1、第第 3 节节直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 知识梳理 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面没有公共点，则称直线 l 与平面平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 平面外的一条直线 和平面内的一条直 线平行，则这条直 线和这个平面平行 如果 l，m， lm，则 l 性质定理 一条直线和一个平 面平行，且经过这 条直线的平面与这 个平面相交，则这 条直线就与两平面 的交线平行 如果 l，l， m，则 lm 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 如果平面与平面没有公共点，则. (2)判定定理与性质定理 文字语
2、言图形表示符号表示 判定定理 如果一个平面内有 两条相交直线分别 如果 l，m， lm，l，m 平行于另一个平 面，那么这两个平 面平行. ，则 性质 两个平面平行，则 其中一个平面内的 直线平行于另一个 平面 ， aa 性质定理 如果两个平行平面 同时与第三个平面 相交，那么它们的 交线平行 如果， l， m， 则 ml 1.面面平行判定定理 推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则 这两个平面平行. 用符号表示为：如果 l，m，lm，ll，mm，且 l，m ，则. 2.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则. (2)
3、平行于同一平面的两个平面平行，即若，则. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab. 3.三种平行关系的转化 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.() (2)若直线 a平面，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 或在平面内，故
4、(1)错误. (2)若 a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交， 故(3)错误. 2.下列说法中，与“直线 a平面”等价的是() A.直线 a 上有无数个点不在平面内 B.直线 a 与平面内的所有直线平行 C.直线 a 与平面内无数条直线不相交 D.直线 a 与平面内的任意一条直线都不相交 答案D 解析因为 a平面，所以直线 a 与平面无交点，因此 a 和平面内的任意一 条直线都不相交，故选 D. 3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截 面，则四边形 EFGH 的形状为_.
5、 答案平行四边形 解析平面 ABFE平面 DCGH， 又平面 EFGH平面 ABFEEF， 平面 EFGH平面 DCGHHG， EFHG.同理 EHFG， 四边形 EFGH 是平行四边形. 4.(2021郑州调研)平面平面的一个充分条件是() A.存在一条直线 a，a，a B.存在一条直线 a，a，a C.存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D.存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 答案D 解析若l，al，a，a，a，a，故排除 A； 若l，a，al，则 a，故排除 B； 若l，a，al，b，bl，则 a，b，故排除 C； 故选 D. 5.已知， 表示两个不同的平面， 直线 m 是内
6、一条直线， 则“”是“m” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析由，m，可得 m；反过来，由 m，m，不能推出. 综上，“”是“m”的充分不必要条件. 6.(多选题)(2020青岛质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E， F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确 的是() A.FG平面 AA1D1D B.EF平面 BC1D1 C.FG平面 BC1D1 D.平面 EFG平面 BC1D1 答案AC 解析在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1的中 点， FGB
7、C1，BC1AD1，FGAD1， FG平面 AA1D1D，AD1平面 AA1D1D， FG平面 AA1D1D，故 A 正确； EFA1C1，A1C1与平面 BC1D1相交， EF 与平面 BC1D1相交，故 B 错误； E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1的中点，FGBC1， FG平面 BC1D1，BC1平面 BC1D1， FG平面 BC1D1，故 C 正确； EF 与平面 BC1D1相交，平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故 D 错误.故选 AC. 考点一与线、面平行相关命题的判定 1.设，为两个平面，则的充要条件是() A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C
