1、第二课时直线与椭圆 考点一直线与椭圆的位置关系 【例 1】已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x 2 4 y 2 2 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点 解将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组 y2xm， x2 4 y 2 2 1， 将代入，整理得 9x28mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144. (1)当0，即3 2m32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有 两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点 (2)当0，即 m32时，方程
2、有两个相同的实数根，可知原方程组有两组 相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 (3)当0，即 m32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实 数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 感悟升华研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方 程组解的个数 (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有 交点 【训练 1】若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y 2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是 () Am1Bm0 C0m5 且 m1Dm1 且
3、 m5 答案D 解析法一由于直线 ykx1 恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则 00 且 m5，m15k2恒成立， m1 且 m5. 考点二中点弦及弦长问题 角度 1中点弦问题 【例 2】已知 P 1 2， 1 2 为椭圆x 2 2 y21 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为_ 答案2x4y30 解析易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为 k， 弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x 2 1 2 y211，x 2 2 2 y221，两式作差，得 （x2x1） （x2x1） 2 (y2y1)(y2y1)0， x1x2
4、1，y1y21， x2x1 2 (y2y1)0， ky2y1 x2x1 1 2， 经检验，k1 2满足题意， 此弦所在的直线方程为 y1 2 1 2 x1 2 ， 即 2x4y30. 感悟升华弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率 角度 2弦长问题 【例 3】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2， 过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB| 4. (1)求椭圆的方程
5、； (2)若|AB|CD|48 7 ，求直线 AB 的方程 解(1)由题意知 ec a 1 2，2a4. 又 a2b2c2，解得 a2，b 3， 所以椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存 在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件 当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线 CD 的方程为 y1 k(x1) 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则 x1 x2 8k2 34k2，x 1x24k
6、212 34k2 ， 所以|AB| k21|x1x2| k21 （x1x2）24x1x212（k 21） 34k2 . 同理，|CD|12 1 k21 3 4 k2 12（k 21） 3k24 . 所以|AB|CD|12（k 21） 34k2 12（k 21） 3k24 84（k21）2 （34k2） （3k24） 48 7 ，解得 k1， 所以直线 AB 的方程为 xy10 或 xy10. 感悟升华1.弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解 (2)当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两 个不同的点，
7、则弦长公式的常见形式有如下几种： |AB| 1k2|x1x2|； |AB|1 1 k2|y 1y2|(k0)； |AB| （1k2）（x1x2）24x1x2； |AB| 11 k2（y1y2）24y1y2. 2注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥 曲线的焦点 【训练 2】 (1)(2020石家庄模拟)过点 M(1， 1)作斜率为1 2的直线与椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率 为_ (2)(多选题)(2021济宁调研)设椭圆的方程为x 2 2 y 2 4 1，斜率为 k 的
8、直线不经过原 点O， 而且与椭圆相交于A， B两点， M为线段AB的中点 下列结论正确的是() A直线 AB 与 OM 垂直 B若点 M 坐标为(1，1)，则直线方程为 2xy30 C若直线方程为 yx1，则点 M 坐标为 1 3， 4 3 D若直线方程为 yx2，则|AB|4 3 2 答案(1) 2 2 (2)BD 解析(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， （x1x2） （x1x2） a2 （y1y2） （y1y2） b2 0， y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2. y 1y2 x1x2 1 2，x
9、 1x22，y1y22， b 2 a2 1 2，a 22b2. 又b2a2c2，a22(a2c2)， a22c2，c a 2 2 . 即椭圆 C 的离心率 e 2 2 . (2)对于 A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质 kABkOM4 22 1，所以 A 项不正确； 对于 B 项，根据 kABkOM2，所以 kAB2，所以直线方程为 y12(x 1)，即 2xy30，所以 B 项正确； 对于 C 项，若直线方程为 yx1，点 M 1 3， 4 3 ，则 kABkOM1442，所 以 C 项不正确； 对于 D 项，若直线方程为 yx2，与椭圆方程x 2 2 y 2 4 1 联立，得到
10、2x2(x 2)240， 整理得 3x24x0， 解得 x10， x24 3， 所以|AB| 11 2| 4 30| 4 2 3 ，所以 D 正确，故选 BD. 考点三直线与椭圆的综合问题 【例 4】已知 P 点坐标为(0，2)，点 A，B 分别为椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的 左、右顶点，直线 BP 交 E 于点 Q，ABP 是等腰直角三角形，且PQ 3 2QB . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直 径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围 解(1)由ABP 是等腰直角三角形，得 a2
