1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2020-2021 学年度第一学期永寿县中学第一次月考试题学年度第一学期永寿县中学第一次月考试题 高二数学高二数学 一一 单选题单选题 1. 设集合 2 |60Ax xx， |230Bxx，则AB （） A. 3 ,3 2 B. 3 3, 2 C. 3 1, 2 D. 3 2, 2 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出集合A，B，再根据交集的定义求出AB 【详解】解：集合 2 |60 | 23Ax xxxx ， 3 |230| 2 Bxxx x ， 3 ,3 2 AB 故选：A 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，
2、考查运算求解能力，属于基础题 2. 函数 1 ( ) 21 x f x 的定义域为() A.(1,)B.(0,) C.,00,D.,11, 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 ( )f x的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可 【详解】解：函数 1 ( ) 21 x f x 中， 令210 x ，解得0 x ， 所以函数 ( )f x的定义域为 ,00, 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 故选：C 【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，属于基础题 3. 数列 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 1 16 ，的一个通项公式是（） A. 1
3、 2n B. ( 1) 2 n n C. 1 ( 1) 2 n n D. 1 ( 1) 2 n n 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数列的前 4 项可知，奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值为 1 2n ，从而可得其 通项公式 【详解】解：根据数列的前 4 项可知，奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值为 1 2n ， 所以数列的一个通项公式为 1 ( 1) 2 n n n a ， 故选：B 【点睛】此题考查数列的定义及其表示方法，考查求数列的通项公式，属于基础题 4. 数列 n a的通项公式为323 n an，当 n S取到最小时，n （ ） A. 5B. 6 C. 7D. 8
4、 【答案】C 【解析】 试题分析：数列 n a的通项公式323 n an,数列 n a为公差为的递增的等差数列, 令可得,数列 n a的前项为负数,从第项开始为正数,取最 小值时,为，所以 C 选项是正确的. 考点：等差数列的性质. 5. 已知数列 n a满足： 1 2a ， 1 32 nn aa ，则 n a的通项公式为（） A.21 n anB.31 n n a C. 21 2 n n a D.64 n an 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【答案】B 【解析】 【分析】 把 1 32 nn aa 两边同加上 1，可得数列1 n a 为等比数列，则 n a的
5、通项公式可求. 【详解】解：由 1 32 nn aa ，所以 1 131 nn aa ， 1 1 3 1 n n a a ， 所以数列1 n a 是首项为 1 13a ，公比为3的等比数列， 所以 1 13 33 nn n a ，31 n n a ， 故选：B 【点睛】考查递推数列求通项公式以及等比数列定义的应用，基础题. 6. 在等差数列 n a中， 357 12aaa，则 19 aa（） A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 数列 n a为等差数列，结合等差数列的性质易求解. 【详解】解：由题意， 3575 312aaaa，则 5 4a ，所以 195 28aa
6、a. 故选：D. 【点睛】考查等差数列的性质的应用，基础题. 7. 已知数列 n a为等差数列，且 1713 2aaa，则 7 tana （） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 3 【答案】A 【解析】 分析：先化简 1713 2aaa，再求 7 tana 详解：由题得 11377777 2 ()232 ,. 3 aaaaaaa 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 所以 7 tana 2 tan3. 3 故答案为 A 点睛： （1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水 平. (2) 等差数列 n a中，如果mnpq,则 mnp
7、q aaaa ,特殊地，2m pq 时， 则2m pq aaa ， m a是 pq aa、 的等差中项. 8. 已知向量(2,1),( , 1)abx ，且a b ，则x （） A. 1 2 B. 1 2 C. 2D.2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件a b 便有 0a b ，进行向量数量积的坐标运算便可得出x的值 【详解】解：a b ，2,1a r ，, 1bx ； 210a bx ； 1 2 x 故选：A 【点睛】考查向量数量积的坐标运算以及向量垂直的充要条件，属于基础题 9. 已知 5 cos 5 ， 10 sin() 10 - -= = - - ，均为锐角，则sin（） A.
