1、第第 4 节节直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 1.直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线 l 与平面相交于一点 A，且对平面内任意一条过点 A 的直线 m，都有 lm，则称直线 l 与平面垂直(或 l 是平面的一条垂线，是 直线 l 的一个垂面)，记作 l，其中 A 为垂足. (2)直线与平面垂直的充要条件： 直线l与平面内的任意直线都垂直.符号表示为： lm，lm. (3)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 如果一条直线与一 个平面内的两条相 交直线垂直，则这 条直线与这个平面 垂直 m，n，m n，lm，l n，则 l 性质定理 两
2、直线垂直于同一 个平面，那么这两 条直线平行 a b ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角称为这条斜线与平面所成 的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在 平面内，则它们所成的角是 0的角. (2)范围： 0， 2 . 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角； (2)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点 O，以 O 为垂足分别在半 平面和内作垂直于棱的射线 OA 和 OB， 则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角 的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)
3、平面与平面垂直的定义 一般地，如果两个平面与所成角的大小为 90，则称这两个平面互相垂直，记 作. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 一个平面经过另一 个平面的一条垂 线，则这两个平面 互相垂直 l l 性质定理 如果两个平面互相 垂直，则在一个平 面内垂直于它们交 线的直线垂直于另 一个平面 如果， m，AO， AOm， 则 AO. 1.三个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线 线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. 2.使
4、用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直 于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 3.三种垂直关系的转化 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直，则 l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.() (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直， 则有 l或 l 与斜交或 l或 l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交
5、，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与 另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误. 2.已知互相垂直的平面，交于直线 l.若直线 m，n 满足 m，n，则() A.mlB.mnC.nlD.mn 答案C 解析由题意知，l，所以 l，因为 n，所以 nl. 3.在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心. (2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心. 答
6、案(1)外(2)垂 解析(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPBPC，所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心. 图 1 (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G.因为 PCPA， PBPC，PAPBP，所以 PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，所以 PCAB， 因为POAB， POPCP， 所以AB平面PGC， 又CG平面PGC， 所以ABCG， 即 CG 为ABC 边 AB 上的高.同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的 高，即 O 为ABC 的垂心. 图 2 4
7、.(2020日照检测)已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则 “”是“m”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析m，m，反过来，若 m，Dm(m或 m 与斜交)，所以“”是“m”的必要不充分条件. 5.(多选题)(2021重庆质检)如图所示，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意 一点， M， N 分别为 VA， VC 的中点， 则下列结论正确的是() A.MN平面 ABC B.平面 VAC平面 VBC C.MN 与 BC 所成的角为 45 D.OC平面 VA
8、C 答案AB 解析易知 MNAC，又 AC平面 ABC，MN平面 ABC，MN平面 ABC， 又由题意得 BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为 ACVAA， 所以 BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC， 所以平面 VAC平面 VBC. 故选 AB. 6.(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中， ABBC2， AC1与平面BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为() A.8B.6 2C.8 2D.8 3 答案C 解析连接 BC1，因为 AB平面 BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以 ABC1为直角三角形. 又 AB2，所
9、以 BC12 3. 又 B1C12，所以 BB1 （2 3）2222 2， 故该长方体的体积 V222 28 2. 考点一线面垂直的判定与性质 【例 1】如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1. (1)证明：BE平面 EB1C1； (2)若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积. (1)证明由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面 EB1C1，所以 BE平面 EB1C1. (2)解由(1)知BEB190. 由题设知 Rt
10、ABERtA1B1E， 所以AEBA1EB145， 故 AEAB3，AA12AE6. 如图，作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EFAB 3. 所以四棱锥 EBB1C1C 的体积 V1 336318. 感悟升华1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质 (a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直， 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路. 【训练1】 如图， 在四棱锥PABCD中， PA底面A
11、BCD， ABAD ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点.证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD， 又ACCD，且 PAACA， CD平面 PAC. 又 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD.又 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，又 PD平面
12、PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面 ABE. 考点二面面垂直的判定与性质 【例 2】(2020全国卷)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底 面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点， APC90. (1)证明：平面 PAB平面 PAC； (2)设 DO 2，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 PABC 的体积. (1)证明由题设可知，PAPBPC. 由ABC 是正三角形， 可得PACPAB，PACPBC. 又APC90，故APB90，BPC90. 从而 PBPA，PBPC，又 PA，PC平面 PAC，PAPCP， 故 PB平面 PAC，又 PB平面 PAB， 所以平面
13、PAB平面 PAC. (2)解设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 由题设可得 rl 3，l2r22，解得 r1，l 3. 从而 AB 3. 由(1)可得 PA2PB2AB2，故 PAPBPC 6 2 . 所以三棱锥 PABC 的体积为 1 3 1 2PAPBPC 1 3 1 2 6 2 3 6 8 . 感悟升华1.判定面面垂直的方法主要是： (1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a). 2.已知平面垂直时， 解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线， 将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练2】 (2021安徽A10联盟检测)如图， 在四棱锥AB
14、CDE 中， ADE 是边长为 2 的等边三角形， 平面 ADE平面 BCDE 底面 BCDE 是等腰梯形，DEBC，DE1 2BC，BEDC2，BD2 3，点 M 是 DE 边的中点，点 N 在 BC 上，且 BN3. (1)证明：BD平面 AMN； (2)设 BDMNG，求三棱锥 ABGN 的体积. (1)证明ADE 是等边三角形，M 是 DE 的中点， AMDE. 又平面 ADE平面 BCDE，平面 ADE平面 BCDEDE， AM平面 BCDE， BD平面 BCDE，AMBD， MDME1，BN3，DEBC，DE1 2BC， MD 綊 CN，四边形 MNCD 是平行四边形， MNCD.
