1、第第 8 节节函数与方程函数与方程 知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 一般地，如果函数 yf(x)在实数处的函数值等于零，即 f()0，则称为函数 y f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图像与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点. (3)函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)0)的图像与零点的关系 b24ac000)的图像 与 x 轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点 零点个数210 1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多
2、有一个零点.函数的 零点不是一个“点” ，而是方程 f(x)0 的实根. 2.由函数 yf(x)(图像是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不 一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示，所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在 闭区间a，b上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 f(x)2x 的零点为 0.() (2)图像连续的函数 yf(x)(xD)在区间(a，b)D 内有零点，则 f(a)f(b)0.() (3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点.() 答案(1)
3、(2)(3) 解析(2)f(a)f(b)0 是连续函数 yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故 (2)错误. 2.已知函数 f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x12345 f(x)42147 在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为() A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5) 答案B 解析由所给的函数值的表格可以看出，x2 与 x3 这两个数字对应的函数值 的符号不同，即 f(2)f(3)0，则使 g(x)f(x) 1 2的零点的集合为_. 答案 1， 2， 2 2 解析由题意知，若 x0，则 2x1 2，解得 x1； 若 x0，则|log2x|
4、1 2，解得 x 2或 x 2 2 . 故零点的集合为 1， 2， 2 2 . 4.(多选题)(2021威海调研)下列说法中正确的是() A.函数 f(x)x1 的零点为(1，0) B.函数 f(x)x1 的零点为1 C.函数 f(x)的零点，即函数 f(x)的图像与 x 轴的交点 D.函数 f(x)的零点，即函数 f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标 答案BD 解析根据函数零点的定义，可知 f(x)x1 的零点为1.函数 yf(x)的零点， 即函数 yf(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标，因此 B，D 正确，A，C 错误. 5.(2019全国卷)函数 f(x)2sin xsin 2x 在
5、0，2的零点个数为() A.2B.3C.4D.5 答案B 解析由 2sin xsin 2x0，得 sin x0 或 cos x1. 又 x0，2，由 sin x0，得 x0，2. 由 cos x1，得 x0，2. f(x)0 有三个实根 0，2，即 f(x)在0，2上有三个零点. 6.(2021唐山检测)方程 2x3xk 的解在1，2)内，则 k 的取值范围是_. 答案5，10) 解析令函数f(x)2x3xk， 则f(x)在 R上是增函数.当方程2x3xk的解在(1， 2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得 5k10. 又当 f(1)0 时，k5. 综上，实数 k 的取值范
6、围是5，10). 考点一函数零点所在区间的判定 1.(多选题)(2021菏泽质检)函数 f(x)exx2 在下列哪个区间内必有零点() A.(2，1)B.(1，0) C.(0，1)D.(1，2) 答案AD 解析f(2) 1 e20， f(1) 1 e10， f(0)10， f(1)e30， 因为 f(2)f(1)0，f(1)f(2)0，所以 f(x)在(2，1)和(1，2)内存在零点. 2.(2020西安调研)函数 f(x)log8x 1 3x的一个零点所在的区间是( ) A.(0，1)B.(1，2) C.(2，3)D.(3，4) 答案B 解析f(1)1 30， f(1)f(2)0，又 f(x
7、)在(0，)上单调递增，函数 f(x)在(0，)上只有一个 零点，且零点在(1，2)内. 3.若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分 别位于区间() A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内 答案A 解析ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x) 是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)， (b，c)内. 4.已知函数 f(x)logaxxb(a0 且 a1)