8、 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求出 3 10 cos() 10 ，sinsin利用两角和的正弦公式即可得 解. 【详解】由题，均为锐角，所以00, 2222 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 10 sin() 10 - -= = - - ，所以 3 10 cos() 10 ， 52 5 cos,sin 55 sinsinsincoscossin 1053 102 52 1051052 . 故选：B 【点睛】此题考查三角函数给值求值问题，关键在于根据题意分析角的取值范围，整体代入 利用两角和的正弦公式求解
9、. 10. 已知数列 n a满足 11 5,2n nn aa a ，则 7 3 a a （ ） A. 4B. 2C. 5D. 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 1 2n nn a a ，再写一个式子，两式相比得到奇数项成等比数列，则可解. 【详解】解： 1 2n nn a a ，所以 1 1 22 n nn aan ，所以 1 1 22 n n n a a ， 数列 n a的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故 2 7 3 24 a a ， 故选：A 【点睛】考查递推公式以及等比数列的定义的应用，基础题. 11. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛
10、积公式， 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或 者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有 高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第 8 项为() A. 99B. 131C. 139D. 141 【答案】D 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【分析】 根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第 8 项； 【详解】所给数列为高阶等差数列 设该数列的第 8 项为x 根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新
11、数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图： 根据图象可得：3412y ，解得46y 9546xy 解得：141x 故选：D 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了 分析能力和计算能力，属于中档题 12. 设数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a 2(1)() n n S annN n ，则数列 1 3 n Sn 的前 10 项的和是（） A. 290B. 9 20 C. 5 11 D. 10 11 【答案】C 【解析】 【分析】 由2(1)() n n S annN n 得 n a为 等 差 数 列 ，
12、 求 得43 n annN， 得 111 11 32 (1)21 n Snn nnn 利用裂项相消求解即可 【详解】由2(1) n n S annN n 得2 (1) nn Snan n， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 当2n 时， 11 (1)4(1) nnnnn aSSnanan ，整理得 1 4 nn aa ， 所以 n a是公差为 4 的等差数列，又 1 1a ， 所以43 n annN，从而 21 33222 (1) 2 n n n aa Snnnnn n ， 所以 111 11 32 (1)21 n Snn nnn ， 数列 1 3 n Sn 的前
13、 10 项的和 115 1 21111 S . 故选C. 【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记 公式，准确得 n a是等差数列是本题关键，是中档题 二二 填空题填空题 13. 已知扇形的圆心角为 4 ，半径为2 2，则扇形的面积为_. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用扇形面积公式得到答案. 【详解】 2 11 8 224 Sr 故答案为 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于简单题. 14. 若, 1,kb三个数成等差数列，则直线y kxb 必定经过点_ 【答案】(1, 2) 【解析】 【分析】 由条件可得 k+b2，即2k1+b，故直线 yk
14、x+b 必经过定点（1，2） 【详解】解：若 k，1，b 三个数成等差数列，则有 k+b2，即2k1+b，故直线 y 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - kx+b 必经过定点（1，2） ， 故答案为 （1，2） 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，直线过定点问题，属于基础题 15. 已知数列 n a满足： 1 1 1 n n a a ，且 1 2a ，则 2019 a_； 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 由题意首先确定数列为周期数列，然后求解 2019 a的值即可. 【详解】由 1 1 1 n n a a 可得： 1 1 1 n n a a ，结合 1
15、2a 有： 2 1 1 1 1 a a ， 3 2 11 12 a a ， 41 3 1 2 1 aa a ， 则数列 n a是周期为 3 的数列，则 20193 3 6723 1 2 aaa . 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写 出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项， 再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列， 或用累加法、累乘法、迭代法求通项 16. 数列an的前 n 项和为 Sn，若 11 ,1,31 nn aaSn 则 n a _ 【答案】 2 1,1 3 4,
16、2 n n n a n . 【解析】 【详解】 1 3,1 nn aSnNn 时， 2 3,2an时， 1 3 nn aS ， 可得 1 3 nnn aaa ， 即 1 4, nn aa 数列 n a从第二项起为等比数列，2n 时，= n a 2 3 4n ，故答案为 2 1,1 3 4,2 n n n a n . 【方法点睛】本题主要考查数列通项与前n项和之间的关系以及公式 1( 2) nnn aSSn 的 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 应用，属于难题.已知 n S求 n a的一般步骤： （1）当1n 时，由 11 aS求 1 a的值； （2）当2n 时，由
17、 1nnn aSS ，求得 n a的表达式； （3）检验 1 a的值是否满足（2）中的表达式，若不 满足则分段表示 n a； （4）写出 n a的完整表达式. 三三 解答题解答题 17. 已知函数 f（x）2sin2x+2 3sinxcosx （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）若 x0， 5 12 ，求函数 f（x）的值域 【答案】 （1）T； （2）0，3 【解析】 【分析】 （1）化简得( )2sin(2) 1 6 f xx ，即得解； （2）利用正弦函数的定义域和值域，逐步求出函数 f（x）的值域 【详解】 （1） 2 ( )2sin2 3sin cos1cos23sin22s
