3的大小关
3、系为（ ） A. s1s2s3B. s2s1s3C. s2s3s1D. s3s2s1 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【答案】B 【解析】 32 213213 222 17 ln|ln2|,. 11133 x SxSxSeeeSSS选 B. 考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力. 4.已知函数 32 ( )631f xaxxx在区间(1,2)上是减函数， 则实数a的取值范围是() A.(, 3) B.(, 3 C. 7 , 4 D. 7 3, 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数 ( )f x在区间(1,2)是减函数，转化为函数( )f x
4、的导数在区间(1,2)小于等于 0 恒成立来 解. 【详解】函数 32 ( )631f xaxxx在区间(1,2)上是减函数， 22 ( )31233(41)0fxaxxaxx在区间(1,2)上恒成立， 即 2 1 4x a x 在区间(1,2)上恒成立， 又 22 2 1 4141 ( )44(2)4, x xxxx (1,2)x， 11 ( ,1) 2x ， 2 1 47 ( 3,) 4 x x ，则有3a ，即实数 a 的取值范围为(, 3 . 故选：B. 【点睛】考查导数和函数的单调性，利用导数解决函数的恒成立问题. 5.设函数f（x） 在 （， +） 内的导函数为f （x） ， 若
5、1x f lnx x ， 则 0 0 f f （ ） A. 2B. 2C. 1D.1e 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【解析】 【分析】 可令lnxt， 从而得出xe t， 代入原函数即可求出 1 1 t f t e ， 求导函数， 即可求出f（0） ， f（0）的值，从而得出 0 0 f f 的值 【详解】令lnxt，则xe t，代入 1x f lnx x 得， 11 1 t tt e f t ee ， 1 t ft e ， 01 1 2 01 f f 故选：B 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的 求
6、导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题 6.等差数列 n a中 5 a， 4033 a是函数 32 1 461 3 xxxfx 的两个极值点，则 2520194033 logaaa（） A. 2 4log 6B. 4C. 2 3log 3D. 2 4log 3 【答案】C 【解析】 【分析】 先 求 出 2 86xxx f ， 由 等 差 数 列 n a中 5 a， 4033 a是 函 数 32 1 461 3 xxxfx 的两个极值点，利用韦达定理可得 5403354033 8,6aaaa， 从而 54033 2019 4 2 aa a ，由此能求出 2520194033 l
7、ogaaa的值. 【详解】 32 1 461 3 xxxfx ， 2 86xxx f ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 等差数列 n a中 5 a， 4033 a是函数 32 1 461 3 xxxfx 的两个极值点， 5403354033 8,6aaaa， 54033 2019 4 2 aa a ， 3 25201940332222 loglog4 6log 2log 33log 3aaa . 故选：C 【点睛】本题是一道综合性题目，考查了极值点的定义、等差数列的性质以及对数的运算性 质，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题. 7.已知 2 1 cos
8、4 f xxx， ( ) fx 为f（x）的导函数，则 yfx 的图象大致是（） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到 1 sin 2 fxxx，根据奇偶性排除BD，特殊值计算排除A得到答案. 【详解】 2 1 cos 4 f xxx，则 1 sin 2 fxxx，则函数 fx为奇函数，排除BD； 0 2 f ，排除A； 故选：C. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用. 8.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周
9、合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 222 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 2xx 确定出来x2，类似地不难得到 1 1 1 1 1 （） A. 51 2 B. 51 2 C. 51 2 D. 15 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求 222 的例子，令 1 1(0) 1 1 1 x x ，即 1 1x x ，解方程即 可得到x的值. 【 详 解 】 令 1 1(0) 1 1 1 x x ， 即 1 1x x ， 即 2 10 xx ， 解 得 15 2 x ( 15 2 x 舍)，故 115 1 1 2 1 1 故选：C 【点
10、睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关 键，属于基础题. 9.函数 2 1 9ln 2 f xxx， 在区间1,1mm上单调递减， 则实数m的取值范围是 （） A.2mB.4mC.12mD. 03m 【答案】C 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【分析】 先求得导函数，根据函数单调递减可知 0fx在区间1,1mm上恒成立，即可由定义 域及不等式求得m的取值范围. 【详解】函数 2 1 9ln 2 f xxx，0 x . 则 2 99x fxx xx ， 因为 fx在区间1,1mm上单调递减， 则 0fx在区间1,1m
11、m上恒成立，即 2 90 x ， 所以03x在区间1,1mm上恒成立， 所以 10 13 m m ，解得12m， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基 础题. 10.用反证法证明“a，b，c 中至少有一个大于 0”，下列假设正确的是 A. 假设 a，b，c 都小于 0 B. 假设 a，b，c 都大于 0 C. 假设 a，b，c 中至多有一个大于 0 D.假设 a，b，c 中都不大于 0 【答案】D 【解析】 分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命 题的否定为：“假设 a，b，c 中都不大于 0”，
12、从而得出结论. 详解：用反证法证明“a，b，c 中至少有一个大于 0”，应先假设要证命题的否定成立，而要 证命题的否定为：“假设 a，b，c 中都不大于 0”. 故选：D. 点睛：用反证法证明命题的基本步骤 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - (1)反设，设要证明的结论的反面成立 (2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾 (3)否定反设，得出原命题结论成立 11.已知函数 2 1 2 yx的图象在点 2 00 1 , 2 xx 处的切线为直线l，若直线l与函数lnyx， 0,1x的图象相切，则 0 x必满足条件（） A. 0 01xB. 0 1
13、2xC. 0 23xD. 0 32x 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数 2 1 2 yx的图像在点 2 00 1 , 2 xx 处的切线及lnyx在lnmm，处的切线，由题意知 方程 2 0 0 ln10 2 x x 有解，利用函数零点存在定理确定范围. 【详解】函数 2 1 2 yx的图像在点 2 00 1 , 2 xx 处的切线的斜率 0 kx， 所以切线方程： 2 0 00 2 x yxxx即 2 0 0 2 x x x y； lnyx，0,1x设切点为lnmm，切线的斜率 1 k m ； 所以切线方程： 1 lnymxm m ，即 1 ln1yxm m ，0,1m 若直线l与函
14、数lnyx，0,1x的图像相切， 则方程组 0 2 0 1 ln1 2 x m x m 有解，所以 2 0 0 ln10 2 x x 有解， 构造函数 2 ( )ln1 2 x f xx， 1x ， 显然 2 ( )ln1 2 x f xx在 1,上单调递增， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 且 3 ( 3)ln310 2 f ；(2)2ln2 10f ； 所以 0 3,2x . 故选：D 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，函数与方程的应用，零点存在定理判断 函数零点的分布，属于中档题. 12.( )fx 是定义在R上的函数 ( )f x的导函数，
15、满足(0)0f ，xR 都有( )1( )f xfx ， 则不等式( )1 xx e f xe（其中e为自然对数的底数）的解集为（） A.( , 1)(0,) B.(,0)(1,) C.(0,)D.( 1,) 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数 ( ) xx g xe f xe，xR，研究 g x的单调性，结合原函数的性质和函数值， 即可求解. 【详解】 解：设 ( ) xx g xe f xe，xR， 则 ( )( )( )( ) 1 xxxx gxe f xe fxeef xfx， 因为( )1( )f xfx ， 所以( )( ) 10f xfx ， 所以 0gx ， 所以 yg
16、x在定义域上单调递增， 因为( )1 xx e f xe， 所以 1g x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 又因为 0g xg， 所以0 x ， 所以不等式的解集为(0,). 故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解 题的关键. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分）分） 13.复数 22 1 23 2 zaaaai aR 在复平面内对应点位于第_象限. 【答案】四 【解析】 【分析】 分别讨论实部和虚部的符号即可得出复数在复平面内对应点的象限. 【详解】由题：复数 22 1 23 2 zaaa
17、ai aR ， 实部 2 2 23120aaa， 虚部 2 2 111 0 224 aaa ， 所以复数 22 1 23 2 zaaaai aR 在复平面内对应点 22 1 23, 2 aaaa 位于第四象限. 故答案为：四 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于准确得出实部和虚部的符号. 14.设有三个命题：“0 1 2 1.函数f(x) 1 2 log x 是减函数当 0a1 时，函数 f(x)logax减函数”当它们构成三段论时，其“小前提”是_(填序号) 【答案】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【解析】 【分析】 将以上命题写成三段论形式，即可得到
18、小前提. 【详解】将以上命题写成三段论形式： 大前提：当 0a1 时，函数f(x)logax减函数”， 小前提：0 1 2 1， 结论：函数f(x) 1 2 log x 是减函数. 故答案为： 【点睛】此题考查三段论的辨析，关键在于准确确定大前提、小前提和结论，根据形式得解. 15.若曲线 x ye上点P处的切线斜率为1，则曲线上的点P到直线10 xy 的最短距 离是_. 【答案】 2 【解析】 【分析】 先求导数，结合切线斜率可得切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求. 【详解】由1 x ye得切点为 (0,1)P ，最短距离为点 (0,1)P 到直线10 xy 的距离， 2 2 2 d .
19、 故答案为： 2. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，明确切点处的导数值即为切线的斜率是求解这类问 题的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16.下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第 10 个图形中 小正方形的个数是_ 【答案】55 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【分析】 根据图 1 至图 4 的规律，第十个图形中正方形个数为 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 即可得解. 【详解】根据图形可得规律，第一个图形正方形个数为：1， 第二个图形正方形个数为：1+2=3， 第三个图形正方形个数为：1+2+3=
20、6， 所以第十个图形中正方形个数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. 故答案为：55 【点睛】此题考查归纳推理，根据图形关系得出规律，结合等差数列求和公式求解，属于简 单题目. 三、解答题（三、解答题（1717 题题 1010 分，其他每小题分，其他每小题 1212 分）分） 17.已知mR，复数 z 2 2 21 1 m m mmi m ，当m为何值时： （1）zR； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数. 【答案】 （1） 12m 或 12m ； （2） 12m 且 12m 且1m； （3） 0m 或2m . 【解析】 【分析】 （1）解 2 21mm=0，1m，即可得解；
21、（2）虚部不为 0，则该复数为虚数，则 2 210mm ，1m即可得解； （3）复数是纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0，根据20m m， 2 210mm ，1m 即可得解. 【详解】 （1）zR，所以 2 21mm=0，1m， 28 12 2 m ， 所以，当 12m 或 12m 时，zR； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （2）z是虚数，则 2 210mm ，1m， 当 12m 且 12m 且1m时，z是虚数； （3）z是纯虚数，20m m， 2 210mm ，1m， 所以0m 或2m 时，z是纯虚数. 【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的
22、取值，需要熟练掌握复数的概念， 准确求解. 18.求曲线yx，2yx， 1 3 yx 所围成图形的面积 【答案】平面图形的面积 13 6 【解析】 【详解】分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可； 详解：由曲线yx，2yx，可得A的横坐标为 1，由 2yx， 1 3 yx 可得B的横坐标为 3 所求面积为 3 01 222 2 13 13 11211113 22 013336266 xxdxxxdxxxxxx （）（）（） （）； 点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 -
23、 19.已知曲线 3 14 33 yx （1）求曲线在点(2,4)P处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)P的切线方程 【答案】 （1）440 xy； （2）20 xy或440 xy 【解析】 【分析】 （1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据 P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可； （2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把 切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的 斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方 程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可
24、. 【详解】解： （1） 2 yx ，在点2,4P处的切线的斜率 2 |4 x ky ， 曲线在点2,4P处的切线方程为442yx，即440 xy （2）设曲线 3 14 33 yx与过点2,4P的切线相切于点 3 00 14 , 33 A xx ， 则切线的斜率 0 2 0 |x xkyx ， 切线方程为 32 000 14 33 yxxxx ，即 23 00 24 33 yxxx 点2,4P在该切线上， 23 00 24 42 33 xx，即 32 00 340 xx， 322 000 440 xxx， 2 0000 14110 xxxx， 2 00 120 xx，解得 0 1x 或 0
25、2x 故所求切线方程为440 xy或20 xy 【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决 此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切 线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题. 20.（1）求证 672 25 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （2）设 x，y 都是正数，且 x+y2 证明： 1 2 x y 和 1 2 y x 中至少有一个成立 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）用作差法，直接比较 2 ( 67)与 2 (2 25)的大小，即可得出结
26、论成立； （2）用反证法，先假设 1 2 x y 和 1 2 y x 都不成立，根据题中条件，推出矛盾，即可证 明结论成立. 【详解】 （1） 22 ( 67)(2 25) =（13+2 42）-（13+410） =2 42 2 400 ， 672 25 ； （2）假设 1 2 x y 和 1 2 y x 都不成立， 即 1x y 2 且 1y x 2， x，y 都是正数，1+x2y，1+y2x， 1+x+1+y2x+2y， x+y2，这与已知 x+y2 矛盾， 假设不成立，即 1 2 x y 和12 y x 中至少有一个成立 【点睛】本题主要考查证明方法，熟记直接证明与间接证明的方法即可，属
27、于常考题型. 21.数列 n a满足 1 1 2 a ， * 1 23 n n n a anN a . （1）求 1 a， 2 a， 3 a， 4 a. （2）根据（1）猜想数列的通项公式 n a，并用数学归纳法证明你的结论. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【答案】 （1） 1 1 2 a ， 2 1 8 a ， 3 1 26 a ， 4 1 80 a ； （2） 1 31 n n a ，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）直接代入计算得到答案. （2）猜测 1 31 n n a ，利用数学归纳法证明得到答案. 【详解】 （1） 1 1 2 a ， * 1
28、 23 n n n a anN a ，则 1 2 1 1 238 a a a ， 2 3 2 1 2326 a a a ， 3 4 3 1 2380 a a a . （2）猜想 1 31 n n a . 当1n 时，验证成立； 假设当nk时成立，即 1 31 k k a ； 当1nk时， 1 11 11 23233 1 31 2 31 31 3 k k k k k kk a a a ，故1nk时成立. 综上所述： 1 31 n n a 对所有n成立. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的应用能 力. 22.已知定义在 R 上的函数，a为常数，且1x 是函数
29、 ( )f x的一个极值点 （）求a的值； （）若函数( )( )( )6g xf xfx ，xR，求( )g x的单调区间； （） 过点可作曲线( )yf x的三条切线，求m的取值范围 【答案】 （）1a ； （）函数( )g x的单调增区间为(, 12) 和( 12,) ，单调 减区间为( 12, 12) ；()( 3, 2) 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （I）由(1)0f求得a值，同时要检验此时1x 是极值点； （II） 求出( )g x， 由( )g x的正负得函数的单调区间， 即由( )0g x 得增区间， 由)(0g x 得
30、减区间 （III）设切点为 00 (,)xy，则切线的斜率为 3 000 0 00 3 () 11 ymxxm kfx xx ，整理得 32 00 2330 xxm，此方程有 3 个根. 为此设 32 ( )233h xxxm，则( )h x的极大 值大于 0，极小值小于 0，由此可得m的范围 【详解】 （） 2 ( )3(1)fxax，1x 是函数 ( )f x的一个极值点，则 (1)0,10,1.faa 又( )3(1)(1)fxxx ，函数 ( )f x在 1x 两侧的导数异号，1.a （）由（）知， 32 ( )( )( )6339.g xf xfxxxx 则 2 ( )3(21)g
31、xxx，令( )0g x ，得 2 12 210,12,12xxxx . 随x的变化，( )g x 与( )g x的变化如下： x (, 12) 12 ( 12, 12) 12 ( 12,) ( )g x00 ( )g x极大值极小值 所以函数( )g x的单调增区间为(, 12) 和( 12,) ，单调减区间为 ( 12, 12) () 2 ( )3(1)fxx,设切点为 00 (,)xy，则切线的斜率为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 3 2 000 0 00 3 33 11 ymxxm kx xx ， 整理得 32 00 2330 xxm，依题意，方程有
32、 3 个根. 设 32 ( )233h xxxm，则 2 ( )666 (1)h xxxx x 令( )0h x ，得 12 0,1xx，则( )h x在区间(,0)，(1,)上单调递增，在区间(0,1)上 单调递减， 因此， (0)30 (1)20 hm hm 解得32m .所以m的取值范围为( 3, 2) 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性、极值，考查导数的几何意义在求过某点( , )m n 的切线时，一般要设切线坐标为 00 (,)xy，由切线斜率的两种表示法得 0 0 0 () yn fx xm ，解 此方程后可得出切点坐标，从而求得切线方程 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
