1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 线上教学检测试卷线上教学检测试卷 数学（高二）试卷数学（高二）试卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 2请将答案正确填写在答题卡上请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 道小题，每小题道小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.下列求导计算正确的是（） A. 2 lnln1 () xx xx B. 2 2 log (log) e x x C. 1 (2 )2 ln2 xx D. ( sin )cos
2、xxx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数求导法则得到相应的结果. 【详解】A 选项应为 2 1 ln x x ， C 选项应为2 ln2 x ， D 选项应为sincosxxx. 故选 B 【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题. 2.已知函数 2 x fxxa e，且 13fe，则曲线 yf x在0 x 处的切线方程为 （） A.10 xy B.10 xy C.310 xy D.310 xy 【答案】B 【解析】 【分析】 先对已知函数 f(x)求导，由 13fe可得 a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而 可得 x=0 处的切线方程
3、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 2222 xxx fxexa exa e， 143fa ee， 解得1a ， 即 21 x f xxe， 01f ， 则 21 x fxxe， 01f，曲线 yf x 在点0 x 处的切线方程为110yx ，即10 xy . 【点睛】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数 f(x)中的未知量 a 3.现对某次大型联考的 1.2 万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布 2 (520,)N，已知 (470570)0.8P，则成绩高于 570 的学生人数约为（） A. 1200B. 2400C. 3000D.
4、 1500 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正态分布的对称性，求得(570)P的值，进而求得高于570的学生人数的估计值. 【详解】 1 0.8 (570)0.1 2 P ， 则成绩高于 570 的学生人数约为 4 0.1 1.2 101200 . 故选 A. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础 题. 4.袋中有 10 个大小相同但编号不同的球，6 个红球和 4 个白球，无放回地依次摸出 2 个球， 在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（） A. 3 5 B. 2 5 C. 1 10 D. 5 9 【答案】D 【解析】 试题分析：
5、先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条 件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概 率为，根据条件概率公式，得：,故选 D. 考点：条件概率与独立事件. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定 义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事 件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法属于中档题，看准确事件之间的联系， 正确运用公式，是解决本题的关键. 5.已知曲线eln x yaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则（） A.
6、,1ae b B.,1ae bC. 1, 1aeb D. 1, 1aeb 【答案】D 【解析】 【分析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b 【详解】详解：ln1, x yaex 1 |12 x kyae ， 1 ae 将(1,1)代入2yxb得21,1bb ，故选 D 【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系 6.有 8 件产品，其中 4 件是次品，从中有放回地取 3 次（每次 1 件） ，若X表示取得次品的次 数，则(2)P X （） A. 3 8 B. 13 14 C. 4 5 D. 7 8 【答案】D 【解
7、析】 【分析】 首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为 41 82 从中取 3 次，X 为取得次品的次数，则 1 3, 2 XB , 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 3 10 23 2 333 1 (2)(2)(1)0 1117 22228 P XP XP XP XCCC , 选择 D 答案 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础 题 7.已知随机变量X的分布如下表所示，则()E X等于（） X101 P0.50.2 p A.
