1、第第 3 节节向量的数量积及平面向量的应用向量的数量积及平面向量的应用 知识梳理 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作OA a，OB b，则称0，内的AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作a，b. (2)向量的垂直：当a，b 2时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 ab.规定零 向量与任意向量垂直. (3)数量积的定义：一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向 量 a 与 b 的数量积(也称为内积)，记作 ab, 即 ab|a|b|cosa，b. (4)数量积的几何意义：两个非零向量 a，b 的数
2、量积 ab，等于 a 在向量 b 上的 投影的数量与 b 的模的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角. (1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a| aa x21y21. (3)夹角：cos ab |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. (4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20. (5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2| x21y21 x22y22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)abba(交换律). (2)（a）
3、b(ab)a(b)(结合律). (3)(ab)cacbc(分配律). 4.平面几何中的向量方法 三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 1.两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为 钝角ab0 且 a，b 不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2； (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2. 3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)，不能得出 bc，两 边不能约去同
4、一个向量. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个向量的夹角的范围是 0， 2 .() (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.() (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向 量.() (4)若 abac(a0)，则 bc.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)两个向量夹角的范围是0，. (4)由 abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c ，所以向量 b 和 c 不一 定相等. 2.已知向量 a(1，1)，b(2，4)，则(ab)a() A.14B.4C.4D.14 答案B 解析由题意得 ab
5、(1，3)，则(ab)a134. 3.设 a，b 是非零向量，则“ab|a|b|”是“ab”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析设 a 与 b 的夹角为.因为 ab|a|b|cos |a|b|，所以 cos 1，即 a 与 b 的夹角为 0，故 ab. 当 ab 时，a 与 b 的夹角为 0或 180， 所以 ab|a|b|cos |a|b|， 所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件. 4.(2020湘潭模拟)已知平面向量 a，b，满足|a|b|1，若(2ab)b0，则向量 a，b 的夹角为() A. 6 B. 4
6、 C. 3 D.2 3 答案C 解析由(2ab)b0，可得 ab1 2b 21 2，设向量 a、b 的夹角为， 则 cos ab |a|b| 1 2， 又0，所以向量 a、b 的夹角为 3. 5.(多选题)(2021青岛统检)已知向量 ab(1，1)，ab(3，1)，c(1，1)， 设 a，b 的夹角为，则() A.|a|b|B.ac C.bcD.135 答案BD 解析由 ab(1，1)，ab(3，1)，得 a(1，1)，b(2，0)，则|a| 2， |b|2，故 A 不正确； ac11110，故 B 正确； 不存在R，使 bc 成立，故 C 不正确； cos ab |a|b| 2 22 2
7、2 ，所以135，故 D 正确.综上知选 BD. 6.(2020全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 45，kab 与 a 垂直，则 k _. 答案 2 2 解析由题意知(kab)a0，即 ka2ba0. 因为 a，b 为单位向量，且夹角为 45， 所以 k1211 2 2 0，解得 k 2 2 . 考点一平面向量的数量积运算 1.已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)() A.4B.3C.2D.0 答案B 解析a(2ab)2|a|2ab212(1)3. 2.(2020北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2， 点 P 满足AP 1 2(AB AC)， 则|PD | _；
