1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 长宁区高二上期末数学试卷长宁区高二上期末数学试卷 一、填空题一、填空题 1.若线性方程组的增广矩阵为 102 113 ，( , ) x y为该方程组的解，则2xy_ 【答案】5 【解析】 【分析】 根据增广矩阵的定义，将线性方程组还原求解即可. 【详解】因为线性方程组的增广矩阵为 102 113 ， 所以线性方程组为： 2 3 x xy ， 解得 2 1 x y ， 所以25xy. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查增广矩阵的定义及相对应方程组的求解，还考查了运算求解的能力， 属于基础题. 2.三阶行列式 310 101 111
2、中，元素 3 的代数余子式的值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 由题意结合代数余子式的定义计算行列式中代数余子式的值即可. 【详解】由代数余子式的定义可知， 三阶行列式 310 101 111 中，元素 3 的代数余子式的值为： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 1 1 01 110 11 11 . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查代数余子式的计算，属于基础题. 3.无穷等比数列 n a的首项为 1,公比为 1 2 ,则数列 n a的各项和为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 先由等比数列的求和公式,得到前n项和,对前n项和求极限,即可得出结果. 【详解】因
3、为无穷等比数列 n a的首项为1,公比为 1 2 , 因此其前n项和为 1 1 1 12 2 1 2 1 2 n n , 所以 n a的各项的和为 1 1 lim 22 2 n n . 故答案为：2 【点睛】本题主要考查求无穷等比数列的各项和,熟记等比数列的求和公式即可,属于基础题 型. 4.已知(2,1)a ，(3,4)b ，则a 在b 的方向上的投影为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据向量a 在b 的方向上的投影为 a b b ，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即 可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a ，(3,4)b ， 可得 2 3 1 410a b ， 22 34
4、5b ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 则a 在b 的方向上的投影为 10 2 5 a b b . 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影 的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重 考查推理与运算能力. 5.直线210 xy 的倾斜角为_ 【答案】arctan2 【解析】 【分析】 先求直线210 xy 的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210 xy 的斜率为2k ,设倾斜角为,所以tan2= -, 则arctan2 故答案为：arctan2
5、 【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力 6.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的 下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层灯数为_ 【答案】3 【解析】 分析：设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为 2 的等比数列，利用等比数列前 n 项和公式 能求出结果 详解: 设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为 2 的等比数列， S7= 7 1(1 2 ) 1 2 a =381，解得 a1=3故答案为 3. 点睛：本题考查了等比数列的通项公
6、式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 7.已知直线 1: 42l m xym， 2: l xm ym，若 12 /ll，则实数m_ 【答案】2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【解析】 【分析】 根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线 1: 42l m xym， 2: l xm ym， 若 12 /ll，则 2 4 102mm ， 当2m 时， 1 l和 2 l化简为： 1: 22lxy， 2: 22lxy，此时， 1 l与 2 l重合，故2m 时 不符合题意 当2m 时， 1 l和 2 l化简为： 1: 20lxy， 2: 220lxy，此时，