8、.当 2a3b4 时，函数 f(x)的零点 x0 (n，n1)，nN*，则 n_. 答案2 解析对于函数 ylogax，当 x2 时，可得 y1，在同 一坐标系中画出函数 ylogax，yxb 的图像，判断两个函数图像的交点的 横坐标在(2，3)内，函数 f(x)的零点 x0(n，n1)时，n2. 感悟升华1.确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点存在性定理： 首先看函数 yf(x)在区间a， b上的图像是否连续， 再看是否有 f(a)f(b)0 的零点个数为() A.3B.2C.1D.0 (2)(2021福州十校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数， 满足f(
9、x1)f(x)， 当 x0，1时，f(x)cos 2x，则函数 yf(x)|x|的零点个数是( ) A.2B.3C.4D.5 答案(1)B(2)A 解析(1)法一由 f(x)0 得 x0， x2x20或 x0， 1ln x0，解得 x2 或 xe. 因此函数 f(x)共有 2 个零点. 法二函数 f(x)的图像如图所示，由图像知函数 f(x)共有 2 个零点. (2)由 f(x1)f(x)，得 f(x2)f(x)，知周期 T2， 令 f(x)|x|0， 得 f(x)|x|. 作出函数 yf(x)与 g(x)|x|的图像如图所示. 由函数的图像知，yf(x)|x|有两个零点. 感悟升华函数零点个
10、数的判断方法： (1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0， 再结合函数的图像与性质确定函数零点个数； (3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数. 【训练 1】 (1)(2021重庆调研)设函数 f(x)2|x|x23，则函数 yf(x)的零点个 数是() A.4B.3C.2D.1 (2)函数 f(x)2sin xsin x 2 x2的零点个数为_. 答案(1)C(2)2 解析(1)易知 f(x)是偶函数， 当 x0 时， f(x)2xx23， 所以 x0 时， f(x
11、)在0， )上是增函数，且 f(1)0，所以 x1 是函数 yf(x)在0，)上的唯一零 点. 根据奇偶性，知 x1 是 yf(x)在(，0)内的零点， 因此 yf(x)有两个零点. (2)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2， 函数 f(x)的零点个数可转化为函数 y1sin 2x 与 y2x2图像的交点个数，在同一坐标系中画出 y1sin 2x 与 y2x2的图像如图 所示： 由图可知两函数图像有 2 个交点，则 f(x)的零点个数为 2. 考点三函数零点的应用 角度 1根据函数零点个数求参数 【例 2】 (1)设实数 a， b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实
12、数根， 且 ab1. 若关于 x 的方程 f(x)1 4xa(aR)恰有两 个互异的实数解，则 a 的取值范围为() A. 5 4， 9 4B. 5 4， 9 4 C. 5 4， 9 4 1D. 5 4， 9 4 1 答案(1)(0，1)(2)D 解析(1)由题意知，如图，在(0，10)上，函数 y|lg x|的图像和直线 yc 有两 个不同交点，所以 ab1，0c1 相切时，恰有两个公共点，此时 a0. 联立 y1 x， y1 4xa， 得1 x 1 4xa，即 1 4x 2ax10， 由a241 410，得 a1(舍去负根). 综上，a 5 4， 9 4 1. 角度 2根据零点的范围求参数
13、 【例 3】 (1)(2021武汉质检)若函数 f(x)x2ax1 在区间 1 2，3上有零点，则 实数 a 的取值范围是() A.(2，)B.2，) C. 2，5 2D. 2，10 3 (2)(2021衡水检测)已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x1)f(x1)f(1x)， 当 x1，2时，f(x)log2x，若方程 f(x)ax0 在(0，)上恰好有两个不等 的实数根，则正实数 a 的值为() A. e log2e B. 1 eln 2 C.1 2 D.2 答案(1)D(2)C 解析(1)由题意知方程 axx21 在 1 2，3上有实数解， 即 ax1 x在 1 2，3上有解，设 tx
14、1 x，x 1 2，3， 则 t 的取值范围是 2，10 3 . 所以实数 a 的取值范围是 2，10 3 . (2)由 f(x1)f(x1)f(1x)，可知 f(x)为偶函数，且一条对称轴为直线 x1； 再由 f(x1)f(x1)，可得 f(2x)f(x)，求得周期为 2. 根据 x1，2时，f(x)log2x，作出函数 f(x)的草图，如图所示： 方程 f(x)ax0 在(0，)上恰好有两个不等的实数根， 函数 yax 与 yf(x)的图像在 y 轴右侧有两个交点. 设 yax 与 ylog2x 的图像相切时，切点坐标为(x0，log2x0)， 由 y 1 xln 2，得 1 x0ln 2
15、 log2x0 x0 ，解得 x0e2. 由图像可知，当直线 yax 过点(2，1)时，方程 f(x)ax0 在(0，)上恰好 有两个不等的实数根， a1 2. 感悟升华1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方 程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值. 2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图 像的交点问题， 需准确画出两个函数的图像， 利用图像写出满足条件的参数范围. 【训练 2】 (1)(2021武汉质量监测)已知函数 f(x)e x x a.若 f(x)没有零点，则实 数 a 的取值范围是() A.