15、 又 BD2 3，BC4，CD2，BD2CD2BC2， BDCD，BDMN. 又 AMMNM，BD平面 AMN. (2)解由(1)知 AM平面 BCDE， AM 为三棱锥 ABGN 的高. ADE 是边长为 2 的等边三角形， AM 3.易知 GN3 4CD 3 2， 又由(1)知 BDMN，BG BN2NG23 3 2 . SBGN1 2BGNG 1 2 3 3 2 3 2 9 3 8 . VABGN1 3S BGNAM1 3 9 3 8 39 8. 考点三平行与垂直的综合问题 角度 1平行与垂直关系的证明 【例 3】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩 形，平面 PAD平面
16、 ABCD，PAPD，PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点.求证： (1)PEBC； (2)平面 PAB平面 PCD； (3)EF平面 PCD. 证明(1)因为 PAPD，E 为 AD 的中点， 所以 PEAD. 因为底面 ABCD 为矩形，所以 BCAD. 所以 PEBC. (2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 ABAD. 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD， 所以 AB平面 PAD. 又 PD平面 PAD，所以 ABPD. 又因为 PAPD，且 PAABA， 所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PCD， 所以平面 PAB平面 P
17、CD. (3)如图，取 PC 中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FGBC，FG1 2BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC. 所以 DEFG，DEFG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 所以 EFDG. 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD. 感悟升华1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂 直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线
18、，使之转化 为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 角度 2平行垂直关系与几何体的度量 【例 4】 (2019天津卷)如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面 PAC平面 PCD， PACD，CD2，AD3. (1)设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面 PAD； (2)求证：PA平面 PCD； (3)求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. (1)证明连接 BD，易知 ACBDH，BHDH. 又由 BGPG，故 GH 为PBD 的中位线，所以 GHPD. 又因为 GH平面 PAD，PD平面 PAD，所以 GH平面 PAD.
19、(2)证明取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DNPC. 又因为平面 PAC平面 PCD，平面 PAC平面 PCDPC，DN平面 PCD，所 以 DN平面 PAC. 又 PA平面 PAC，所以 DNPA. 又已知 PACD，CDDND， 所以 PA平面 PCD. (3)解连接 AN，由(2)中 DN平面 PAC，可知DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所 成的角. 因为PCD 为等边三角形，CD2 且 N 为 PC 的中点， 所以 DN 3. 又 DNAN，在 RtAND 中，sinDANDN AD 3 3 . 所以直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 . 感悟升
20、华1.平行垂直关系应用广泛，不仅可以证明判断空间线面、面面位置关 系，而且常用以求空间角和空间距离、体积. 2.综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作 垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解. 【训练 3】 如图， AB 是O 的直径， PA 垂直于O 所在的平面， C 是圆周上不同于 A，B 的一动点. (1)证明：PBC 是直角三角形； (2)若 PAAB2，且当直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值为 2时，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. (1)证明AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点. BCAC， PA平面 A