7、 1 l与 2 l不重合且平 行，故2m 时符合题意 故答案为：2. 【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题. 8.一条河两岸平行,河宽 2km,一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸若船速为 26km/h,水流速 度为 10km/h,则该快艇到达对岸的最快时间为_分钟 【答案】5 【解析】 【分析】 画图分析,根据向量的平行四边形法则求解当船朝正对岸行驶时的速度,再求出行驶时间即 可. 【 详 解 】 易 得 当 船 速 1 v 与 水 流 速 度 2 v 的 和 速 度v 垂 直 于 岸 边 时 最 快 到 达 , 此 时 22 22 12 261024/vvvkm
8、h .故最快时间为 2 605min 24 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的运用,需要根据题意确定船速与水速间的关系, 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 再根据勾股定理求得实际行船速度.属于基础题. 9.如图，已知平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OC 与OA 和OB 的夹角分别为30和 90，且| | 1OAOB ，| 2 3OC ，若( ,)OCOAOBR ，则 2_ 【答案】8 【解析】 【分析】 过点C作向量,OA OB 的平行线与它们的延长线分别交于,D E两点， 得到四边形ODCE平行 四边形，结合平面向量的基本定理，即
9、可求解。 【详解】如图所示，过点C作向量,OA OB 的平行线与它们的延长线分别交于,D E两点， 所以四边形ODCE平行四边形，则OC ODOE ， 因为向量OC 与OA 和OB 的夹角分别为30和90， 即90 ,30BOCAOC ,则90 ,30OCDOCE , 在直角OCD中，| 2 3OC ，AOC30 ，所以| |4 cos30 OC OD ， 在直角OCE中，| 2 3OC ，30OCE ，所以 3 |tan302 32 3 OEOC ， 又由| | 1OAOB ，可得 42OCOAOB ， 又因为( ,)OCOAOBR ，所以4,2， 所以28 故答案为：8 高考资源网（）您身
10、边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算和向量的运算法则的应 用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理利用平面向量的基本定理是解答的关键，着 重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力 10.已知数列 n a为等差数列， 若 11 10 1 a a ， 且其前n项和 n S有最大值， 则使得0 n S 的n的 最大值为_ 【答案】19 【解析】 【分析】 首先根据条件 11 10 1 a a ，结合其前n项和 n S有最大值，可得数列 n a的公差0d ，从而得 到 10 0a， 11 0a ， 根 据 求 和 公 式 可 得
11、119 1910 19() 190 2 aa Sa ， 120 201011 20() 10()0 2 aa Saa ，最后得到结果. 【详解】由 11 10 1 a a ，可得 1011 10 0 aa a ， 由它们的前n项和 n S有最大值，可得数列的公差0d ， 所以 10 0a， 1110 0aa， 11 0a ， 所以 119 1910 19() 190 2 aa Sa ， 120 201011 20() 10()0 2 aa Saa ， 所以使得0 n S 的n的最大值为19， 故答案为：19. 【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列 高
12、考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 的求和公式，根据题意判断有关最值，属于简单题目. 11.当变化时方程sincos1xy表示一系列的直线，现从中选取四条围成一个正方形， 则该正方形的面积为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 设圆 22 1xy，圆心0,0 ,1r ，根据圆心到直线sincos1xy的距离等于半径，则 sincos1xy表示单位圆的切线方程，从而得到单位圆内切于该正方形求解. 【详解】设圆 22 1xy，圆心0,0 ,1r ， 圆心到直线sincos1xy的距离为： 22 1 1 sincos dr， 所以sincos1xy表示单位圆的切线方程， 从中
13、选取四条围成一个正方形，从而得到单位圆内切于该正方形 如图所示： 所以正方形的边长为 2，面积为 4 故答案为：4 【点睛】本题主要考查直线方程以及直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算 求解的能力，属于中档题. 12.如图所示，已知 0(0,0) A， 1(4,0) A，对任何nN，点 2n A 按照如下方式生成 12 3 nnn A AA ， 121 1 | 2 nnnn AAA A uuuuuuuuruuuuuuu r ，且 n A， 1n A ， 2n A 按逆时针排列，记点 n A的 坐标为(), nn a b（nN） ，则(lim ,lim) nn nn ab _ 高考资
