1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试题数学试题 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 设11ab ，则下列不等式中恒成立的是() A. 11 ab B. 11 ab C. 2 ab D. 2 2ab 【答案】C 【解析】 【分析】 通过举出反例说明A、B、D错误，利用不等式的性质，可判定出C正确，即可求解. 【详解】对于A中，例如 1 2, 2 ab ，此时满足11ab
2、，可得 11 ab ，所以A不 正确； 对于B中，例如 1 2, 2 ab，此时满足11ab ，可得 11 ab ，所以B不正确； 对于C中，因为11b ，所以 2 01b ，又由1a ，所以 2 ab ，所以C正确； 对于D中，例如 93 , 84 ab，此时满足11ab ，可得 2 2ab ，所以D不正确， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及合 理利用举反例法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2. 计算1 i1 i的结果是 （ ） A.i B.iC.2 D. 2 【答案】B 【解析】 2 112 1112 iii i ii
3、i ,故选 B. 3. 已知函数 32 ( )23f xxxx，求(2) f () A.1B. 5C. 4D. 3 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 求得函数的导数，代入即可求解(2) f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数 32 ( )23f xxxx，则 2 ( )341fxxx， 所以 2 (2)3 24 2 15 f . 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了导数的运算及求解，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式表， 准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力. 4. 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线是
4、 3 3 yx ，则双曲线的离心率为() A. 2B. 3 C. 2 3 3 D. 2 6 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线的渐近线方程， 求得 3 3 b a ， 再由双曲线的离心率 2 1( ) cb e aa ， 即可求解. 【详解】由题意，双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线是 3 3 yx ，即 3 3 b a ， 所以双曲线的离心率为 2 2 3 1 ( ) 3 cb e aa . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中熟记双曲线的渐近线方程 和离心率的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力. 5. 已知数列an 的首项为
5、 11a ，且满足 11212anann ，则此数列的第 4 项是（ ） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. 1B.12 C. 34 D. 58 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，令1n ，则 21211211aa ；令2n ，则 312212234aa ；令3n ，则，故选 B 考点：数列的递推公式 6. 已知向量 3 5 1, 2 2 a ， 15 3, , 2 b 满足 /a b ，则等于（） A. 2 3 B. 9 2 C. 9 2 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量平行坐标表示列方程，解得结果. 【详解】因为 /a b r
6、 r ，所以 15 39 2 , 35 12 22 l l - - = - . 故选：B 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 已知：:121. :1pxq xa 若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A.(2,3B.2,3C.(2,3)D. (,3 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】A 【解析】 试题分析：由得，成立对应的集合 得，成立对应的集合 由于p 是q 的充分不必要条件，故答案为 A. 考点：充分不必要条件的应用. 8. 抛物线 2 2xy 的准线方程是() A. 1 2 y B. 1 8 y
7、C. 1 4 x D. 1 8 x = 【答案】D 【解析】 【分析】 把抛物线 2 2xy 化为 2 1 2 yx ，得到抛物线的焦点在x上，且 1 4 p ，即可求解. 【详解】由题意，抛物线 2 2xy ，可化为 2 1 2 yx ， 可得抛物线的焦点在x上，且 1 2 2 p ，解得 1 4 p ， 所以抛物线的准线方程是 1 8 x =. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的 几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 9. “1a ”是“直线: l ykxa和圆 22 :2C xy相交”的() A. 充分不必要条件B.