8、PB PD _. 答案51 解析法一AP 1 2(AB AC)，P 为 BC 的中点. 以 A 为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知 A(0， 0)， B(2， 0)， C(2， 2)，D(0，2)，P(2，1)， |PD | （20）2（12）2 5. 易得PB (0，1)，PD (2，1). PB PD (0，1)(2，1)1. 法二如图， 在正方形 ABCD 中， 由AP 1 2(AB AC)得点 P 为 BC 的中点， |PD | 1222 5. PB PD PB (PCCD )PB PCPBCD PB 201. 3.在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2 3，AD5，
9、A30，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AEBE，则BD AE _. 答案1 解析如图，在等腰ABE 中， 易得BAEABE30，故 BE2. 则BD AE (AD AB )(ABBE) AD AB AD BE AB2ABBE 52 3cos 3052cos 180122 32cos 150 15101261. 4.(2020新高考山东卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB的取值范围是( ) A.(2，6)B.(6，2)C.(2，4)D.(4，6) 答案A 解析法一如图，取 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系，则 A(0，
10、0)，B(2，0)，C(3， 3)，F(1， 3).设 P(x，y)，则AP (x，y)，AB(2，0)，且1x3. 所以AP AB(x，y)(2，0)2x(2，6). 故选 A. 法二AP AB|AP|AB|cosPAB2|AP|cosPAB， 又|AP |cosPAB 表示AP在AB上投影的数量. 结合几何图形，当点 P 与 F 重合时投影数量最小，当 P 与点 C 重合时，投影数 量最大， 又AC AB2 32cos 306，AFAB22cos 1202， 故当点 P 在正六边形 ABCDEF 内时，2AP AB6. 感悟升华1.计算平面向量的数量积主要方法： (1)利用定义：ab|a|
11、b|cosa，b. (2)利用坐标运算，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2. (3)活用平面向量数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或 数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中 的角的关系是相等还是互补. 考点二向量数量积的性质及应用 角度 1夹角与垂直 【例 1】 (1)(2021新高考 8 省联考)已知单位向量 a，b 满足 ab0，若向量 c 7a 2b，则 sina，c等于() A. 7 3 B. 2 3 C. 7 9 D. 2 9 (2)(2020全国卷)已知向量 a，b
12、 满足|a|5，|b|6，ab6，则 cos a，a b() A31 35 B19 35 C17 35 D19 35 答案(1)B(2) D 解析(1) (1)法一设 a(1，0)，b(0，1)， 则 c( 7， 2)，sina，c 2 3 . 法二aca( 7a 2b) 7a2 2ab 7， |c| （ 7a 2b）2 7a22b22 14ab 723， cosa，c ac |a|c| 7 13 7 3 ，sina，c 2 3 . (2)|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cos a， aba（ab） |a|ab| a 2ab |a|ab| 256 57 19 3
13、5 . 角度 2平面向量的模 【例 2】 (1)(2020南昌模拟)设 x，yR，a(x，1)，b(2，y)，c(2，2)， 且 ac，bc，则|2a3bc|() A.2 34B. 26C.12D.2 10 (2)已知 a，b 是单位向量，ab0.若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最大值是 _. 答案(1)A(2) 21 解析(1)因为 ac，所以 ac2x20，解得 x1，则 a(1，1)， 因为 bc，所以 42y0，解得 y2，则 b(2，2). 所以 2a3bc(10，6)，则|2a3bc|2 34. (2)法一由 ab0，得 ab. 如图所示，分别作OA a，OB b，作OC
14、ab，则四边形 OACB 是边长为 1 的正方形，所以|OC | 2. 作OP c，则|cab|OP OC |CP |1. 所以点 P 在以 C 为圆心，1 为半径的圆上. 由图可知，当点 O，C，P 三点共线且点 P 在点 P1处时，|OP |取得最大值 21. 故|c|的最大值是 21. 法二由 ab0，得 ab. 建立如图所示的平面直角坐标系，则OA a(1，0)，OB b (0，1). 设 cOC (x，y)， 由|cab|1， 得(x1)2(y1)21， 所以点 C 在以(1，1)为圆心，1 为半径的圆上. 所以|c|max 21. 法三易知|ab| 2，|cab|c(ab)| |c