18、in(2)1 6 f xxxxxxx ， 函数( )f x的最小正周期 2 2 T （2） 0 x ， 5 12 ， 2 66 x ， 2 3 ， 1 sin(2) 62 x ，1， ( )2sin(2)10 6 f xx ，3，即函数( )f x的值域为0，3 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，考查正弦函数的周期性、定义域和值域，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平 18. 已知数列 n a中， 1 2a ， 1 23 nn aa ，且3 nn ba， （1）证明数列bn是等比数列； （2）求数列an的通项公式. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 5 23 n n a . 【
19、解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【分析】 （1） 由数列递推式 1 23 nn aa 可得 1 3 2 3 n n a a ， bn是等比数列得证；（2） 根据3 nn ba 结合（1）的结论即可求数列an的通项公式. 【详解】 （1） 1 23 nn aa 1 323 nn aa ，即 1 3 2 3 n n a a ，又 bn=an+3，即 1 2 n n b b ，b1=a1+3=5， 数列bn是以 5 为首项，以 5 为公比的等比数列. （2）由（1）得 1 5 2n n b ，所以 1 5 23 n n a 【点睛】本题考查了根据递推公式，通
20、过构造法证明等比数列，进而求数列通项公式，属于 简单题. 19. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 点, n n S ( * nN)均在二次函数 2 2fxxx的图象 上. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 3 n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【答案】 （1）23 n an； （2） 3 12 n T n . 【解析】 【分析】 （1）通过点 , n n S ( * nN)均在二次函数 2 2fxxx的图象上，求出 2 2 n Snn利用 1nnn aSS ，求解数列 n a的通项公式； （2）通过23 n an，数列 n b的通项公式，
21、利用裂项消项法求解数列的和即可. 【详解】 （1）点 , n n S ( * nN)均在二次函数 2 2fxxx的图象上， 2 2 n Snn， 当1n 时， 11 121aS ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 当2n 时， 2 2 1 212123 nnn aSSnnnnn ， 经检验， 1 1a 满足上式， 数列 n a的通项公式是23 n an； （2）23 n an， 1 33311 232122321 n nn b a annnn ， 123nn Tbbbb 3313 11311 1 11 2232 3522321nn 311111 1 1 1 2
22、3352321nn 313 1 22112nn . 【点睛】 本题考查已知数列的前n项和求数列通项公式， 以及用裂项相消法求数列的前n项和， 属于综合题. 20. 设数列 n a满足 1 2a ， * 1 3 4n nn aanN ； （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 nn bna，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】 （1）42 n n a ； （2） 2 34 41 23 n n nn S . 【解析】 【分析】 （1）用累加法求通项公式 n a； （2）用分组求和法求 n S 【详解】 （1） 1 3 4n nn aa ， 1 1 3 4n nn aa ； 高考资源网（
23、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 2 12 3 4n nn aa ； 21 3 4aa ， 1 21 1 12 41 3 43 43 444 4 1 n nn n aa ， 42 n n a ， 1 2a 也适合此式， 42 n n a ，*nN （2）由（1）得42 n nn bnan， 12 (12)4442 n n Snn 2 4 41 (1)34 241 24 123 n n n nnn n . 【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式，用分组求和法求数列的和，掌握等比数列的 前n项和公式是解题基本本题属于基础题 21. 已知等差数列 n a满足 3 6a ，前 7
24、 项和为 7 49.S （）求 n a的通项公式 （）设数列 n b满足(3) 3n nn ba，求 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)3. n an (2) 1 (21) 33 4 n n n T . 【解析】 试题分析： （1）根据等差数列的求和公式可得 17 74 7 =7=49 2 aa Sa ，得 4=7 a，然后由 已知 3 6a 可得公差，进而求出通项； （2）先明确3 3n nn ba= 3nn ，为等差乘等比型 通项故只需用错位相减法即可求得结论. 解析： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （）由 17 74 7 =7=49 2 aa
25、Sa ，得 4=7 a 因为 3 6a 所以1d 1 4,3 n aan所以 （）3 3 =3 nn nn ban 123 1 32 33 331 n n Tn 所以 234+1 31 32 33 332 n n Tn 1 23+1+1 33 12233333=3 1 3 n nnn n Tnn 由得： +1 2133 4 n n n T 所以 22. 已知数列 n a满足 1 21 nn aa * 2,nNn，且 1 1a ，1 nn ba. （1）证明：数列 n b是等比数列； （2）求数列 n nb的前n项和 n T. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 21 2n n Tn .
26、【解析】 【分析】 （1）根据1 nn ba求得 1n b ，化简成含 n a的表达式再得 1 2 nn bb 即可. （2）根据（1）中等比数列的首项与公比求得数列 n b的通项公式，再根据乘公比错位相减 法求和即可. 【详解】 （1）证明：当2n 时， 1 21 nn aa ， 11 12221 nnn aaa . 1 2 n n b b ， 11 12ba . 数列 n b是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （2）解： 1 1 22 nn n bb ， 231 1 22 23 21 22 nn n Tnn ， 2341 21 22 23 21 22 nn n Tnn ， ： 2341 1 222222 nn n Tn ， 11 222 221 2 12 n nn n Tnn . 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法，同时也考查了等比等差数列 求和的公式等，属于中档题目.
