1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 曙光学校曙光学校 2019201920202020 学年第二学期月考高二年级数学试题卷学年第二学期月考高二年级数学试题卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 个小题个小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 4040 分分. . 1.已知集合1,3,5A，3,5,7B，则AB () A.1,3,5B.1,7C.3,5D.5 【答案】C 【解析】 【分析】 集合A，B是数集，交集运算求出公共部分即可. 【详解】1,3,5A ，3,5,7B， 35AB， 故选：C 【点睛】本题考查集合交集运算，交集运算口诀：“越
2、交越少，公共部分”. 2.函数 5 ( )log (1)f xx的定义域是() A.(,1)(1,)B.0,1)C.1,)D.(1,) 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数的真数部分大于0，列出不等式解出即可. 【详解】要使函数有意义需满足10 x ，解得1x ， 即函数的定义域为(1,)， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，属于基础题. 3.一元二次不等式 90 xx 的解集是() A.|0 x x 或9x B. |09xx C.|9x x 或0 x D. | 90 xx 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 不
3、等式化为( 9)0 x x ，求出解集即可 【详解】解：不等式(9)0 xx化为( 9)0 x x ， 解得09x， 所以不等式的解集是 |0 9xx 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用，属于基础题 4.若为锐角， 4 sin 5 = =，则cos= A. 1 5 B. 1 5 C. 3 5 - -D. 3 5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据为锐角，可知 2 cos1 sin ，求解得到结果. 【详解】 4 sin 5 且为锐角 2 3 cos1 sin 5 本题正确选项：D 【点睛】本题考查同角三角函数求解，属于基础题. 5.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分
4、别为 a，b，c若a=1，A=30，B=45，则 b 的 值为 A. 2 2 B. 6 3 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定理列方程求出结果. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【详解】由正弦定理 sinsin ab AB 可得： 1 sin30sin45 b 解得： 2b 本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题. 6.已知函数 2 1 11 xx f x xx ，若( )4f x 时，则实数x的值为() A. 2 或2B.2或 3C.3D.5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的解析式分 2
5、 种情况讨论，当1x 时， 2 4x ，当1x 时，14x ， 求出x的值，综合即可得答案. 【详解】根据题意，函数 2 1 11 xx f x xx , 当1x 时， 2 4x ，解得2x 或2x ， 当1x 时，14x ，解得3x ， （舍去） 综上可得实数x的值为 2 或2， 故选：A. 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题. 7.已知函数 3 ( )-f xx，则 A. ( )f x是偶函数，且在(-+ )， 上是增函数 B. ( )f x是偶函数，且在(-+ )， 上是减函数 C. ( )f x是奇函数，且在(-+ )， 上是增函数 D. ( )f x是奇
6、函数，且在(-+ )， 上是减函数 【答案】D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【解析】 【分析】 根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性. 【详解】 3 f xx ，则 3 3 fxxxf x f x为奇函数 又 3 x在 , 上单调递增，则 3 f xx 在, 上单调递减 本题正确选项：D 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 8.i是虚数单位,复数 1 2 ai i 为纯虚数,则实数a为() A.2B.2C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复
7、数，化简复数，然后令实部为 0， 虚部不为 0 建立关于a的方程组解出即可. 【详解】 1(1)(2) 2(2)(2) aiaii iii 2(2 5 1)aai 2(21) 55 aa i 复数 1 2 ai i 为纯虚数 20 210 a a ，解得2a ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、 共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为 复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失 分. 9.已知函数 2 3 1 x y x ，则() A. 有极小值3，且有极