8、必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 结合直线与圆相交的条件，利用充分条件、必要条件进行判定，即可求解. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【详解】由直线: l ykxa和圆 22 :2C xy相交， 则圆心 (0,0)O 到直线0kxya的距离dr，即 2 2 1 a k ， 即 2 21ak， 所以当1a 时，满足 2 121ak ，此时直线与圆相交， 反之，当直线与圆相交时，a不一定等于1， 所以“1a ”是“直线: l ykxa和圆 22 :2C xy相交”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要
9、考查了直线和圆的位置关系的应用，以及充分条件、必要条件的判定，其 中解答中熟记直线与圆的位置关系，以及充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考 查了推理与运算能力. 10. 设 fx 是函数 fx的导函数， fx 的图象如图所示，则 fx的图象最有可能的 是（） A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 根据 fx 的图象，由 fx 的符号，确定原函数 fx的单调性，确定 fx的图象. 【详解】 从 fx 的图象可以看出当,0 x ， 0fx ， fx 在,0上为增函数；当 0,2x 时， 0fx ， fx在0,2上
10、为减函数；当2,x时， 0fx ， fx 在2,上为增函数，符合的图象是 C . 故选：C. 【点睛】 本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题. 11. 以 12 ( 1,0),(1,0)FF为焦点且与直线30 xy 有公共点的椭圆中， 离心率最大的椭圆 方程是() A. 22 1 2019 xy B. 22 1 98 xy += C. 22 1 54 xy D. 22 1 32 xy 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得椭圆的方程为 22 22 1 1 xy bb ，离心率为 2 2 1 1 e b ，根据直线30 xy 与椭圆 有公共点，联立方程组，根据0 ，求得 2 4
11、b ，得到离心率e取得最大值 2 4b ，即可求 得椭圆的方程. 【详解】设椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 根据题意，可得1c ，则 22 1ab，所以 22 22 1 1 xy bb ， 所以椭圆的离心率为 2 2 22 1 1 c e ab ， 因为直线30 xy 与椭圆有公共点， 联立方程组 22 22 1 1 30 xy bb xy ，整理得 22224 (21)6(1)890bxbxbb， 由 42224 36(21)4(21)(89)0bbbbb ， 整理得 42 340bb ，解得 2 4b
12、 或 2 1b （舍去） ， 所以 2 b的最小值为4，此时离心率e取得最大值 2 15 15 e b ， 所以椭圆的方程为 22 1 54 xy . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的 应用，其中解答中直线与椭圆联立方程，结合0 ，求得 2 b的取值范围是解答的关键，着 重考查了推理与运算能力. 12. 设函数 fx的定义域为R， 若存在常数0M ， 使|( )|f xM x对一切实数x均成立， 则称 fx为“倍约束函数”.现给出下列函数：( )2f xx； 2 ( )1f xx； ( )sincosf xxx； fx是定义在实数集R
13、上的奇函数，且对一切 12 ,x x均有 1212 2f xf xxx.其中是“倍约束函数”的有() A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 根据函数的新定义，一次对选项中的函数的性质进行判定，即可求解. 【详解】 由题意，若存在常数0M ，使|( )|f xM x对一切实数x均成立，则称 fx为“倍约 束函数” 对于中，函数( )2f xx，存在实数3M ，使得 |( )| 3|f xx，所以是成立的； 对于中，函数 2 ( )1f xx，因为 2 ( )11 2 f xx x xxx
14、，所以不存在满足条件 的实数M，使得|( )|f xM x，所以不是“倍约束函数”； 对于中，函数( )sincos2 sin() 4 f xxxx ，其中 00fM，所以不是“倍 约束函数”； 对于中， 函数 fx是定义在R上的奇函数， 且对一切 12 ,x x均有 1212 2f xf xxx， 所以必有|( )| 2|f xx，所以是“倍约束函数”. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了函数的新定义，以及基本初等函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函 数的图象与性质，结合函数的新定义，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答 问题的能力. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
15、 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分） 13. 已知复数 1 1 1 i z i ，则z _. 【答案】 2 【解析】 【分析】 根据复数的运算，化简得1zi ，得到 1zi ，利用模的计算的公式，即可求解. 【详解】由题意，复数 1112 1111 1112 iiii zi iii ，则 1zi ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 则 22 112z . 故答案为： 2. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数模的运算，其中解答中熟 记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力. 14. 已知函
16、数 fx的导函数为 fx，且满足 2 ( )32(5)f xxxf ，则(5)f _. 【答案】30 【解析】 【分析】 求得函数的导数( )62(5)fxxf ，令5x ，得出 5 f 的方程，即可求解. 【详解】由题意，函数 2 ( )32(5)f xxxf ，可得( )62(5)fxxf ， 令5x ，可得(5)6 52(5)ff ，解得(5)30f . 故答案为：30. 【点睛】本题主要考查了导数的计算和求值，其中解答中熟记导数的运算公式，建立出 5 f 的方程是解答的关键，着重考查了计算能力. 15. 如果椭圆的焦点坐标为 12 1,0 .1,0FF， 离心率为 2 3 ， 过 1
17、F作直线交椭圆于,A B两点， 则 2 ABF的周长为_. 【答案】6 【解析】 【分析】 由椭圆的几何性质，求得a的值，再结合椭圆的定义，即可求得 2 ABF的周长，得到答案. 【详解】 设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 因为椭圆的焦点坐标为 12 1,0 .1,0FF，离心率为 2 3 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 即1c ，且 2 3 c a ，解得 3 2 a ， 由椭圆的定义，可得 2 ABF的周长 221212 ABAFBFAFAFBFBF 3 446 2 a. 故答案为：6. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义