8、0B. 0.2C. 1D. 0.3 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题目条件求出p值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案 【详解】由题可得0.50.21p得0.3p ， 则由离散型随机变量的期望公式得()1 0.50 0.20.30.2E X 故选 B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望公式，属于一般题 8.函数 2 62 x f xxxe的极值点所在的区间为（） A.0,1B.1,0C.1,2D.2, 1 【答案】A 【解析】 【分析】 求出导函数 262 x fxxe ，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间 【详解】 2 62 x f xxxe， 高考资源网（）
9、您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 262 x fxxe ，且函数 fx单调递增 又 0 0624 0,1420fefe ， 函数 fx 在区间0,1内存在唯一的零点， 即函数 f x的极值点在区间0,1内 故选 A 【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数 的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否 则导函数的零点就不是极值点 9.如图是函数( )yf x的导函数( )yfx的图像，则下面判断正确的是() A. 在区间（-2,1）上 ( )f x是增函数 B. 在区间（1,3）上 ( )f x是减函数
10、 C. 在区间（4,5）上 ( )f x是增函数 D. 当4x 时， ( )f x取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导函数的正负来判断原函数的单调性,对选项逐一进行判断即得答案. 【详解】选项 A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A 错误 选项 B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B 错误 选项 C, 区间（4,5）导函数恒大于 0，原函数单调递增，C 正确 选项 D，当4x 处，左边减右边增， ( )f x取极小值，D 错误 答案是 C 【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查同 高考资源网
11、（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 学们对于图像的理解和判断. 10.已知函数( )2 () xx f xeex xR ， 则不等式 2 (1)10fxfx的解集是 （） A. 2,1B. 1,2 C.(, 12,) D.(, 21,) 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，将不等式 2 110fxfx化为 2 11fxf x， 再由函数的单调得到 2 11xx，求解即可得出结果. 【详解】因为函数 2 xx f xeex xR ， 所以 2 xx fxeexf x ，因此函数 f x为奇函数， 所以 2 110fxfx化为 2 11fxf x， 又 20 xx
12、 fxee 在R上恒成立，因此函数 2 xx f xeex 恒为增函数， 所以 2 11xx，即 2 20 xx ，解得12x . 故选:B 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及 利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型. 11.若 32 ( )61f xxaxax有极大值和极小值，则a的取值范围是（） A. (1,2)B. (,1)(2,+) C. (3,6)D. (,3)(6,+) 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出导数 fx，由 fx有极大值、极小值可知( ) 0fx =有两个不等实根，利用判别式 大于零求解即可. 高考资源网（）您
13、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【详解】解：函数 32 ( )61f xxaxax， 所以 2( ) 326fxxaxa， 因为函数有极大值和极小值，所以方程( ) 0fx =有两个不相等的实数根， 即 2 3260 xaxa有两个不相等的实数根， 2 (2 )4 3 (6)0aa ，解得：3a 或6a . 故选：D. 【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值中的应用，将函数有极大值和极 小值，转化为方程( ) 0fx =有两个不相等的实数根是解题的关键. 12.已知定义在R上的函数 ( )f x的导函数为 ( )fx ，且对任意xR都有( )2fx ， (1)3f
14、，则不等式( )210f xx 的解集为（） A.(,1)B.(1,)C.(0,)D.(,0) 【答案】B 【解析】 【分析】 先构造函数( )( )21g xf xx，求导得到( )g x在 R 上单调递增，根据函数的单调性可 求得不等式的解集. 【详解】构造函数( )( )21g xf xx，(1)3f， (1)(1)210gfx. 又任意xR都有( )2fx .( )( )20g xf x在 R 上恒成立.( )g x在 R 上 单调递增.当( )(1)g xg时，有1x ，即( )210f xx 的解集为|1x x . 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个
15、新函数是解决本 题的关键. 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 13.已知随机变量 X 的分布列为 P（Xk） 2 k a （k1,2,3,4） ，则 a 等于_ 【答案】5 【解析】 试题分析： 随机变量X的取值有 1、2、3、4,分布列为： X1234 P 1 2a 1 a 3 2a 2 a 由概率的基本性质知： 4 1 () k P Xk 1132 1,5 22 a aaaa 考点：1、离散型随机变