21、BC，PABC， 又 PAACA，PA，AC平面 PAC， BC平面 PAC，BCPC， BPC 是直角三角形. (2)解如图，过 A 作 AHPC 于 H， BC平面 PAC， BCAH， 又 PCBCC，PC，BC平面 PBC， AH平面 PBC， ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角， PA平面 ABC， PCA 是直线 PC 与平面 ABC 所成的角， tanPCAPA AC 2， 又 PA2，AC 2， 在 RtPAC 中，AH PAAC PA2AC2 2 3 3 ， 在 RtABH 中，sinABHAH AB 2 3 3 2 3 3 ， 故直线 AB 与平面 PBC 所成
22、角的正弦值为 3 3 . 与垂直平行相关的探索性问题 立体几何中的探索性问题是近年高考的热点，题目主要涉及线面平行、垂直位置 关系的探究，条件或结论不完备的开放性问题的探究，重点考查逻辑推理，直观 想象与数学运算核心素养. 【典例】如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为 直角梯形，ABCBAD90，PDC 和BDC 均为等 边三角形，且平面 PDC平面 BDC. (1)在棱 PB 上是否存在点 E，使得 AE平面 PDC？若存在， 试确定点 E 的位置；若不存在，试说明理由. (2)若PBC 的面积为 15 2 ，求四棱锥 PABCD 的体积. 解(1)存在点 E，当点 E 为
23、棱 PB 的中点时，使得 AE面 PDC，理由如下： 如图所示，取 PB 的中点 E，连接 AE，取 PC 的中点 F，连 接 EF，DF，取 BC 的中点 G，连接 DG.因为BCD 是等边 三角形，所以DGB90. 因为ABCBAD90，所以四边形 ABGD 为矩形， 所以 ADBG1 2BC，ADBC. 因为 EF 为BCP 的中位线， 所以 EF1 2BC，且 EFBC，故 ADEF，且 ADEF， 所以四边形 ADFE 是平行四边形，从而 AEDF， 又 AE平面 PDC，DF平面 PDC， 所以 AE平面 PDC. (2)取 CD 的中点 M，连接 PM，过点 P 作 PNBC 交
24、 BC 于点 N，连接 MN，如 图所示. 因为PDC 为等边三角形，所以 PMDC. 因为 PMDC，平面 PDC平面 BDC，平面 PDC平面 BDCDC. 所以 PM平面 BCD，故 PM 为四棱锥 PABCD 的高. 又 BC平面 BCD，所以 PMBC. 因为 PNBC，PNPMP，PN平面 PMN，PM平面 PMN， 所以 BC平面 PMN. 因为 MN平面 PMN，所以 BCMN. 由 M 为 DC 的中点，易知 NC1 4BC. 设 BCx，则PBC 的面积为x 2 x2 x 4 2 15 2 ，解得 x2，即 BC2， 所以 AD1，ABDGPM 3. 故四棱锥 PABCD
25、的体积为 V1 3S 梯形ABCDPM1 3 （12） 3 2 33 2. 素养升华1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出 条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充 分性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点 的存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探 究的结果. 【训练】如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA1， AB1，AC2，BAC60. (1)求三棱锥 PABC 的体积； (2)在线
26、段 PC 上是否存在点 M，使得 ACBM，若存在点 M，求出PM MC的值；若 不存在，请说明理由. 解(1)由题知 AB1，AC2，BAC60， 可得 SABC1 2ABACsin 60 3 2 ， 由 PA平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高. 又 PA1，所以三棱锥 PABC 的体积 V1 3S ABCPA 3 6 . (2)在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N.在平面 PAC 内，过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M，连接 BM. 由 PA平面 ABC 知 PAAC，所以 MNAC. 由于 BNMNN，故 AC平面 MBN. 又 BM平面 MBN
27、，所以 ACBM. 在 RtBAN 中，ANABcosBAC1 2， 从而 NCACAN3 2. 由 MNPA，得PM MC AN NC 1 3. A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020淮北质检)已知平面，直线 m，n，若 n，则“mn”是“m”的 () A.充分不必要条件B.充分必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案C 解析由 n，mn，不一定得到 m；反之，由 n，m，可得 mn. 若 n，则“mn”是“m”的必要不充分条件. 2.(多选题)(2020潍坊调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CD 的中点，则 () A.A1EAD1B.A1EBD C.