16、0，e)B.(0，1) C.(0，e)D.0，1) (2)(2020山东实验中学模拟)若函数 f(x)(m2)x2mx2m1 的两个零点分别 在区间(1，0)和区间(1，2)内，则 m 的取值范围是_. 答案(1)A(2) 1 4， 1 2 解析(1)由 f(x)e x x a0，得 exax.若 a0 时，显然 yex与 yax 有零点， 因此若 f(x)无零点，必然有 a0. 当 yax 与 yex相切时，设切点 P(x0，ex0)， 则 aex0且 ex0ax0， aax0，x01，则切线斜率 kex0|x01e. 因此，要使曲线 yex与 yax 不相交，则 0ae. (2)依题意，结
17、合函数 f(x)的图像分析可知，m 需满足 m2， f（1）f（0）0， f（1）f（2）0， 即 m2， （m2m2m1） （2m1）0， （m2m2m1）4（m2）2m2m10， 解得1 4m 1 2. 嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的 零点，通常先“换元解套” ，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数 的图像、性质求解. 【典例】函数 f(x) ln（x1） ，xt1)，则 t11，t21. 当 t11 时，t1f(x)有一解；当 t21 时，t2f(x)有两解.综上，当 a1 时， 函数 g(x)f(f(x)a 有三个不同的
18、零点. 思维升华1.求解本题抓住分段函数的图像性质， 由 ya 与 yf(t)的图像， 确定 t1，t2的取值范围，进而由 tf(x)的图像确定零点的个数. 2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来” ，抓临界位置，动 静结合.抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图像. 【训练】 (2021长沙质检)已知函数 f(x) ex，x0， 4x36x21，x0，其中 e 为自然对数 的底数，则函数 g(x)3f(x)210f(x)3 的零点个数为() A.4B.5C.6D.3 答案A 解析当 x0 时，f(x)4x36x21 的导数为 f(x)12x212x， 当 0 x1
19、时，f(x)0，f(x) 单调递增，可得 f(x)在 x1 处取得最小值，最小值为1， 且 f(0)1， 作出函数 f(x)的图像， g(x)3f(x)210f(x)3，可令 g(x)0，tf(x)， 可得 3t210t30， 解得 t3 或1 3， 当 t1 3，即 f(x) 1 3时，g(x)有三个零点； 当 t3 时，可得 f(x)3 有一个实根，即 g(x)有一个零点， 综上，g(x)共有四个零点. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知函数 f(x) 2x1，x1， 1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B.2，0C.1 2 D.0 答案D 解析当 x1
20、时，令 f(x)2x10，解得 x0； 当 x1 时，令 f(x)1log2x0，解得 x1 2， 又因为 x1，所以此时方程无解. 综上，函数 f(x)的零点只有 0. 2.(2021重庆检测)已知函数 f(x) 1 3 x log2x， 设 0abc， 且满足 f(a)f(b)f(c)0， 若实数 x0是方程 f(x)0 的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是() A.x0c C.x0b 答案B 解析f(x) 1 3 x log2x 在(0，)上单调递减， 由 f(a)f(b)f(c)0， 得 f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(b)0，f(c)0. x0a 或 bx0c 不成立.