15、|ab|c| 2|， 由已知得|c| 2|1， 所以|c|1 2，故|c|max 21. 感悟升华1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，若 a(x1，y1)，b (x2，y2)，则 abab0 x1x2y1y20. 2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式 cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22求解.没有坐 标时可用公式 cos ab |a|b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是0， . 3.向量模的计算主要利用 a2|a|2， 把向量模的运算转化为数量积运算， 有时借助 几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率. 【训练 1】 (1)(多选题)(2021
16、湖南三校联考)已知 a，b 是单位向量，且 ab(1， 1)，则() A.|ab|2B.a 与 b 垂直 C.a 与 ab 的夹角为 4 D.|ab|1 (2)已知单位向量 a，b 的夹角为，且 tan 1 2，若向量 m 5a3b，则|m| () A. 2B. 3C. 26D. 2或 26 答案(1)BC(2)A 解析(1)|ab| 12（1）2 2，故 A 错误； 因为 a，b 是单位向量，所以|a|2|b|22ab112ab2，得 ab0，a 与 b 垂直，故 B 正确； |ab|2a2b22ab2，|ab| 2，故 D 错误； cosa，aba（ab） |a|ab| a 2ab 1 2
17、 2 2 ，所以 a 与 ab 的夹角为 4，故 C 正确.故选 BC. (2)依题意|a|b|1， 又为 a，b 的夹角，且 tan 1 2， 为锐角，且 cos 2sin ， 又 sin2cos21，从而 cos 2 5 5 . 由 m 5a3b， m2( 5a3b)25a29b26 5ab2， 因此|m| 2. 考点三平面向量的综合应用 【例 3】 (1)(2020天津卷)如图，在四边形 ABCD 中，B60，AB3，BC6， 且AD BC ，AD AB 3 2，则实数的值为_；若 M，N 是线段 BC 上 的动点，且|MN |1，则DM DN 的最小值为_. 答案 1 6 13 2 解
18、析因为AD BC ，所以 ADBC，则BAD120， 所以AD AB |AD |AB |cos 1203 2， 解得|AD |1. 因为AD ，BC 同向，且 BC6， 所以AD 1 6BC ，即1 6. 在四边形 ABCD 中， 作 AOBC 于点 O， 则 BOABcos 603 2， AOABsin 60 3 3 2 . 以 O 为坐标原点，以 BC 和 AO 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系. 如图，设 M(a，0)，不妨设点 N 在点 M 右侧， 则 N(a1，0)，且3 2a 7 2. 又 D 1，3 3 2，所以DM a1，3 3 2， DN a，3 3 2， 所以D
19、M DN a2a27 4 a1 2 2 13 2 . 所以当 a1 2时，DM DN 取得最小值13 2 . (2)已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(sin A，sin B)， n(cos B，cos A)，mnsin 2C. 求角 C 的大小； 若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且CA (ABAC)18，求 c. 解mnsin Acos Bsin Bcos A sin(AB)， 在ABC 中，ABC，0C0)，点 C 为(x，y)，则AC (xa， y)，BC (xa，y)，所以AC BC (xa)(xa)yyx2y2a21，整理得 x2
20、 y2a21.因此点 C 的轨迹为圆.故选 A. (2)法一如图，过点 D 作 DFCE 交 AB 于点 F，由 D 是 BC 的中点，可知 F 为 BE 的中点.又 BE2EA，则知 EFEA，从 而可得 AOOD，则有AO 1 2AD 1 4(AB AC)，ECACAE AC 1 3AB ，所以 6AO EC 3 2(AB AC ) AC 1 3AB 3 2AC 21 2AB 2ABAC AB AC，整理可得 AB23AC2，所以AB AC 3. 法二以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直 角坐标系，如图所示. 设 E(1，0)，C(a，b)，则 B(3，0)，D a3
21、2 ，b 2 . lAD：y b a3x， lCE：y b a1（x1） O a3 4 ，b 4 . AB AC6AO EC ， (3，0)(a，b)6 a3 4 ，b 4 (a1，b)， 即 3a6 （a3） （a1） 4 b 2 4 ， a2b23，AC 3.AB AC 3 3 3. 平面向量与三角形的“四心” 向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题效 率. 设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC 的外心|OA |OB |OC | a 2sin A. (2)O 为ABC 的重心OA OB OC 0
22、. (3)O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA . (4)O 为ABC 的内心aOA bOB cOC 0. 一、平面向量与三角形的“重心” 【例 1】已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP 1 3(1)OA (1)OB (12)OC ，R，则点 P 的轨迹一定经过() A.ABC 的内心B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心D.AB 边的中点 答案C 解析取 AB 的中点 D，则 2OD OA OB ， OP 1 3(1)OA (1)OB (12)OC ， OP 1 32(1)OD (12)OC 2（1） 3 OD 12 3 OC ， 而2