28、A1EBC1D.A1EAC 答案AC 解析如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1，且 BC1平面 BCC1B1，从而 A1B1BC1. 又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD， 又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1.又易知 AD1BC1，所以 A1EAD1. 3.(2021郑州调研)已知 m，l 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下 列可以推出的是() A.ml，m，lB.ml，l，m C.ml，m，lD.l，ml，m 答案D 解析在 A 中，ml，m，l，则与相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，ml，l，m，则与有可能相交但不垂直，故
29、 B 错误； 在 C 中，ml，m，l，则，故 C 错误； 在 D 中，l，ml，则 m，又 m，则，故 D 正确. 4.在ABC 中，CAB90，AC1，AB 3.将ABC 绕 BC 旋转， 使得点 A 转到点 P， 如图.若 D 为 BC 的中点， E 为 PC 的中点， AE 3 2 ， 则 AB 与平面 ADE 所成角的正 弦值是() A. 3 8 B. 3 6 C. 3 4 D. 3 3 答案B 解析因为 D，E 分别是 BC 和 PC 的中点，所以 DEPB，又CAB90，所 以 DEPC，又 AC1，CE1 2，AE 3 2 ，所以 AE2CE2AC2，即 AEPC， 又 DEA
30、EE，所以 PC平面 ADE，如图，延长 ED 至 F，使得 EFPB，连 接 BF， 所以 BF平面 AED， 连接 AF， 所以BAF 为 AB 与平面 ADE 所成的角， 所以 sin BAFBF AB 1 2 3 3 6 . 5.(多选题)(2021武汉调研)如图，AC2R 为圆 O 的直径， PCA45，PA 垂直于圆 O 所在的平面，B 为圆周上不与点 A、C 重合的点，ASPC 于 S，ANPB 于 N，则下列结论正 确的是() A.平面 ANS平面 PBC B.平面 ANS平面 PAB C.平面 PAB平面 PBC D.平面 ABC平面 PAC 答案ACD 解析PA平面 ABC
31、，BC平面 ABC，PABC， 又 AC 为圆 O 直径，所以 ABBC， 又 PAABA，BC平面 PAB， 又 AN平面 ABP，BCAN， 又 ANPB，BCPBB，AN平面 PBC， AN平面 ANS，平面 ANS平面 PBC， A 正确，C，D 显然正确. 6.(多选题)(2021济南模拟)如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列结论正确的是() A.三棱锥 AD1PC 的体积不变 B.A1P平面 ACD1 C.DPBC1 D.平面 PDB1平面 ACD1 答案ABD 解析对于 A，由题意知 AD1BC1，从而 BC1平面 AD1C， 故 B
32、C1上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等， 所以以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，则三棱锥 AD1PC 的 体积不变，故 A 正确； 对于 B，连接 A1B，A1C1，A1C1綊 AC，由 A 知：AD1BC1， 所以面 BA1C1面 ACD1，从而由线面平行的定义可得，故 B 正确； 对于 C，由于 DC平面 BCC1B1，所以 DCBC1， 若 DPBC1，则 BC1平面 DCP， 所以 BC1PC，则 P 为中点，与 P 为动点矛盾，故 C 错误； 对于 D，连接 DB1，由 DB1AC 且 DB1AD1， 可得 DB1面 ACD1，从而由面面垂直的判定知，故 D 正确. 二、
33、填空题 7.已知 l，m 是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断： lm；m；l. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _. 答案若 m，l，则 lm(或若 lm，l，则 m，答案不唯一) 解析已知l， m是平面外的两条不同直线， 由lm与m， 不能推出l， 因为 l 可以与平行，也可以相交不垂直；由lm 与l能推出m；由 m与l可以推出lm.故正确的命题是或. 8.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面 各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时， 平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即 可).