8、大值 3B. 有极小值 3 2 ，且有极大值 3 2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - C. 仅有极大值 3D. 无极值 【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数的导数 22 3(1)(1) (1) xx y x ，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的概念， 即可求解. 【详解】由题意，函数 2 3 1 x y x ，则 222 2 22 22 2 (3 ) (1)3(1)3 33(1)(1) (1)(1)(1) xxxxxxx y xxx ， 令0y ，即3(1)(1)0 xx，解得11x ， 令0y，即3(1)(1)0 xx，解得1x 或1x ， 所以函数
9、 2 3 1 x y x 在区间( 1,1)上单调递增，在区间(, 1) ，(1,)单调递减， 所以当1x 时，函数取得极小值，极小值为 2 3 ( 1)3 1 ( 1)2 y ， 当1x 时，函数取得极大值，极大值为 2 3 13 1 12 y . 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，其中解答中熟记函数的导数与 函数的极值的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 10.对任意0 x e ，不等式 2 2lnln0 x aexa 恒成立，则实数a的最小值为() A. 2 e B. 1 2 e C. 2 e D. 1 2e 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可
10、知0a ，求导得 2 2lnln x f xaexa在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 递增，得 0 min f xf x，又 0 2 0 1 40 x ae x ，代换可得 0 0 1 ln42ln0 2 axa x 恒成 立，又 0 0 1 ln42ln2+ln4ln 2 axaaa x ，得2+ln4ln0aa，计算即可得出答案. 【详解】设 2 2lnln x f xaexa，所以0 x ，0a ，则 2 1 4 x fxae x ， 令 2 1 40 x fxae x ，由图像可知方程有唯一解 0 x， 所以
11、 2 2lnln x f xaexa在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 因为不等式 2 2lnln0 x aexa 恒成立， 所以 0 2 0 min 0 2lnln0 x axxefxfa恒成立， 又 0 2 0 1 40 x ae x ，所以 00 lnln42xax， 代换可得 0 0 1 ln42ln0 2 axa x 恒成立， 又因为 0 0 x ，所以 0 0 1 ln42ln2+ln4ln 2 axaaa x ， 当且仅当 0 1 2 x 时取“=”，即 0 0 min 1 ln42ln2+ln4ln 2 axaaa x ， 所以2+ln4ln0aa，解得 1
12、1 22 e a e . 故选：D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【点睛】本题考查了隐零点问题，不等式恒成立求参数，设出极值点是解题的关键. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分）分） 11.若复数 2 1i z （i为虚数单位） ，则z的实部为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据复数除法运算法则，结合复数实部的定义进行求解即可. 【详解】因为 22(1) 1 1(1)(1) i zi iii ，所以z的实部为 1 故答案为：1 【点睛】
13、本题考查了复数除法运算法则，考查了复数的实部概念，考查了数学运算能力， 是基础题 12.计算： 55 2log 10log 0.25_， 22 log (log 16) _. 【答案】(1). 2(2). 2 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则求解. 【详解】 55 2log 10log 0.25， 55 log 100log 0.25， 5 log 100 0.25， 5 log 252. 22 log (log 16) 4 22 log (log 2 ) 2 22 log 4log 22. 故答案为：2；2. 【点睛】本题主要考查对数的运算法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 1
14、3.已知函数 ( )f x为偶函数,当(0,)x时， ( )21 x f x ，1f _；当 (,0)x 时，( )f x _. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】(1).1(2). 21 x 【解析】 【分析】 ( )f x为偶函数, 则( 1)(1)ff ，(1)f的值可由已知解析式求出；设0 x ，则0 x ，由 函数在0 x 时的解析式可得()fx的解析式，又由函数为偶函数，可得 ( )()f xfx ，即可 求解. 【详解】( )f x为偶函数,( 1)(1)ff， (0,)x时，( )21 x f x ， 1 ( 1)(1)=211ff 设0