23、（1） 3 12 3 1，P，C，D 三点共线， 点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心. 二、平面向量与三角形的“内心”问题 【例 2】在ABC 中，AB5，AC6，cos A1 5，O 是ABC 的内心，若OP xOB yOC ，其中 x，y0，1，则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为() A.10 6 3 B.14 6 3 C.4 3D.6 2 答案B 解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P 的轨迹是以 OB，OC 为邻 边的平行四边形及其内部，其面积为BOC 的面积的 2 倍. 在ABC 中，设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由余弦定理 a2b2c2 2bccos
24、A，得 a7. 设ABC 的内切圆的半径为 r，则 1 2bcsin A 1 2(abc)r，解得 r 2 6 3 ， 所以 SBOC1 2ar 1 27 2 6 3 7 6 3 . 故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2SBOC14 6 3 . 三、平面向量与三角形的“外心”问题 【例 3】 (2020安庆质检)在ABC 中， O 为其外心， OA OC 3， 且 3OA 7OB OC 0，则边 AC 的长是_. 答案31 解析设ABC 外接圆的半径为 R， O 为ABC 的外心， |OA |OB |OC |R， 又 3OA 7OB OC 0， 则 3OA OC 7OB ， 3OA 2OC
25、22 3OA OC 7OB 2， 从而OA OC 3 2 R2， 又OA OC 3，所以 R22， 又OA OC |OA |OC |cosAOCR2cosAOC 3， cosAOC 3 2 ，AOC 6， 在AOC 中，由余弦定理得 AC2OA2OC22OAOCcosAOC R2R22R2 3 2 (2 3)R242 3. 所以 AC 31. 四、平面向量与三角形的“垂心”问题 【例 4】已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动 点 P 满足OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)，(0，)，则动点 P 的轨迹一 定通过ABC 的()
26、 A.重心B.垂心C.外心D.内心 答案B 解析因为OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)， 所以AP OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)， 所以BC APBC( AB |AB |cos B AC |AC |cos C) (|BC |BC|)0， 所以BC AP，所以点 P 在 BC 的高线上，即动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂 心. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k() A.9 2 B.0C.3D.15 2 答案C 解析因为 2a3b(2
27、k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)6 0，解得 k3，选 C. 2.(2020新乡质检)已知向量 a(0，2)，b(2 3，x)，且 a 与 b 的夹角为 3，则 x () A.2B.2C.1D.1 答案B 解析由题意得 ab |a|b| 2x 2 12x2 1 2， 则 2x 12x2，解之得 x2，x2(舍去). 3.(2021长沙调研)如图所示，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABAD，ABAD 4，CD8.若CE 7DE ，3BF FC，则AFBE( ) A.11B.10C.10D.11 答案D 解析以 A 为坐标原点，建立直角坐标系如图. 则 A(0，0)，
28、B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以AF (5，1)， BE (3，4)，则AFBE15411. 4.若两个非零向量 a， b 满足|ab|ab|2|b|， 则向量 ab 与 a 的夹角为() A. 3 B.2 3 C.5 6 D. 6 答案D 解析设|b|1，则|ab|ab|2. 由|ab|ab|，得 ab0， 故以 a、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a| 3， 设向量 ab 与 a 的夹角为， 则 cos a（ab） |a|ab| a 2ab |a|ab| |a| |ab| 3 2 ， 又 0，所以 6. 5.(多选题)(2021武汉调研)如图，点 A，B 在圆 C 上，则A
29、B AC的 值() A.与圆 C 的半径有关 B.与圆 C 的半径无关 C.与弦 AB 的长度有关 D.与点 A，B 的位置有关 答案BC 解析如图，连接 AB，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D，则 D 是 AB 的中点，故AB AC|AB|AC|cosCAD|AB|AC| 1 2|AB | |AC | 1 2|AB |2 故AB AC的值与圆 C 的半径无关，只与弦 AB 的长度有关，故选 BC. 6.(多选题)(2020青岛调研)在 RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的 高，如图，则下列等式成立的是() A.|AC |2ACAB B.|BC |2BABC C.|AB |2ACC