14、源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】 20 4 3 (,) 77 【解析】 【分析】 依题意， 12 3 nnn A AA ， 121 1 | 2 nnnn AAA A uuuuuuuuruuuuuuu r ，可知任意相邻两向量 112 , nnnn A AAA 的夹角均为 3 ，根据向量加法坐标运算公式可求得, nn a b，根据等比数列求和公式以及数列极 限的求解方法得到结果. 【详解】因为 12 3 nnn A AA ， 121 1 | 2 nnnn AAA A uuuuuuuuruuuuuuu r ， 所以任意相邻两向量 112 , nnnn A AAA
15、的夹角均为 3 ， 且 121 1 | 2 nnnn AAA A uuuuuuuuruuuuuuu r ， 所以 00112231nnn A AA AA AA AAA ， 又因为 0 (,) nnn A Aa b ， 所以 233 111 42 cos1 cos1 coscoscoscos 333232323 n a 369 111 3( )( )( ) 222 所以 11 1 ( ) 120 88 lim3lim3 1 77 1 8 n n nn a ， 11 02sin1 sin0sinsin0 334383 n b 1111 sin(2 1) 3483264 311 (1) 2864 ，
16、 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 所以 1 1 ( ) 3384 3 8 limlim 1 2277 1 8 n n nn b 故答案为： 20 4 3 (,) 77 . 【点睛】该题考查的是有关向量和数列的综合题，涉及到的知识点有向量的运算，无穷递缩 等比数列的各项和，属于创新题目. 二、选择题二、选择题 13.记 11 22 ab D ab ，则“0D ”是“方程组 111 222 , , a xb yc a xb yc 有唯一解”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
17、根据矩阵的运算及0D 可知 1 22 1 0aba b，即判断两直线的位置关系；根据两直线有唯一 解的条件，即可判断是否满足0D ，进而由充分必要条件的定义判断. 【详解】 11 22 ab D ab ，由0D 可得 1 22 1 0aba b，即 1 22 1 a ba b， 由两直线方程可知，两条直线必然相交，即有唯一交点，故满足充分性； 若方程组 111 222 , , a xb yc a xb yc 有唯一解，则两直线相交，则满足 1 22 1 a ba b，即 1 22 1 0aba b， 所以由 11 22 ab D ab 可知0D ，故满足必要性； 综上可知，“0D ”是“方程组
18、 111 222 , , a xb yc a xb yc 有唯一解”的充分必要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查了二阶矩阵的简单运算，两直线位置关系的判断，充分必要条件的定义与 判定，属于基础题. 14.下图中的直线 1 l、 2 l、 3 l的斜率分别为 1 k、 2 k、 3 k,则（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - A. 123 kkkB. 312 kkk C. 321 kkkD. 132 kkk 【答案】D 【解析】 【分析】 根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可. 【详解】由图可知： 1 0k , 2 0k , 3 0k ,且直线 3 l的倾斜角小
19、于直线 2 l的倾斜角,所以 32 kk,综上可知： 132 kkk. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 15.平面上O、A、B三点不共线，设OA a ，OB b ，则OAB的面积等于（） A. 222 | |()aba b rrr r B. 222 | |()aba b rrr r C. 222 1 | |() 2 aba b rrr r D. 222 1 | |() 2 aba b rrr r 【答案】C 【解析】 【分析】 由三角形的面积公式可知 1 sin, 2 OAB Sa ba b ，结合数量积公式可选出正确答案. 【详解】解：由三角形的面积公式
20、知 2 11 sin,1cos, 22 OAB Sa ba ba ba b 2222 222 2 11 cos, 22 ababa baba b . 故选：C. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积. 16.设为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t变化时|atb 的最小值为 2,则（） A. 若确定,则|a 唯一确定B. 若确定,则|b 唯一确定 C. 若|a 确定,则唯一确定D. 若|b 确定,则唯一确定 【答案】A 【解析】 【分析】 画图利用点与直线上的点的距离大小关系,以及向量的加减法性质判定