18、、标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答熟记椭圆的几何 性质，合理利用椭圆的定义求解是解答的关键. 16. 在等比数列 n a中，若 9 1a ，则有 121217 (17 nn aaaaaan ，且)n N成 立，类比上述性质，在等差数列 n b中，若 7 0b ，则有_. 【答案】 121213 (13 nn bbbbaan ，且)n N成立 【解析】 【分析】 根据等差数列与等比数列的通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规 律，得出结论即可. 【详解】在等比数列 n a中，若 9 1a ，则 189 1 nn aaa ， 即 121217 (17 nn aaaaaan
19、 ，且)n N成立， 利用的是等比数列的性质，若18mn， 1899 1 nn aaa a ， 在等差数列 n b中，若 7 0b ，可得若14mn， 147 20 nn aaa ， 则 121213 (13 nn bbbbaan ，且)n N成立. 故答案为： 121213 (13 nn bbbbaan ，且)n N成立. 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中掌握好类比推理的定义及等差数列与 等比数列之间的共性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分分. .解答须写出文字说明、证明过程
20、和演算步骤解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. . 17. 某化工企业 2018 年年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用 是 0.5 万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元 设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为 y（单位：万元） （1）用x表示y； （2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业 几年后需要重新更换新的污水处理设备 【答案】 （1） * 100 1.5()y
21、xxN x ； （2）该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设 备 【解析】 【分析】 （1）污水处理总费用包括设备购买费用，每年运转费，每年的维护费，运用平均数公式即可 建立( )yf x. （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】 （1）由题意得， 1000.52462xx y x ， 即 * 100 1.5yxxN x （2）由基本不等式得： 100 1.521.5yx x ， 当且仅当 100 10 xx x ，即时取等号 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备 【点睛】主要考查了函数模型的实际应用，平均数求解以及基本不等式的应用，属于基础题. 运用基本不等式求解最值问题
22、，要注意前提条件，以及等号成立的条件. 18. 实数m取什么值时,复数 22 (56)(215)zmmmmi (1)与复数212i相等 (2) 与复数1216i互为共轭复数 (3)对应的点在x轴上方. 【答案】 （1）m1 （2）m1 （3）m5. 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 解：(1)根据复数相等的充要条件得 2562221512mmmm 解得 m1. (2)根据共轭复数的定义得 25612221516mmmm 解得 m1. (3)根据复数 z 的对应点在 x 轴的上方可得 m 22m150，解得 m5. 19. 如图，菱形ABCD的中心为O，
23、四边形ODEF为矩形，平面ODEF 平面ABCD， 2DEDADB （1）若G为DC的中点，求证：/ /EG平面BCF； （2）若 2DGGC ，求二面角DEGO的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 8 . 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （1）由平几知识得四边形EFBO为平行四边形，所以/ /EOFB，再由线面平行判定定理得 / /EO平面FBC， 由三角形中位线性质得/ /OGBC， 再由线面平行判定定理得/OG平面 FBC，最后根据面面平行判定定理得平面/ /EOG平面FBC，即得EG/平面BCF； （2）利 用空间向
24、量求二面角，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出各 面法向量，利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）连接,OE OG，由条件G为中点， / /OGBC， 又/ /,EFOB EFOB， 四边形EFBO为平行四边形， / /EOFB，平面/ /EOG平面FBC. / /EG平面FBC （2）ABCD为菱形， OBOC， 又平面ODEF 平面ABCD，四边形ODEF为矩形， OF 平面ABCD， 可建立如图所示的空间直角坐标系 设(0,0,0), (1,0,0),(0, 3,0),( 1,0,2)OBCE 高考资源网（）您身边的
25、高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 0,0,2F， 1 2 3 ,0) 33 G ，1,0,0D ， 2 2 3 ,0 ,0,0,2 33 DGDE 设 111 ,nx y z 是面DEG的一个法向量， 则 0 0 DG n DE n 即 11 1 22 3 0 33 0 xy z ，取( 3, 1,0)n . 同理取平面OEG的一个法向量是 3 2,1 3 m ， 3 2 3 5 3 cos, 81 241 3 m n ， 二面角DEGO的余弦值为 5 8 . 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当 的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准
26、确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量 关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20. 已知等差数列 n a的首项 1 a=1，公差0d .且 2514 ,a a a分别是等比数列 n b的 234 ,b b b. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设数列 n c满足：2 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n S. 【答案】 （1） 1 21,3n nn anb ； （2） 2 31 n n Sn. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，列出方程，求得2d ，进而求得公比3q ，即可求得数列 n