15、x ，则0 x ，所以2(1) x fx ， 又由函数( )yf x是偶函数， 则21( )() x f xfx ， 所以当0 x 时，1(2) x f x ， 故答案为：1; 21 x . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性, 函数的奇偶性体现的是一种对称关系， 在求解函数的解析式中的应用,属于容易题 14.已知( )lgf xxx，那么 ( )f x单调递增区间_；( )f x单调递减区间_. 【答案】(1). 1 , e (2). 1 0, e 【解析】 【分析】 求导分析导函数的正负即可求原函数的单调区间. 【详解】因为( )lgf xxx,故 11 ( )lglglglglg ln10l
16、n10 fxxxxxeex x . 令( )0fx 可得1ex ,即 1 x e . 又( )fx 为增函数,故当 1 0, e x 时,( )0fx , ( )f x单调递减； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 当 1 ,x e 时,( )0fx , ( )f x单调递增. 故答案为：(1) 1 , e ；(2) 1 0, e 【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的问题,需要根据题意确定函数的极值点,再 根据导函数的正负区间求解.属于基础题. 15.如图ABC中，已知点D在BC边上，ADAC， 2 2 sin 3 BAC ， 3 2AB ， 3AD ，则B
17、D的长为_ 【答案】 3 【解析】 【分析】 通过诱导公式易知 2 2 cos 3 BAD，利用余弦定理计算即得结论 【详解】解：ADAC，90DAC， 2 2 sinsin(90 )cos 3 BACBADBAD ， 又 3 2AB ，3AD ， 222 2cosBDABADAB ADBAD 2 2 18923 23 3 3， 3BD ， 故答案为： 3 【点睛】本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 16.曲线21 x yxex在点0 x 处的切线
18、方程为_. 【答案】31yx=+ 【解析】 【分析】 先求函数在 x=0 时的导数即切线斜率，写出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程. 【详解】2 xx yexe， 斜率 0 0 |23 x kye ，切点为0,1， 则切线方程为13yx， 即 y=3x+1 故答案为31yx 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线在某一点处的切线方程；步骤一般 为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三， 利用点斜式写出直线方程. 17.已知函数 22 ( )21f xxxaxa .当 1,)x时,( )0f x 恒成立,则实数a的取 值范围是_. 【答案】2
19、,1 【解析】 【分析】 先根据(1)0f可得a的一个范围,再根据a的正负分析原函数的单调性,进而根据求得函数 的最小值求解即可. 【详解】由题,(1)0f,即 22 112 1 10aa ,即 2 20aa ,解得21a . 当20a 时,易得 22 ( )21f xxxaxa 在 1,)x上为增函数； 当01a时,( )21 21 a fxx x ,易得( )fx 在1,)x上为增函数. 故 130fxfa .综上可知,当21a 时, fx在1,)x上为增函数, 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 故 10f xf恒成立.故2,1a . 故答案为：2,1 【点
20、睛】本题主要考查了根据恒成立问题求解参数范围的问题,可先代入区间端点值求出参数 的大致范围,再进一步分析函数的单调性,进而求得参数的具体范围.属于中档题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分，解答写出写字说明、证明过程或演算步骤分，解答写出写字说明、证明过程或演算步骤 18.已知函数( )sin()sin()cos 66 f xxxx ，xR. （1）求(0)f的值； （2）求函数 ( )f x的最小正周期； （3）求函数 ( )f x的最大值. 【答案】 【解析】 【分析】 （1）直接将代入函数中求值； （2）先利用两角和与差的正弦公式对函数进化
21、简，然后再利用辅助角公式化简，可得其周期； （3）由化简后的函数可知sin()1 6 x 时，( )f x取最大值 . 【详解】解： （1）(0)sin()sin()cos0=1 66 f ; （2）因为( )sin()sin()cos 66 f xxxx ， 所以( )sincoscos sinsincoscos sincos 6666 f xxxxxx 2sincoscos 6 xx 3sincosxx 2sin() 6 x 所以函数 ( )f x的最小正周期为 （3）当sin()1 6 x 时，( )f x取最大值 2 【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.