21、即可. 【详解】如图,记OA a 、AB b 、A H tb uuurr ,则O H atb uuurrr , 当()batb 时,|atb 取得最小值, 若确定,则|a 唯一,|b 不确定, 若|a 确定,可能有两解（图中OA a 或O A a uuuu rr ）, 若|b 确定,则a 不确定,从而也不确定. 故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的图形表示,需要结合点到直线的距离最值以及平面向量的 加法性质分析.属于中档题. 三、解答题三、解答题 17.在平面直角坐标系xOy中，已知向量( 1,2)a ，(1, )bk r （1）若()aab ，求实数k的值； （2）若对于平面xOy内任
22、意向量c ，都存在实数、，使得c ab rrr ，求实数k的取 值范围 【答案】 （1）2k ； （2）2k 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【解析】 【分析】 （1）根据向量垂直，其数量积等于 0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结 果； （2）平面xOy内任意向量c ，都存在实数、，使得c ab rrr ，其等价结果为向量 ( 1,2)a 和向量(1, )bk r 是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果. 【详解】 （1）若()aab ，则有()0aab ，即 2 0aa b rr r ， 又因为( 1,2)a ，(1, )bk r ， 所以
23、2 22 ( 1)2 ( 1) 120aa bk ， 即5 1 20k ，解得2k ； （2）对于平面xOy内任意向量c ，都存在实数、，使得c ab rrr ， 所以向量( 1,2)a 和向量(1, )bk r 是两个不共线向量， 所以12 1k ，即2k ， 所以实数k的取值范围是2k . 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量 基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目. 18.河北省赵县的赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥之一，赵州桥的跨度约为 37.4m，圆拱 高约为 7.2m如图建立直角坐标系，求该圆拱所在圆的标准方程（数值精确到 0
24、.1m） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【答案】 222 (20.7)27.9xy 【解析】 【分析】 根据圆心在弦的中垂线上可求得圆心坐标,再求出圆心到C的距离即为半径即可. 【详解】由题,因为,A B关于原点对称,故圆心Q在y轴上,设0,Qq.又AC中点为 9.35,3.6, 且AC斜 率 7.272 18.7187 k , 故 3.672 1 9.35 187 q , 解 得20.7q . 即 0, 20.7Q. 又半径7.220.727.9QC .故圆拱所在圆的标准方程为： 222 (20.7)27.9xy. 【点睛】本题主要考查了根据三点求解圆的方
25、程的问题,需要根据圆心在弦的中垂线上进行求 解圆心,进而求得半径.属于基础题. 19.已知直线 1: 230lxy及点(2,0)P （1）求点P关于直线 1 l对称的点Q的坐标； （2）求过点P且与直线 1 l夹角为 4 的直线 2 l的方程 【答案】 （1）(0,4)Q； （2）360 xy和320 xy 【解析】 【分析】 (1)设 00 ,Q xy,再根据直线PQ与 1 l垂直,且,P Q的中点在直线 1 l上列式求解即可. (2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线 2 l的斜率,再利用点斜式求解直线 2 l的方程即可. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 【
26、详解】(1) 设 00 ,Q xy,因为,P Q关于直线 1 l对称,故 00 0 0 20 230 22 0 1 1 2 2 xy y x , 即 00 00 280 24 xy yx ,解得 0 0 0 4 x y ,故(0,4)Q. (2)设直线 1 l的倾斜角为, 1 tan 2 .则直线 2 l的倾斜角为 4 或 4 . 当直线 2 l的倾斜角为 4 时, 2 l的斜率 tan1 tan3 41tan ,故直线 2 l的方程为 032yx,化简得360 xy. 当直线 2 l的倾斜角为 3 4 时, 2 l的斜率 3tan11 tan 41tan3 ,故直线 2 l的方程为 1 02
27、 3 yx ,化简得320 xy. 所以直线 2 l的方程为360 xy和320 xy. 【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角 的直线的方程.属于中档题. 20.已知点 (1,0)A ,(4,0)B,点( , )P x y满足| 2|PBPA,记点P的轨迹为 （1）求的方程； （2）设直线250 xy与交于C、D两点,求OCD的面积（O为坐标原点） ； （3） 设Q是线段AB中垂线上的动点,过Q作的两条切线QM、QN,M、N分别为切点, 判断是否存在定点E,直线MN始终经过点E,若存在,求出点E的坐标,若不存在,说明理 由 【答案】 （1） 22