30、D D.|CD |2 （AC AB）（BABC） |AB |2 答案ABD 解析因为AC AB|AC|AB|cos A|AC|AC|AC|2，选项 A 正确； 因为BA BC|BA|BC|cos B|BC|BC|BC|2，选项 B 正确； 由AC CD |AC |CD |cos(ACD)0，|AB |20，知选项 C 错误； 由题图可知 RtACDRtABC，所以|AC |BC |AB |CD |，结合选项 A，B 可得 |CD |2（AC AB）（BABC） |AB |2 ，选项 D 正确.故选 ABD. 二、填空题 7.已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，
31、c_. 答案 2 3 解析由题意，得 cosa，ca（2a 5b） |a|2a 5b| 2a2 5ab |a| |2a 5b|2 2 1 45 2 3. 8.(2020全国卷)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 答案3 解析如图， 设OA a， OB b， 利用平行四边形法则得OC ab，|a|b|ab|1，OAC 为正三角形，|BA | |ab|2 3 2 |a| 3. 9.已知四边形 ABCD 中，ADBC，BAD90，AD1，BC2，M 是 AB 边 上的动点，则|MC MD |的最小值为_. 答案3 解析以 BC 所在直线为 x 轴， BA 所在直线为 y 轴建立如图
32、所 示的平面直角坐标系，设 A(0，a)，M(0，b)，且 0ba，由 于 BC2，AD1. C(2，0)，D(1，a). 则MC (2，b)，MD (1，ab)， MC MD (3，a2b). 因此|MC MD | 9（a2b）2， 当且仅当 a2b 时，|MC MD |取得最小值 3. 三、解答题 10.已知向量 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，x0，. (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 解(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，ab， 所以 3cos x3sin x. 若 cos x
33、0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾， 故 cos x0，于是 tan x 3 3 . 又 x0，所以 x5 6 . (2)f(x)ab(cos x，sin x)(3， 3) 3cos x 3sin x2 3cos x 6 . 因为 x0，所以 x 6 6， 7 6 ， 从而1cos x 6 3 2 . 于是，当 x 6 6，即 x0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x 6，即 x 5 6 时，f(x)取到最小值2 3. B 级能力提升 11.(2021石家庄调研)已知向量 a，b 满足|a|1，(ab)(3ab)，则 a 与 b 的夹 角的最大值为() A. 6 B. 3
34、 C.2 3 D.5 6 答案A 解析设 a 与 b 的夹角为，0，. 因为(ab)(3ab)，所以(ab)(3ab)0. 整理可得 3a24abb20， 即 3|a|24ab|b|20. 将|a|1 代入 3|a|24ab|b|20， 可得 34|b|cos |b|20， 整理可得 cos 3 4|b| |b| 4 2 3 4|b| |b| 4 3 2 ， 当且仅当 3 4|b| |b| 4 ，即|b| 3时取等号， 故 cos 3 2 ，结合0， 可知的最大值为 6. 12.(2021重庆联考)已知点 O 为坐标原点， 向量OA (1， 2)， OB (x， y)， 且OA OB 10，则
35、|OB |的最小值为_. 答案2 5 解析由题意知|OB | x2y2，x2y10， 点 B 在直线 x2y100 上， |OB |的最小值为点 O 到直线 x2y100 的距离. 则|OB |min|0010| 1222 10 52 5. 13.(2020浙江卷)已知平面单位向量 e1， e2满足|2e1e2| 2.设 ae1e2， b3e1 e2，向量 a，b 的夹角为，则 cos2的最小值是_. 答案 28 29 解析因为单位向量 e1，e2满足|2e1e2| 2， 所以|2e1e2|254e1e22，即 e1e23 4. 因为 ae1e2，b3e1e2，a，b 的夹角为， 所以 cos
36、2（ab） 2 |a|2|b|2 （e1e2）（3e1e2） 2 |e1e2|2|3e1e2|2 （44e1e2）2 （22e1e2） （106e1e2） 44e1e2 53e1e2. 不妨设 te1e2，则 t3 4，cos 244t 53t， 又 y44t 53t在 3 4，上单调递增， 所以 cos243 59 4 28 29， 所以 cos2的最小值为28 29. 14.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos(AB)， sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC上的投影数量. 解(1)由 mn3 5， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B3 5， 所以 cos A3 5.因为 0Ab，所以 AB， 且 B 是ABC 一内角，则 B 4. 由余弦定理得(4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1，c7(舍去)， 故向量BA 在BC上投影的数量为|BA|cos Bccos B12 2 2 2 .