22、 19.已知曲线 3 14 33 yx. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （1）求 ( )f x单调区间； （2）求过点P（2，4）的切线方程. 【答案】 （1）单调递增区间为(,) ，无单调递减区间； （2）440 xy或20 xy. 【解析】 【分析】 （1）求得函数的导数 2 ( )fxx，利用导数值的正负，即可得到函数的单调区间； （2）设切点为 ( , )Q m n，得到过点( , )Q m n切线方程为 32 14 () 33 ymmxm，将点P代入 切线方程，求得m的值，得出切线的斜率，即可求得切线的方程. 【详解】 （1）由题意，函数 3 14
23、 33 f xx，则 2 ( )fxx， 则 0fx ，所以函数 fx在定义域R上为单调递增函数， 即函数 fx的单调递增区间为(,) ，无单调递减区间. （2）设切点为 ( , )Q m n， 由（1）可知 2 ( )fxx，可得切线的斜率为 2 km ， 所以过点 ( , )Q m n切线方程为 2 ()ynmxm，即 32 14 () 33 ymmxm， 将点(2,4)P代入可得 32 14 4(2) 33 mmm， 化简为 32 340mm ，解得1m 或2m ， 即切线的斜率为1k 或4k ， 所以过点P的切线方程为44yx或2yx， 即切线方程为440 xy或20 xy. 【点睛】
24、本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求得曲线过 某点的切线方程，着重考查了推理与预算能力. 20.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为, ,a b c已知tan()3 4 A . （1）求 2 sin 2cosAA 的值； （2）若ABC的面积1S ，2c ，求a的值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【答案】 （1） 8 5 （2）1a 【解析】 【分析】 （1）由两角差的正切公式可得 1 tan 2 A ，转化条件 2 2 2tan1 sin2cos tan1 A AA A 即可得解； （2）由同角三角函数的关系结合题意可得
25、5 sin 5 A ， 2 5 cos 5 A ，由三角形面积公式 1 sin 2 SbcA可得 5b ，再由余弦定理即可得解. 【详解】 （1）由题意 tan()tan 1 44 tantan () 442 1tan() tan 44 A AA A ， 所以 2 2 222 2sincoscos2tan18 sin2cos sincostan15 AAAA AA AAA . （2）由（1） 1 tan 2 A 可得： sin1 tan cos2 A A A 即cos2sinAA， 又 22 sincos1AA ，0,A，所以 5 sin 5 A ， 2 5 cos 5 A ； 又 1 sin
26、1 2 SbcA，2c 可得 5b ； 222 2cos5481abcbcA ； 所以1a . 【点睛】本题考查了利用同角三角函数的关系和三角恒等变换进行化简求值，考查了余弦定 理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 21.设函数 32 ( )23(1)68f xxaxax，aR，若 ( )f x在 3x 处取得极值. （1）求常数a的值； （2）求 ( )f x极值. 【答案】 （1）3a （2）极大值 16，极小值 8 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （1）先求导函数，然后由 ( )f x在 3x 处取得极值可得 (3) 0f，再求解即
27、可； （2）利用导数研究函数的单调性，然后求极值即可. 【详解】解:（1）由 32 ( )23(1)68f xxaxax，aR， 则 2( ) 66(1)6fxxaxa, 由 ( )f x在 3x 处取得极值, 则 (3) 0f, 即5418(1)60aa, 解得3a , 经检验可得当3a 时,3x 为函数的极值点. （2）由（1）得 32 ( )212188f xxxx， 2( ) 62418fxxx， 令 ( ) 0fx 可得3x 或1x ，令 ( ) 0fx 可得13x， 即函数 ( )f x的增区间为 ,1，3,，减区间为1,3， 故当1x 时，函数取极大值 16，当3x 时，函数取极
28、小值 8. 【点睛】本题考查了函数的极值点的概念，重点考查了导数的综合应用，属中档题. 22.设aR，已知函数 2 242,0 1 1,0 axaxx f x axx x . （1）当1a 时，写出 fx的单调递增区间； （2）对任意2x ，不等式 12fxax 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）(1,)； （2）01a. 【解析】 【分析】 （1）根据分段函数的性质求出其单调区间； （2）将函数的恒成立问题转化为其最值问题进行求解，并进行分类讨论即可 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【详解】解： （1）当1a 时， 2 22,0 1 ( )2,0
29、1 1 ,1 xxx f xxx x x x x ，函数图象如下所示： 所以， ( )f x的单调递增区间是(1,). （2）若0,(24)2(1)2 z xaxaxax， 于是 2 (3)0axax在(,0 x 上恒成立， 则0a 或 0 3 0 2 a a a ，得03a. 若 1 1,01 1 0,( )1 1 1,12 xax x xf xax x xax x ， 当0 1x时，( )(1)2f xax， 即 1 1(1)2xaax x ， 1 (1) x a x x ，得 1 a x ， 所以1a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 当1x 时，aR. 当12x时，( )(1)2f xax， 即 1 1(1)2xaax x ， (1)(21) (1) xx a x x ， 得 211 2 x a xx ，所以1a 综上所述，01a. 【点睛】本题考查了函数的单调区间，函数的恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属 于中档题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