28、4xy； （2）3 OCD S ； （3）定点E的坐标为 8 ( ,0) 5 【解析】 【分析】 (1)根据| 2|PBPA列出关于( , )P x y的方程再化简即可. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - (2)求解O到直线250 xy的距离以及弦长CD,进而求得面积即可. (3) 设 0 5 ( ,) 2 Qy, 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy,根据O M M Q uuuu ruuuu r 以及ONNQ uuu ruuu r 可得 11 ( ,)x y, 22 (,)xy满足的方程,进而求得定点即可. 【详解】 （1）因为| 2|PBPA,故
29、 22 22 421xyxy , 即 22 22 4414xyxy,化简可得 22 4xy； （2）O到直线250 xy的距离为 22 5 1 12 d , | 2 4 12 3CD ,从而 1 |3 2 O CD SCDd ； （3）设 0 5 ( ,) 2 Qy, 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy,其中 22 11 4xy, 22 22 4xy, 由O MM Q uuuu ruuuu r ,可得 11101 5 (,) (,)0 2 x yx yy,化简得 22 10111 5 4 2 xy yxy, 同理,有 202 5 4 2 xy y, 将 11 ( ,)x y, 2
30、2 (,)xy看作方程 0 5 4 2 xy y的两组不同的解, 由方程思想,可知直线MN的方程即 0 5 4 2 xy y, 当0y 时, 8 5 x ,所求定点E的坐标为 8 ( ,0) 5 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解,同时也考查了直线与圆方程中的定点问题,需要根 据题意确定切点满足的关系式,再利用方程的思想求出直线方程,进而求得定点.属于中档题. 21.设数列 n a前n项和为 n S,对任意n N,点( , ) n S n n 都在函数( ) 2 n a f xx x 图像上 （1）求 1 a、 2 a、 3 a,并猜想数列 n a的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）的
31、猜想； （3） 若数列 n b满足： 11 ba, 22 ba,且对任意的k N,都有 21k b 、 2k b、 21k b 成公比为 k q 的等比数列, 2k b、 21k b 、 22k b 成等差数列,设 1 1 k k c q ,求数列 k c 的通项公式 【答案】 （1）2,4,6,2 n an； （2）证明见解析； （3） k ck 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【分析】 (1) 由题意化简可得 2 1 2 nn Sna,再分别令1,2,3n ,代入求解 1 a、 2 a、 3 a即可猜测 2 n an. (2)根据数学归纳法的一般
32、方法,分析1n 时,命题成立,再假设(1,)nk kk N时,命题成 立,即2 k ak.则1nk时代入 2 1 2 nn Sna求解得 1 22 k ak 即可证明. (3)根据题意先求根据 2 1 1 b q b 求得 1 1 1 1 1 c q ,再根据 21k b 、 2k b、 21k b 成公比为 k q的等比数 列,以及 2k b、 21k b 、 22k b 成等差数列可得 2222 2 kkkk bb qb ,进而求得 1 21 k k k q q q ,再代入 1 1 k k c q 计算可得 1 1 kk cc 即可证明数列 k c 为等差数列,进而求得通项公式. 【详解
33、】 （1）由题意, 2 nn Sa n nn , 2 1 2 nn Sna, 令1n ,得 11 1 1 2 aa , 1 2a ,令2n ,得 122 1 4 2 aaa, 2 4a , 令3n ,得 1233 1 9 2 aaaa, 3 6a , 猜测2 n an； （2）证明：11n 时,命题成立, 2假设(1,)nk kk N时,命题成立,即2 k ak, 则1nk时, 22 1 2 kk Skakk, 2 11 1 (1) 2 kk Ska , 得 11 1 1 2 kk aka , 1 22 k ak ,即1nk时,命题也成立, 由1、2可知,对任意的n N,都有 2 n an成立
34、, （3） 2 1 1 4 2 2 b q b , 1 1 1 1 1 c q , 21k b 、 2k b、 21k b 成公比为 k q的等比数列, 2 +12kkk bb q, 又 2k b、 21k b 、 22k b 成等差数列, 2221222 22 kkkkkk bbbb qb , 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 从而 2222 1 212 221 kkkkk k kkkk bb qbq q bb qq , 1 1 11 21 11 1 k k k kk k q c q qq q , 1 1 1 11 k kk kk q cc qq , k c 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 1(1)1 k ckk 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用,同时也考查了等差等比数列的综合运用,需要根 据题意确定数列的递推关系,进而得出数列的类型得出通项公式.属于难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