34、答案DMPC(或 BMPC) 解析连接 AC，BD，则 ACBD， 因为 PA底面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD. 又 PAACA，所以 BD平面 PAC，PC平面 PAC，所以 BDPC. 所以当 DMPC(或 BMPC)时， 有 PC平面 MBD. PC平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD. 9.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1， ACB90，D 是 A1B1的中点，F 是 BB1上的动点，AB1，DF 交 于点 E，要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为_. 答案 1 2 解析设 B1Fx， 因为 AB1平面 C1DF，D
35、F平面 C1DF， 所以 AB1DF， 由已知可得 A1B1 2， 设 RtAA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE1 2h. 又1 22 2 1 2h 2 2（ 2）2， 所以 h2 3 3 ，DE 3 3 . 在 RtDB1E 中，B1E 2 2 2 3 3 2 6 6 . 由面积相等得1 2 6 6 x2 2 2 2 1 2 2 2 x， 得 x1 2. 三、解答题 10.如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPC AC4，O 为 AC 的中点. (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的 距离. (1
36、)证明因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 3. 连接 OB，因为 ABBC，AB2BC2AC2，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB1 2AC2. 由 OP2OB2PB2知，OPOB. 由 OPOB，OPAC 且 OBACO，知 PO平面 ABC. (2)解作 CHOM，垂足为 H. 又由(1)可得 OPCH，所以 CH平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离. 由题设可知 OC1 2AC2， CM2 3BC 4 2 3 ，ACB45. 所以 OM2 5 3 ，CHOCMCsinACB OM 4 5 5 . 所以点 C 到
37、平面 POM 的距离为4 5 5 . 11.(2021重庆诊断)如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是菱形，BAD60，PAD 是正三角形，E 为线段 AD 的中点. (1)求证：平面 PBC平面 PBE； (2)是否存在满足PF FC(0)的点 F，使得 VB PAE3 4V DPFB？若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由. (1)证明因为PAD 是正三角形，E 为线段 AD 的中点， 所以 PEAD. 因为底面 ABCD 是菱形，所以 ADAB， 又BAD60， 所以ABD 是正三角形， 所以 BEAD. 又 BEPEE，所以 AD平面 PBE. 又 ADBC，所以 B
38、C平面 PBE. 又 BC平面 PBC， 所以平面 PBC平面 PBE. (2)解由PF FC，知(1)FCPC， 所以 VBPAE1 2V PADB1 2V PBCD1 2 VFBCD， VDPFBVPBDCVFBDCVFBCD. 因此，1 2 3 4 ，得2. 故存在满足PF FC(0)的点 F， 使得 VBPAE3 4V DPFB，此时2. B 级能力提升 12.(多选题)(2021广州调研)如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1AB4，BC2，M，N 分别为棱 C1D1，CC1的中点，则 () A.A，M，N，B 四点共面 B.平面 ADM平面 CDD1C1 C.直线
39、BN 与 B1M 所成的角为 60 D.BN平面 ADM 答案BC 解析如图所示，对于 A 中，直线 AM，BN 是异面直线，故 A， M，N，B 四点不共面，故 A 错误； 对于B中， 在长方体ABCDA1B1C1D1中， 可得AD平面CDD1C1 所以平面 ADM平面 CDD1C1，故 B 正确； 对于 C 中，取 CD 的中点 O，连接 BO，ON，则 B1MBO，所以 直线 BN 与 B1M 所成的角为NBO.易知三角形 BON 为等边三角形，所以NBO 60，故 C 正确； 对于 D 中，因为 BN平面 AA1D1D，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 D 错误. 13.(多选题
40、)(2020青岛一模)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点(点 P 不与点 C， C1重合)， 过点 P 作平面分别与棱 BC， CD 交于 M， N 两点， 若 CPCMCN，则下列说法正确的是() A.A1C平面 B.存在点 P，使得 AC1平面 C.存在点 P，使得点 A1到平面的距离为5 3 D.用过点 P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 答案ACD 解析连接 BC1，BD，DC1，AD1，D1P. 因为 CMCN，CBCD，所以CM CB CN CD，所以 MNBD. 又 MN平面 C1BD，BD平面 C1BD，所以 MN
41、平面 C1BD. 同理可证 MPBC1，MP平面 C1BD. 又 MNMPM，MN，MP平面，所以平面 C1BD平面. 易证 AC1平面 C1BD，所以 A1C平面，A 正确. 又 AC1平面 C1BDC1，所以 AC1与平面相交，不存在点 P，使得 AC1平面 ，B 不正确. 因为|A1C|1212123，所以点 A1到平面的距离的取值范围为 |A1C| 2 ，|A1C| ，即 3 2 ， 3 . 又 3 2 5 3 3，所以存在点 P，使得点 A 1到平面的距离为5 3，C 正确. 因为 AD1BC1，所以 MPAD1，所以用过点 P，M，D1的平面去截正方体得到 的截面是四边形 AD1P
42、M. 又 AD1MP，且 AD1MP，所以截面为梯形，D 正确.故选 ACD. 14.如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM 90.以 AC 为折痕将ACM 折起， 使点 M 到达点 D 的位置， 且 ABDA. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ2 3DA，求三棱锥 Q ABP 的体积. (1)证明由已知可得，BAC90，即 BAAC. 又 BAAD，ACADA，AC，AD平面 ACD，所以 AB平面 ACD. 又 AB平面 ABC， 所以平面 ACD平面 ABC. (2)解由已知可得， DCCMAB3， DAAM3 2. 又 BPDQ2 3DA， 所以 BP2 2. 作 QEAC，垂足为 E，则 QE 綉 1 3DC. 由已知及(1)可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE1. 因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP1 3QES ABP1 31 1 232 2sin 451.