8、.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面 答案B 解析若，则内有无数条直线与平行，当内无数条直线互相平行时， 与可能相交； 若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交； 若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故 A，C，D 中条件均 不是的充要条件. 根据两平面平行的判定定理知， 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行， 则两平面平行，反之也成立. 因此 B 中条件是的充要条件. 2.(多选题)已知 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命 题中正确的是() A.若 m，m，则 B.若 m，n，则 mn C.若 m，n，则 mn D.若，则与可能平行，也可能相交 答
9、案CD 解析对于 A，若n，mn，则 m，m，所以 A 错误. 对于 B，若 m，n，则 m 与 n 可能是异面直线，相交直线或平行直线，所 以 B 错误. 对于 C，若 m，n，由线面垂直的性质定理知 mn，C 正确. 对于 D，若，则与可能相交或平行，D 正确. 3.(多选题)(2021潍坊调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是 () A.AD1BC1B.平面 AB1D1平面 BDC1 C.AD1DC1D.AD1平面 BDC1 答案ABD 解析如图，因为 AB 綉 C1D1， 所以四边形 AD1C1B 为平行四边形. 故 AD1BC1，从而 A 正确； 易证 BDB1
10、D1，AB1DC1， 又 AB1B1D1B1， BDDC1D， 故平面 AB1D1平面 BDC1，从而 B 正确； 由图易知 AD1与 DC1异面，故 C 错误； 因为 AD1BC1，AD1平面 BDC1，BC1平面 BDC1， 所以 AD1平面 BDC1，故 D 正确. 感悟升华1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个 定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉 最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否 定
11、结论或用反证法推断命题是否正确. 考点二直线与平面平行的判定与性质 角度 1直线与平面平行的判定 【例 1】(2019全国卷)如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的 底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别 是 BC，BB1，A1D 的中点. (1)证明：MN平面 C1DE； (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离. (1)证明如图，连接 B1C，ME. 因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点， 所以 MEB1C，且 ME1 2B 1C. 又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND1 2A 1D. 由题设知 A1B1綉 DC， 可得 B1C 綉 A1D，故 ME 綉
12、 ND， 因此四边形 MNDE 为平行四边形， 所以 MNED. 又 MN平面 C1DE，DE平面 C1DE， 所以 MN平面 C1DE. (2)解过点 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H. 由已知可得 DEBC，DEC1C，又 BCC1CC，BC，C1C平面 C1CE，所以 DE平面 C1CE， 故 DECH.所以 CH平面 C1DE， 故 CH 的长即为点 C 到平面 C1DE 的距离. 由已知可得 CE1，C1C4， 所以 C1E 17，故 CH4 17 17 . 从而点 C 到平面 C1DE 的距离为4 17 17 . 感悟升华1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面
13、内 找到一条与已知直线平行的直线. 2.利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的 平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形. 【训练 1】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：GH平面 PAD. 证明如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点， 所以 APOM. 根据直线和平面平行的判定定理， 则有 PA平面 BMD. 因为平面
14、PAHG平面 BMDGH， 根据直线和平面平行的性质定理，所以 PAGH. 因为 GH平面 PAD，PA平面 PAD， 所以 GH平面 PAD. 角度 2线面平行的性质定理的应用 【例2】 (2021河南、 江西五岳联考)如图， 在四棱锥PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，DAB90，ABBC PA1 2AD2，E 为 PB 的中点，F 是 PC 上的点. (1)若 EF平面 PAD，证明：F 为 PC 的中点； (2)求点 C 到平面 PBD 的距离. (1)证明因为 BCAD，BC平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 BC平面 PAD. 因为 P平面 PBC，P平面 PAD，所
15、以可设平面 PBC平面 PADPM， 又因为 BC平面 PBC，所以 BCPM， 因为 EF平面 PAD，EF平面 PBC， 所以 EFPM，从而得 EFBC. 因为 E 为 PB 的中点，所以 F 为 PC 的中点. (2)解因为 PA底面 ABCD，DAB90，ABBCPA 1 2AD2， 所以 PB PA2AB22 2，PD PA2AD22 5， BD BA2AD22 5， 所以 SDPB1 2PB DP2 1 2PB 2 6. 设点 C 到平面 PBD 的距离为 d， 由 VCPBDVPBCD，得 1 3S DPBd1 3S BCDPA1 3 1 2BCABPA， 则 6d1 2222
16、，解得 d 2 3. 感悟升华在应用线面平行的性质定理进行平行转化时， 一定注意定理成立的条 件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线 平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平 行. 【训练 2】如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形 ACEF 是矩形，M 是线段 EF 的中点. (1)求证：AM平面 BDE； (2)若平面 ADM平面 BDEl，平面 ABM平面 BDEm， 试分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论. (1)证明如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE. 因为 O，M 分别为 AC，EF 的
17、中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AMOE. 又因为 OE平面 BDE，AM平面 BDE， 所以 AM平面 BDE. (2)解lm，证明如下： 由(1)知 AM平面 BDE， 又 AM平面 ADM，平面 ADM平面 BDEl， 所以 lAM， 同理，AM平面 BDE， 又 AM平面 ABM，平面 ABM平面 BDEm， 所以 mAM，所以 lm. 考点三面面平行的判定与性质 【例 3】 (经典母题)如图所示， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F， G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (
18、2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明(1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1C1的中位线，则 GHB1C1. 又B1C1BC， GHBC，B，C，H，G 四点共面. (2)E，F 分别为 AB，AC 的中点，EFBC， EF平面 BCHG，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. 又 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，A1B1綉 AB， A1G 綉 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB. A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG.又A1EEFE， 平面 EFA1平面 BCHG. 【迁移 1】在本例中，若将条件“E，F
19、，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的 中点”变为“D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点”，求证：平面 A1BD1平面 AC1D. 证明如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1BDM. A1B平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， 又由三棱柱的性质及 D，D1分别为 BC，B1C1的中点知，D1C1綉 BD， 四边形 BDC1D1为平行四边形，DC1BD1. 又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1， DC1平面 A1BD1， 又 D
20、C1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 因此平面 A1BD1平面 AC1D. 【迁移 2】在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的 中点”变为“点 D，D1分别是 AC，A1C1上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”， 试求AD DC的值. 解连接 A1B 交 AB1于 O，连接 OD1. 由平面 BC1D平面 AB1D1， 且平面 A1BC1平面 BC1DBC1， 平面 A1BC1平面 AB1D1D1O， 所以 BC1D1O，则A1D1 D1C1 A1O OB 1. 又由题设A1D1 D1C1 DC AD， DC AD1，即 AD DC1. 感悟升华
21、1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行， 需要说明是在一个平面内的两 条直线是相交直线. 【训练 3】(2020成都联考)如图，在四棱锥 PABCD 中，平 面 PAD平面 ABCD， PAPD， ABAD， PAPD， ADCD， BAD60，M，N 分别为 AD，PA 的中点. (1)证明：平面 BMN平面 PCD； (2)若
22、AD6，求三棱锥 PBMN 的体积. (1)证明连接 BD，如图所示. ABAD，BAD60， ABD 为正三角形. M 为 AD 的中点，BMAD. ADCD，CD，BM平面 ABCD，BMCD. 又 BM平面 PCD，CD平面 PCD，BM平面 PCD. M，N 分别为 AD，PA 的中点，MNPD. 又 MN平面 PCD，PD平面 PCD， MN平面 PCD. 又 BM，MN平面 BMN，BMMNM， 平面 BMN平面 PCD. (2)解在(1)中已证 BMAD. 平面 PAD平面 ABCD，BM平面 ABCD， BM平面 PAD. 又 AD6，BAD60，BM3 3. PAPD，PAP
23、D，AD6， PAPD 2 2 AD3 2. M，N 分别为 AD，PA 的中点， SPMN1 4S PAD1 4 1 2(3 2) 29 4. 三棱锥 PBMN 的体积 VVBPMN1 3S PMNBM 1 3 9 43 3 9 3 4 . A 级基础巩固 一、选择题 1.下列命题中正确的是() A.若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B.若直线 a 和平面满足 a，那么 a 与内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线 a，b 和平面满足 ab，a，b，则 b 答案D 解析A 中，a 可以在过 b 的平面内；B 中，a 与内的直线也
24、可能异面；C 中， 两平面可相交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知 b，正确. 2.如果 AB，BC，CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和 直线 AC 的位置关系是() A.平行B.相交 C.AC 在此平面内D.平行或相交 答案A 解析把这三条线段放在正方体内可得如图，显然 ACEF，AC 平面 EFG，EF平面 EFG，故 AC平面 EFG，故选 A. 3.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形， 则该三棱锥中与平面 平行的棱有() A.0 条B.1 条 C.2 条D.1 条或 2 条 答案C 解析如图所示，平面即平面 EFGH，则四边形 EFGH 为平 行四边形，则 E
25、FGH. EF平面 BCD，GH平面 BCD， EF平面 BCD. 又EF平面 ACD，平面 BCD平面 ACDCD，EFCD. 又 EF平面 EFGH，CD平面 EFGH. CD平面 EFGH，同理，AB平面 EFGH， 所以与平面(平面 EFGH)平行的棱有 2 条. 4.(多选题)(2021山东名校联考)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 BB1，DD1，A1B1的中点，则下列说法正确的是() A.B1D平面 A1FC1B.CE平面 A1FC1 C.GE平面 A1FC1D.AE平面 A1FC1 答案ABD 解析作出图形如图所示， 观察可知， B1DFO， CEA1F
26、， AEC1F，又 FO平面 A1FC1，A1F平面 A1FC1，C1F平 面 A1FC1，所以选项 A，B，D 正确；因为 GEA1B，所以 GE 与平面 A1FC1相交，所以选项 C 错误. 5.(多选题)(2021武汉质检)已知 m，n，l 为三条不同的直线，为三个不同 的平面，则下列说法正确的是() A.若 m，则 m B.若，则 C.若 m，n，则 mn D.若 ml，nl，则 mn 答案BCD 解析对于 A，若 m，则 m或 m，故 A 错误； 对于 B，若，则，故 B 正确； 对于 C，若 m，则 m，又 n，mn，故 C 正确； 对于 D，若 ml，nl，则 mn，故 D 正确
27、. 6.(2021重庆联考)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，四 边形 ABCD 为平行四边形，E，F 分别在线段 DB，DD1 上， 且DE EB DF FD1 1 2， G在CC 1上且平面AEF平面BD1G， 则 CG CC1( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.1 4 答案B 解析如图所示，延长 AE 交 CD 于 H，连接 FH，则 DEHBEA，所以DH AB DE EB 1 2.因为平面 AEF平面 BD1G，平面 AEF平面 CDD1CFH，平面 BD1G平面 CDD1C1D1G，所以 FHD1G.又四边形 CDD1C1是平行 四边形，所以DFHC1GD1，所
28、以 DF C1G DH C1D1，因为 DH C1D1 DH AB 1 2，所以 DF C1G 1 2，因为 DF FD1 1 2，所以 FD 1C1G，DFCG，所以 CG CC1 1 3，故选 B. 二、填空题 7.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，E 为 AD 的中 点，点 F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则 EF_. 答案2 解析根据题意，因为 EF平面 AB1C，EF平面 ACD，平面 ACD平面 AB1CAC，所以 EFAC.又 E 是 AD 的中点，所以 F 是 CD 的中点. 因为在 RtDEF 中，DEDF1，故 EF 2. 8.设，是三个不同的平
29、面，m，n 是两条不同的直线，在命题“m， n，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命 题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_(填序号). 答案或 解析由面面平行的性质定理可知，正确；当 m，n时，n 和 m 可能平 行或异面，错误；当 n，m时，n 和 m 在同一平面内，且没有公共点， 所以 mn，正确. 9.如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M在四边形EFGH及其内部运动， 则M只需满足条件_ 时，就有 MN平面 B1BDD1(注：请填上你认为正
30、确的一个条 件即可，不必考虑全部可能情况). 答案点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) 解析连接 HN，FH，FN， 则 FHDD1，HNBD， 且 FHHNH，D1DBDD， 平面 FHN平面 B1BDD1，只需 MFH， 则 MN平面 FHN，MN平面 B1BDD1. 三、解答题 10.(2020绵阳诊断)如图，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，点 E、F 分别是线段 AD，PB 的中点，PAAB2. (1)证明：EF平面 PCD； (2)求三棱锥 FPCD 的体积. (1)证明取 PC 的中点 G，连接 DG，FG. 四边形 ABCD 为正方形，且 DE 綉
31、 1 2BC，FGBC，且 FG 1 2BC， DEFG 且 DEFG，四边形 DEFG 为平行四边形， EFDG， 又EF平面 PCD，DG平面 PCD， EF平面 PCD. (2)解EF平面 PCD，F 到平面 PCD 的距离等于 E 到 平面 PCD 的距离， VFPCDVEPCD 1 2V APCD1 2V PACD. PA平面 ABCD， VPACD1 3S ACDPA1 3 1 22 224 3. VFPCD1 2V PACD2 3. 11.如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 均为平行四边 形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点.求证： (1)BE平面 DMF；
32、(2)平面 BDE平面 MNG. 证明(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，因为四边形 ADEF 为平行四边形，所以 O 为 AE 的 中点. 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO， 又 BE平面 DMF，MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN， 又 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点，N 为 AD 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线， 所以 BDMN， 又 BD平面 MNG，MN平面 M
33、NG， 所以 BD平面 MNG， 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线， 所以平面 BDE平面 MNG. B 级能力提升 12.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1D1， A1B1的中点， 过直线 BD 的平面平面 AMN， 则平面截该正方体所得截面的面积为() A. 2B.9 8 C. 3D. 6 2 答案B 解析如图 1，分别取 B1C1，C1D1的中点 E，F，连接 EF，BE，DF，B1D1，ME， 易知 EFB1D1BD，ABME，ABEM，所以四边形 ABEM 为平行四边形， 则 AMBE，又 BD 和 BE 为平面 BDF
34、E 内的两条相交直线. 图 1图 2 所以平面 AMN平面 BDFE， 即平面 BDFE 为平面，BD 2，EF1 2B 1D1 2 2 ， 得四边形 BDFE 为等腰梯形，DFBE 5 2 ， 在等腰梯形 BDFE 如图 2 中， 过 E，F 作 BD 的垂线，则四边形 EFGH 为矩形， 其高 FG DF2DG2 5 4 1 8 3 2 4 ， 故所得截面的面积为1 2 2 2 2 3 2 4 9 8. 13.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点， 设 Q 是 CC1上的点，则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO. 答案Q
35、 为 CC1的中点 解析如图所示， 设 Q 为 CC1的中点， 因为 P 为 DD1的中点， 所以 QBPA.连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点， 所以 D1BPO，又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，PO平面 PAO，PA平面 PAO，所以 D1B平面 PAO，QB平面 PAO， 又 D1BQBB，所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO. 14.(2021西安调研)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于 底面，E，F 分别是 BC，A1C1的中点，ABC 是边长为 2 的等边 三角形，AA12AB. (1)
36、求证：EF平面 ABB1A1； (2)求点 C 到平面 AEF 的距离. (1)证明如图，取 AB 的中点 D，连接 DE，A1D. 因为 E 是 BC 的中点， 所以 DEAC，且 DE1 2AC. 由三棱柱的性质知 ACA1C1. 因为 F 是 A1C1的中点， 所以 A1FAC，且 A1F1 2AC， 所以 A1FDE，且 A1FDE， 所以四边形 DEFA1是平行四边形. 所以 EFDA1. 又因为 EF平面 ABB1A1，DA1平面 ABB1A1， 所以 EF平面 ABB1A1. (2)解由题可得 VFACE1 3AA 1SACE1 34 1 2 3 4 222 3 3 . 在AEF 中，易求得 AE 3，AF 17，EF 17， AE 边上的高为17 3 2 2 65 2 ， 所以 SAEF1 2 65 2 3 195 4 . 设点 C 到平面 AEF 的距离为 h， 则 VCAEF1 3hS AEF2 3 3 ，解得 h8 65 65 .