16、量的分布列 14.设服从二项分布,B n p的随机变量的期望与方差分别是 15 和 45 4 ，则n _， p _ 【答案】(1). 60(2). 1 4 【解析】 【分析】 若随机变量X服从二项分布，即B（n，p） ，则随机变量X的期望E（X）np，方差D（X） np（1p） ，由此列方程即可解得n、p的值 【详解】由二项分布的性质：E（X）np15，D（X）np（1p） 45 4 解得p 1 4 ，n60 故答案为 60 1 4 【点睛】本题主要考查了二项分布的性质，二项分布的期望和方差的公式及其用法，属于基 础题. 15.已知曲线( )(1)lnf xaxx在点(1,0)处的切线方程为1
17、yx，则实数a的值为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - _. 【答案】2 【解析】 【分析】 求导函数。由(1)1 f 可求得a。 【详解】由题意 1 ( )ln ax fxax x ，(1)1fa，由 1 1a 得2a 。 故答案为：2。 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。 16.若1x 是函数 2 5 x xaefxx 的极值点， 则 fx在2 2 ,上的最小值为_. 【答案】3e 【解析】 【分析】 先对 f(x)求导， 根据 10f可解得 a 的值， 再根据函数的单调性求出区间2 2 ,上的最小 值 【详解】 2
18、 52 xx xa eefxxxa 2 (2)5 x exaxa ， 则 1220fea，解得1a ，所以 2 5 x f xxxe， 则 2 34 x exfxx41 x exx.令 0fx ，得4x 或1x ； 令 0fx ，得41x .所以 fx在2,1上单调递减；在1,2上单调递增.所以 min 13fxfe . 【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由 10f求出未知量 a 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 6 道小题，共道小题，共 7070 分）分） 17.已知函数 32 3 22,1 2 fxxxxx （1）求 ( )f x的单调区间； 高考资源网（
19、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （2）求 ( )f x的最大值和最小值 【答案】 （1）见解析； （2）最大值为 6，最小值为 13 8 . 【解析】 【分析】 （1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于 0 和小于 0，结合已知函数定义域求得原函 数的单调区间； （2）求出函数在2，1两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案 【详解】 （1） f(x)3x 24x13(x1 3 )(x1)由 f(x)0，得 x 1 3 ； 由 f(x)0，得1x 13 8 ， f(x)在 3 2 ，1上的最大值为 f(1)6，最小值为 f 313 28 . 【点睛】本题考查利用
20、导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值， 是中档题 18.已知函数 3 ( )32f xxax，曲线( )yf x在1x 处的切线方程为30 xym. （）求实数a，m的值； （）求 ( )f x在区间1,2上的最值. 【答案】 （）最大值为2，最小值为2 4 2 .（）最大值为2，最小值为2 4 2 . 【解析】 【分析】 （）切点(1, )y在函数 3 ( )32f xxax上，也在切线方程为30 xym上，得到一 个式子， 切线的斜率等于曲线( )yf x在1x 的导数， 得到另外一个式子， 联立可求实数a， m的值； （）函数( )f x在闭区间的最值在极值点或者端
21、点处取得，通过比较大小可得最大 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 值和最小值. 【详解】解： （） 2 ( )33fxxa， 曲线 3 ( )32f xxax在1x 处的切线方程为30 xym， (1)333 (1)333 fa fam 解得2a ，0m . （）由（）知， 3 ( )62f xxx，则 2 ( )36fxx， 令( )0fx ，解得 2x ， ( )f x在1, 2)上单调递减，在( 2,2上单调递增， 又(1)1 623f ， 3 (2)26 222f ， 3 2262224 2f ， ( )f x在区间1,2上的最大值为 2，最小值为2 4
22、 2 . 【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题. 19.已知函数 2 2 x fxxx e. （1）求曲线 yf x在原点处的切线方程. （2）当2x 时，求函数 yf x的零点个数; 【答案】 （1）2yx （2）函数 yf x零点个数为两个 【解析】 【分析】 （1）根据导数的几何意义，即可求解曲线 yf x在原点处的切线方程； （2）由（1） ，求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数 【详解】 （1）由题意，函数 2 2 x fxxx e，则 2 2 x fxxe，则 02 f ， 从而曲线 yf x在原点处的切线方程为2yx （2）由（1）知
23、 2 2 x fxxe，令 0fx得 2x 或 2x ， 从而函数 yf x单调增区间为,2 ，2,单调减区间为2,2， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 当 2x 时， 2 20 x fxxx e恒成立，所以在 ,2 上没有零点； 当 22x 时，函数在区间2,2单调递减，且 00f，存在唯一零点； 当 2x 时，函数在区间单调2,递增，且 20f，存在唯一零点 综上，当2x 时，函数 yf x零点个数为两个. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究 函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基
24、础题 20.某超市在节日期间进行有奖促销， 凡在该超市购物满200元的顾客， 将获得一次摸奖机会， 规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾 客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励 10元；若两只球颜色不同，则不奖励 （1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率； （2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期 望 【答案】 （1） 1 10 ； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据古典概型概率计算公式可求得结果； （2）分别求出一名顾客摸球中奖10元和不中奖 的