27、a和 n b的 通项公式； （2）由（1）得到 1 (21)2 3n n cn ，利用等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，等差数列 n a的首项 1 a=1，公差0d ， 可得 5214 1,14 ,1 13ad ad ad ， 因为 2514 ,a a a分别是等比数列 n b的 234 ,b b b，所以 2 14(1)(1 13 )ddd， 解得2d ，所以 1 (1)21 n aandn， 所以 2235 3,9baba，所以 3 2 3 b q b ， 所以 221 2 3 33 nnn n bb q . （2）由（1）可得： 1 2(21)2 3n n
28、nn cabn ， 所以数列 n c的前n项和： 21 1 3(21)2 (1 333) n n Sn (121)1 3 2 21 3 n nn 2 31 n n. 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的前n项和 公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答 的关键，着重考查了推理与运算能力. 21. 已知函数 322 ( )3(1)1f xkxkxk在0,4xx处取得极值. （1）求常数k的值； （2）求函数 ( )f x的单调区间与极值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （3）设( )(
29、 )g xf xc，且 1,2x ，( )g x21c恒成立，求c的取值范围. 【答案】 （1）； （2）当 x0 或 x4，f（x）为增函数，0 x4，f（x）为减函数；极 大值为，极小值为（3） 【解析】 【详解】试题分析： （1）因为函数两个极值点已知，令 2 3610fxkxkx，把 0 和 4 代入求出k即可 （2）利用函数的导数确定函数的单调区间， 2 44fxxxx x大于零和小于零分别 求出递增和递减区间即可，把函数导数为 0 的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极 小值即可 （3）要使命题成立，只需 min1f xc，由（2）得：1f 和 2f其中较小的即为g（x） 的
30、最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围 试题解析： （1） 2 361fxkxkx，由于在0,4xx处取得极值， 00, f 40, f 可求得 1 3 k （2）由（1）可知 32 18 2 39 fxxx， 2 44fxxxx x， ,fxf x 随x的变化情况如下表： x,000,444, fx +00+ f x极大值 8 9 极小值 88 9 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - f x在(,0)，(4,)为增函数， f x在(0,4)上为减函数； 极大值为 8 0, 9 f极小值为 88 4 9 f (3) 要使命题1,2x ， g x21c恒成立，只需
31、使 21f xcc,即 1f xc即可.只需 min1f xc 由（2）得 f x在1,0单增，在0 2，单减. 1340 12 99 ff ， min 40 1 9 f xc ， 49 9 c . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若( )0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 min ( )0f x，若( )0f x 恒成立 max ( )0f x； （3）若( )( )f xg x恒成立，可转化为 minmax ( )( )f xg x（需在同一处取得最值） . 22. 如图，已知焦点在x
32、轴上的椭圆 22 2 10 8 xy b b 有一个内含圆x 2y2=8 3 ，该圆的垂 直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且OM ON (O为原点). （1）求b的值； （2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证：OA OB ，并求|AB|的取值范围. 【答案】 （1）2； （2）证明见解析， 4 6 ,2 3 3 . 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 【分析】 （1）设,M N的坐标，利用OM ON ，求得 1 8 3 y ，得到点M代入椭圆的方程，即可 求解； （2）分类讨论，当lx轴时，由（1）知OA OB ；当l不与x轴垂直时，设l的方程
33、为 ykxm ，代入椭圆的方程，利用韦达定理证得 1212 0 x xy y，再利用弦长公式，结合换 元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由圆 22 8 3 xy的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N， ， 可得直线MN的方程为 8 3 x ， 设 11 88 (,),(,) 33 MyNy， 由OM ON ，即 2 1 8 0 3 OM ONy ，解得 1 8 3 y ， 可得点 88 (,) 33 M 在椭圆上，代入椭圆方程 22 2 10 8 xy b b ， 可得2b . （2）当lx轴时，由（1）知OA OB ， 当l不与x轴垂直时，设l的方程为y kxm ，即0kxym，
34、 则原点到直线的距离，可得 2 8 3 1 m k ，整理得 22 38(1)mk， 把直线y kxm 代入椭圆的方程 22 1 84 xy ， 整理得 222 (12)4280kxkmxm， 则 22222 32 164(12)(28)(41)0 3 k mkmk ， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 2 1212 22 428 , 1212 kmm xxxx kk ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 所以 22 22 12121212 2 38(1) (1)()0 12 mk x xy ykx xkm xxm k ，即OA OB ，
35、即椭圆内含圆 22 8 3 xy的任意切线l交椭圆,A B时，总有OA OB ， 当lx轴时，可得 84 6 2 33 AB ； 当l不与x轴垂直时，可得 22 22 1212 22 4 6(1)(41) 1()4 3(1 2) kk ABkxxx x k ， 设 2 121,)tk ，则 1 (0,1 t ， 则 2 2 2 4 6214 61 119 () 323228 tt AB tt ， 所以当 11 2t ，即 2 2 k 时，AB的取最大值2 3， 当 1 1 t ，即0k 时，AB的取最小值 4 6 3 ， 综上可得，AB的取值范围是 4 6 ,2 3 3 . 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，以及向量的数量积的应用， 解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的 关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生 的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 -