21、3.(2020西安调研)设函数 f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数 a，b 满足 f(a) 0，g(b)0，则() A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a) C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0 答案A 解析易知函数 f(x)单调递增， 且 f(0)10， 由 f(a)0 知 0a1； 函数g(x)在定义域内单调递增， g(1)20， 由g(b)0知2b1， 所以 g(a)g(1)f(1)0，故 g(a)0f(b). 4.已知函数 f(x) 1 xa为奇函数，g(x)ln x2f(x)，则函数 g(x)的零点所在区间 为() A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)
22、D.(3，4) 答案C 解析由函数 f(x) 1 xa为奇函数，可得 a0， 则 g(x)ln x2f(x)ln x2 x. 又 g(2)ln 210， 所以 g(2)g(3)0)，y2ln x(x0)的图像，如图 所示.由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. 6.已知函数 f(x) exa，x0， 3x1，x0 (aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的 取值范围是() A.(，1)B.(，1) C.(1，0)D.1，0) 答案D 解析当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x1 3. 因此当 x0 时，f(x)exa0 只有一个实根， aex(x0)，则1a0
23、. 7.函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2) 答案C 解析因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2 x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)f(2)0， 所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，所以 0a0 且 a1)的两个零点是 m，n，则 () A.mn1B.mn1 C.0mn1，mn，画出函 数 y|logax|， y 1 2 x 的图像如图所示， 结合图像可知 0m1，且logam 1 2 m ，logan 1 2 n ，
24、以上两式两边相减可得 loga(mn) 1 2 n 1 2 m 0，所以 0mn0). (1)作出函数 f(x)的图像； (2)当 0ab 且 f(a)f(b)时，求1 a 1 b的值； (3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求实数 m 的取值范围. 解(1)函数 f(x)的图像如图所示. (2)因为 f(x)|1 1 x| 1 x1，x（0，1， 11 x，x（1，） ， 故 f(x)在(0，1上是减函数，在(1，)上是增函数， 由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b， 且1 a11 1 b，所以 1 a 1 b2. (3)由函数 f(x)的图像可知，当 0m1 时，方程 f
25、(x)m 有两个不相等的正根，即 实数 m 的取值范围为(0，1). B 级能力提升 13.(多选题)(2021淄博模拟)已知函数 yf(x)是 R 上的奇函数，对于任意 xR， 都有 f(x4)f(x)f(2)成立.当 x0，2)时，f(x)2x1.给出下列结论，其中正 确的是() A.f(2)0 B.点(4，0)是函数 yf(x)图像的一个对称中心 C.函数 yf(x)在区间6，2上单调递增 D.函数 yf(x)在区间6，6上有 3 个零点 答案AB 解析对于 A：因为 f(x)为奇函数且对任意 xR，都有 f(x4)f(x)f(2)，令 x 2，则 f(2)f(2)f(2)0，故 A 正
26、确； 对于 B：由 A 知，f(2)0，则 f(x4)f(x)，则 4 为 f(x)的一个周期.因为 f(x)的 图像关于原点(0，0)成中心对称，则(4，0)是函数 f(x)图像的一个对称中心，故 B 正确； 对于 C：因为 f(6)0，f(5)f(54)f(1)f(1)1，65，而 f(6)f(5)，所以 f(x)在区间6，2上不是单调递增的，故 C 错误； 对于 D：因为 f(0)0，f(2)0，所以 f(2)0.又 4 为 f(x)的一个周期，所以 f(4) 0，f(6)0，f(4)0，f(6)0，所以函数 yf(x)在区间6，6上有 7 个零 点，故 D 错误.故选 AB. 14.(
27、多选题)(2021衡水检测)已知函数 f(x) x22x，x0， |log2x|，x0， 若 x1x2x3x4， 且 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是() A.x1x21B.x3x41 C.1x42D.0 x1x2x3x41 答案BCD 解析由函数 f(x) x22x，x0， |log2x|，x0， 作出其函数图像： 由图可知，x1x22，2x11； 当 y1 时，|log2x|1，有 x1 2，2， 所以1 2x 31x42； 由 f(x3)f(x4)，有|log2x3|log2x4|， 即 log2x3log2x40， 所以 x3x41， 则 x1x2x3x4x
28、1x2x1(2x1)(x11)21(0，1).故选 BCD. 15.函数 f(x) ln（x）a，x0， f（x1） ，x0 (aR)，当 0 x1 时，f(x)1x，则 f(x) 的零点个数为_. 答案1 解析当 x0 时，必存在 x0e a0，使得 f(x0)0，因此对任意实数 a，f(x) 在(，0)内必有一个零点；当 x0 时，f(x)是周期为 1 的周期函数，且 0 x1 时，f(x)1x.因此可画出函数的大致图像，如图所示，可知函数 f(x)的零点个 数为 1. 16.已知R，函数 f(x) x4，x， x24x3，x. (1)当2 时，不等式 f(x)0 的解集是_. (2)若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_. 答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，) 解析(1)若2， 当 x2 时， 令 x40， 得 2x4； 当 x2 时， 令 x24x30， 解得 1x2.综上可知，1x4，所以不等式 f(x)0 的解集为(1，4). (2)令 f(x)0，当 x时，x4， 当 x时，x24x30， 解得 x1 或 x3. 因为函数 f(x)恰有 2 个零点， 结合如图函数的图像知， 14.