25、概率；确定X所有可能的取值为：0，10，20，30，40，分别计算每个取值对应的概 率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求解期望即可. 【详解】 （1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A 从袋中摸出两只球共有： 2 5 C种取法；摸出的两只球均是红球共有： 2 2 C种取法 2 2 2 5 1 10 C P A C （2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B，不中奖为事件C 则： 2 3 2 5 3 10 C P B C ， 63 1 105 P CP AP B 由题意可知，X所有可能的取值为：0，10，20，30，40 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 则 9
26、0 25 P XP CP C； 9 102 25 P XP BP C； 21 202 100 P XP AP CP BP B； 3 302 50 P XP AP B； 1 40 100 P XP AP A 随机变量X的分布列为： X010203040 P 9 25 9 25 21 100 3 50 1 100 992131 01020304010 252510050100 E X 【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关 键是能够根据通过积事件的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分 布列. 21.某射手每次射击击中目标的概率是 2 3
27、 ，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击 3 次 （1）求恰有 2 次击中目标的概率； （2）现在对射手的 3 次射击进行计分：每击中目标 1 次得 1 分，未击中目标得 0 分；若仅有 2 次连续击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分记X为射手射击 3 次后的总 得分，求X的概率分布列与数学期望()E X 【答案】 （1） 4 9 ； （2） 86 = 27 E X 【解析】 【分析】 （1）先记“射手射击 3 次，恰有 2 次击中目标”为事件A，根据题中条件，即可得出结果； （2）先由题意确定X的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望 即可.
28、 【详解】 （1）记“射手射击 3 次，恰有 2 次击中目标”为事件A， 因为射手每次射击击中目标的概率是 2 3 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 所以 2 2 3 224 ( )1 339 P AC ； （2）由题意可得，X的可能取值为0,1,2,3,6， 3 21 (0)1 327 P X ； 2 1 3 222 (1)1 339 P XC ； 2124 (2) 33327 P X ， 2211228 (3) 33333327 P X ， 3 28 (6) 327 P X ； 所以X的分布列如下： X01236 P 1 27 2 9 4 27 8 27
29、 8 27 因此， 1248886 ()01236 27927272727 E X . 【点睛】本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算 公式，以及分布列与期望的概念即可，属于常考题型. 22.已知函数 2 ( )2(1)2 ln (0)f xxaxax a （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）求 ( )f x的单调区间； （3）若( ) 0f x 在区间1,e上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）切线方程为3y . （2）当01a时， ( )f x的单调增区间是(0, )a和(1,)，单调减区间是( ,1)a
30、 ； 当1a 时， ( )f x的单调增区间是(0,)； 当1a 时， ( )f x的单调增区间是(0,1)和( ,)a ，单调减区间是(1, )a. （3） 2 e2e 2e2 a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【解析】 试题分析： （1）求出 a=1 时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可； （2） 对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区间端点的位置 关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性； （3）恒成立问题常转化为最值计 算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间1，e上只可能有极小值点
31、，所以只需 令区间端点对应的函数值小于等于零求解即可 试题解析： （1）a1，f（x）x 24x2lnx， f （x）（x0） ，f（1）3，f （1）0，所以切线方程为 y3 （2）f （x）（x0） ， 令 f （x）0 得 x1a，x21， 当 0a0，在 x（a，1）时，f （x）1 时，在 x （0，1）或 x（a，）时，f （x）0，在 x（1，a）时，f （x）0，f（x） 的单调增区间为（0，1）和（a，） ，单调递减区间为（1，a） （3）由（2）可知，f（x）在区间1，e上只可能有极小值点，f（x）在区间1，e上的 最大值必在区间端点取到，f（1）12（a1）0 且 f（e）e 22（a1）e2a0， 解得 a 考点：导数法求切线方程； 求含参数的函数的单调性问题； 恒成立问题求参数范围 【方法点睛】恒成立问题求参数范围常常将参数移到一边转化为函数最值问题即 恒成立，即等价于该解法的优点是不用 讨论，但是当参数不易移到一边，或移到一边后另一边的函数值域不易求时，就不要移，而 是将不等式的一边化为零即，由于此时函数含有参数，所以应讨 论并求最值，从而求解 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -
