1、第第 2 节节同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan_. 2.三角函数的诱导公式 公式一二三四五六七八 角 2k (kZ) 2 2 3 2 3 2 正弦sin sin_ sin_ sin_ cos_cos_cos cos 余弦cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ sin sin 正切tan tan_ tan_ tan_ 口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号 看象限 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )21
2、2sin cos ；sin tan cos . 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不变 指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若，为锐角，则 sin2cos21.() (2)sin()sin 成立的条件是为锐角.() (3)若R，则 tan sin cos恒成立.( ) (4)若 sin(k)1 3(kZ)，则 sin 1 3.( ) 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)对任意的角，sin2cos21. (2)中对于任意
3、R，恒有 sin()sin . (3)中当的终边落在 y 轴上时，商数关系不成立. (4)当 k 为奇数时，sin 1 3， 当 k 为偶数时，sin 1 3. 2.已知 tan 2，则3sin cos sin 2cos ( ) A.5 4 B.5 4 C.5 3 D.5 3 答案A 解析原式3tan 1 tan 2 321 22 5 4. 3.(多选题)已知 xR，则下列等式恒成立的是() A.sin(x)sin xB.sin 3 2 x cos x C.cos 2xsin xD.cos(x)cos x 答案CD 解析sin(x)sin x，故 A 不成立； sin 3 2 x cos x，
4、故 B 不成立； cos 2xsin x，故 C 成立； cos(x)cos x，故 D 成立. 4.(2021重庆质检)cos 480() A.1 2 B.1 2 C. 3 2 D. 3 2 答案A 解析由诱导公式可得 cos 480cos(54060)cos(18060)cos 60 1 2.故选 A. 5.(2021武汉模拟)已知角的终边经过点(4，3)，则 cos(2)() A. 7 25 B. 7 25 C.3 5 D.4 5 答案B 解析由题意得 cos 4 （4）232 4 5， 所以 cos(2)cos 212cos2 7 25，故选 B. 6.(2020海南期末)若 cos
5、31 5，则 sin 6_. 答案 1 5 解析sin 6sin 2 3 cos 31 5. 考点一诱导公式的应用 1.化简 cos（）cos 2cos 11 2 cos（）sin（）sin 9 2 的结果是() A.1B.1C.tan D.tan 答案C 解析由诱导公式，得原式 cos （sin ）cos 3 2 cos sin sin 2 sin 2cos sin cos2 tan ，故选 C. 2.(2021武汉模拟)已知为锐角，且 sin 3 sin 3 tan 3 ，则角() A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 答案C 解析由条件得 sin 3 sin 3 sin 3 cos
6、3 ，又因为为锐角，所以 sin 3 cos 3 ，即 sin 3 sin 2 3 ，所以有 3 2 3 ，解得 4， 故选 C. 3.(2020皖北名校联考)sin 613cos 1 063tan(30)的值为_. 答案 3 3 解析sin 613cos 1 063tan 30sin(18073)cos(17)tan 30 sin 73cos(17)tan 30cos 17cos 17 3 3 3 3 . 感悟升华1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计
7、算含有 2的整数倍的三角函数式中可直接将 2的整数倍去掉后再进行运算.如 cos(5)cos()cos . 考点二同角三角函数基本关系及其应用 角度 1切弦互化 【例 1】 (1)已知是第四象限角，tan 8 15，则 sin 等于( ) A.15 17 B.15 17 C. 8 17 D. 8 17 (2)已知曲线 f(x)2 3x 3在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为， 则 sin2cos2 2sin cos cos2 () A.1 2 B.2C.3 5 D.3 8 答案(1)D(2)C 解析(1)因为 tan 8 15，所以 sin cos 8 15， 所以 cos 15 8 sin
8、 ， 代入 sin2cos21，得 sin2 64 289， 又是第四象限角，所以 sin 8 17. (2)由 f(x)2x2，得 tan f(1)2， 故 sin2cos2 2sin cos cos2 tan21 2tan 1 3 5. 故选 C. 角度 2sin cos 与 sin cos 的转化 【例 2】(2021东北三省三校联考)若 sin cos 4 3，且 3 4，则 sin()cos()() A. 2 3 B. 2 3 C.4 3 D.4 3 答案A 解析由 sin cos 4 3得 12sin cos 16 9 ， 即 2sin cos 7 9， (sin cos )212
9、sin cos 2 9， 又 3 4，sin cos 0，cos 0， sin cos 7 5. D 正确； 得 sin 4 5， 得 cos 3 5，B 正确； 又 tan sin cos 4 5 3 5 4 3，C 不正确. 考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【例 3】 (1)(2020全国卷)已知(0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin () A. 5 3 B.2 3 C.1 3 D. 5 9 (2)已知 tan 6 3 3 ，则 tan 5 6 _. (3)已知 cos 6a(|a|1)，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是_. 答案(1)A(2) 3
10、3 (3)0 解析(1)由 3cos 28cos 5， 得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 2 3或 cos 2(舍去). 又因为(0，)， 所以 sin 1cos21 2 3 2 5 3 .故选 A. (2) 6 5 6 ， tan 5 6 tan 6 tan 6 3 3 . (3)cos 5 6 cos 6cos 6a， sin 2 3 sin 2 6 cos 6a，cos 5 6 sin 2 3 0. 感悟升华1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条 件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号
11、的 影响. 2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化 解题过程.常见的互余关系有 3与 6， 3与 6， 4与 4等，常见的 互补关系有 6与 5 6 ， 3与 2 3 ， 4与 3 4 等. 【训练 2】(1)已知是第四象限角， 且 3sin28cos ， 则 cos 2 021 2() A.2 2 3 B.1 3 C.2 2 3 D.1 3 (2)(2020九江模拟)已知 cos 62 3，则 sin 62_. 答案(1)C(2)1 9 解析(1)3sin28cos ，sin2 3sin2 8 2 1， 整理可得 9sin464sin2640， 解得 sin
12、28 9或 sin 28(舍去)， 又是第四象限角，sin 2 2 3 ， cos 2 021 2cos 1 010 2 cos 2 sin 2 2 3 ，故选 C. (2)因为 2 6 62 2，所以 sin 62sin 22 6 cos 2 6 2cos2 6124 91 1 9. A 级基础巩固 一、选择题 1.tan 420() A. 3B. 3C. 3 3 D. 3 3 答案B 解析tan 420tan(36060)tan 60 3. 2.若角的终边在第三象限，则 cos 1sin2 2sin 1cos2的值为( ) A.3B.3C.1D.1 答案B 解析由角的终边在第三象限，得 s
13、in 0，cos 0，故原式 cos |cos | 2sin |sin | cos cos 2sin sin 123，故选 B. 3.(多选题)(2021临沂质检)已知3sin()cos(2)， 3，则可能 等于() A. 6 B. 3 C. 3 D.5 6 答案AD 解析 3sin()cos(2)， 3sin cos ，tan 3 3 ， 3， 6或 5 6 . 4.(多选题)(2021重庆调研)若 sin 4 5， 且为锐角， 则下列选项中正确的有( ) A.tan 4 3 B.cos 3 5 C.sin cos 8 5 D.sin cos 1 5 答案AB 解析sin 4 5，且为锐角，
14、 cos 1sin21 4 5 2 3 5，故 B 正确， tan sin cos 4 5 3 5 4 3，故 A 正确， sin cos 4 5 3 5 7 5 8 5，故 C 错误， sin cos 4 5 3 5 1 5 1 5，故 D 错误. 5. 12sin（2）cos（2）() A.sin 2cos 2B.sin 2cos 2 C.(sin 2cos 2)D.cos 2sin 2 答案A 解析12sin（2）cos（2） 12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2. 6.已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos 2
15、1 2sin 2的值是( ) A.3 5 B.3 5 C.3D.3 答案A 解析 sin 3cos 3cos sin 5 得 tan 3 3tan 5，可得 tan 2，则 cos 21 2sin 2cos 2 sin cos cos 2sin cos cos2sin2 1tan 1tan2 3 5.故选 A. 7.(2020四川联考)在ABC 中，sin Acos A1 8，则 cos Asin A 的值为( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 5 2 D. 3 2 答案B 解析在ABC 中，sin Acos A1 8， A 为钝角，cos Asin A0， cos Asin A （cos
16、 Asin A）2 cos2Asin2A2sin Acos A 12 1 8 5 2 . 8.已知为锐角， 且 2tan()3cos 250， tan()6sin()10， 则 sin () A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案C 解析由已知得 3sin 2tan 50， tan 6sin 10. 消去 sin ，得 tan 3， sin 3cos ，代入 sin2cos21， 化简得 sin2 9 10，则 sin 3 10 10 (为锐角). 二、填空题 9.(2021西安调研)sin(570)cos(2 640)tan 1 665_. 答案1 解析原式si
17、n(570720)cos(2 6402 880)tan(1 6651 620) sin 150cos 240tan 45sin 30cos 6011 2 1 211. 10.若 sin 4 3 5，则 sin 3 4 _. 答案 3 5 解析sin 3 4 sin 4 sin 4 3 5. 11.已知为第四象限角，sin 3cos 1，则 tan _. 答案4 3 解析由(sin 3cos )21sin2cos2，得 6sin cos 8cos2，又因为 为第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan 4 3. 12.若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的
18、两根，则 m 的值为_. 答案1 5 解析由题意知 sin cos m 2 ，sin cos m 4 ， 又(sin cos )212sin cos ， m 2 4 1m 2 ，解得 m1 5， 又4m216m0，m0 或 m4， m1 5. B 级能力提升 13.(多选题)(2021青岛调研)已知 tan 24cos(2)，| 2，则( ) A.sin 1 4 B.cos 15 4 C.cos 27 8 D.tan 2 15 7 答案BD 解析因为 tan 24cos(2)，所以cos sin 4cos ，又| 2，所以 sin 1 4， cos 15 4 ，tan 1 15，所以 cos
19、22cos 217 8，tan 2 2tan 1tan2 15 7 . 14.已知0，2)，cos 3sin 10，则 tan () A.3B.3 或1 3 C.3D.1 3 答案C 解析因为(cos 3sin )210，所以 cos26sin cos 9sin210，所以 cos26sin cos 9sin2 cos2sin2 10，所以16tan 9tan 2 1tan 2 10，所以 tan 3. 15.(2020嘉兴联考)已知为钝角，sin 43 4，则 sin 4_， cos 4 _. 答案 7 4 3 4 解析sin 4cos 2 4 cos 4， 为钝角，3 4 4 5 4. cos 40. cos 41 3 4 2 7 4 . cos 4 sin 2 4 sin 43 4. 16.已知 2是第一象限的角，且 sin4cos45 9，那么 tan _. 答案 2 2 解析因为 sin4cos45 9， 所以(sin2cos2)22sin2cos25 9. 所以 sin cos 2 3 ，所以 sin cos sin2cos2 2 3 ， 即 tan 1tan2 2 3 ，解得 tan 2或 tan 2 2 . 又因为 2为第一象限角， 所以 2k22k 2，kZ. 所以 k 4k，kZ. 所以 0tan 1. 所以 tan 2 2 .