11、，B(2，0) 设 Q(x0，y0)，则由PQ 3 2QB ，得 x06 5， y04 5， 代入椭圆方程得 b21， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y21. (2)依题意得，直线 l 的斜率存在，方程设为 ykx2. 联立 ykx2， x2 4 y21， 消去 y 并整理得(14k2)x216kx120.(*) 因直线 l 与 E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故(16k)248(14k2)0，解得 k23 4. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根与系数的关系得 x1x2 16k 14k2， x1x2 12 14k2， 因坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外，
12、 所以OM ON 0，即 x1x2y1y20， 又由 x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 (1k2) 12 14k22k 16k 14k240， 解得 k24，综上可得3 4k 24， 则 3 2 k2 或2k 3 2 . 则满足条件的斜率 k 的取值范围为 2， 3 2 3 2 ，2 . 感悟升华1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意， 列出有关的方程，利用代数的方法求解为减少计算量，在代数运算中，经常运 用设而不求的方法 2直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方 程为 xtym，避免讨论；
13、若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为 y kxb 的形式，若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的 讨论 【训练 3】已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，过 A(2，0)，B(0，1)两点 (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求四边形 ABNM 的面积 解(1)由题意知，a2，b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 因为 c a2b2 3， 所以椭圆 C 的离心率 ec a 3 2 . (2)设 P(x0，y0)(x00，y0b0
14、)，则 c1.因为过 F 2且垂直于 x 轴的 直线与椭圆交于 A，B 两点，且|AB|3，所以b 2 a 3 2，b 2a2c2，所以 a24， b2a2c2413，椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. 3 直线 ykx1， 当 k 变化时， 此直线被椭圆x 2 4 y21 截得的最大弦长是() A2B.4 3 3 C4D不能确定 答案B 解析直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)， 则弦长为 x2（y1）2 44y2y22y1 3y22y5， 当 y1 3时，弦长最大为 4 3 3 . 4已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为
15、 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两点，若 AB 的中点为 M(1，1)，则椭圆 E 的方程为() A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 9 1 答案D 解析kAB01 31 1 2，k OM1. 由 kABkOMb 2 a2，得 b2 a2 1 2，a 22b2. c3，a218，b29，椭圆 E 的方程为x 2 18 y2 9 1. 5椭圆x 2 16 y2 4 1 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是() A3B. 11C2 2D. 10 答案D 解析设椭圆x 2 16 y2 4 1
16、 上的点 P(4cos，2sin)， 则点 P 到直线 x2y 20 的距离为 d|4cos4sin 2| 5 |4 2sin 4 2| 5 ， 所以 dmax|4 2 2| 5 10.故选 D. 6(2021重庆调研)已知椭圆 E：x 2 5 y 2 4 1 的一个顶点 C(0，2)，直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，若 E 的左焦点 F1为ABC 的重心，则直线 l 的方程为() A6x5y140B6x5y140 C6x5y140D6x5y140 答案B 解析由题意知 F1(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x203， y1y220， 所以 x1x23， y
17、1y22. 设 M 为 AB 的中点，则 M 3 2，1. 由 x21 5 y 2 1 4 1， x22 5 y 2 2 4 1， 作差得（x1x2） （x1x2） 5 （y1y2） （y1y2） 4 0， 将代入上式得y1y2 x1x2 6 5. 即 k6 5，由点斜式，得直线方程为 y1 6 5 x3 2 ，即 6x5y140.故选 B. 二、填空题 7已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程为_ 答案 x2 9 y 2 8 1 解析椭圆长轴长为 6，即 2a6，得 a3， 两焦点恰好将长轴三等分， 2c1 32a2
18、，得 c1， 因此，b2a2c2918， 所以此椭圆的标准方程为x 2 9 y 2 8 1. 8(2020成都诊断)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，上顶 点为 C，若ABC 是底角为 30的等腰三角形，则c b_ 答案2 解析由题意知CAB30，tan30b a 3 3 ， c b a2b2 b2 a b 2 1 31 2. 9(2021衡水调研)与椭圆x 2 2 y21 有相同的焦点且与直线 l：xy30 相切 的椭圆的离心率为_ 答案 5 5 解析因为所求椭圆与椭圆x 2 2 y21 有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程 为x 2 a2 y2 a21
19、1(a1)，联立方程组 x2 a2 y2 a211， yx3 (2a21)x26a2x10a2a4 0， 因为直线 l 与椭圆相切，所以36a44(2a21)(10a2a4)0， 化简得 a46a250，即 a25 或 a21(舍) 则 a 5.又 c1，所以 ec a 1 5 5 5 . 三、解答题 10(2020武汉调研)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(2，0)，离心 率为 2 2 .直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值 解(1)由题意得 a2， c a
20、2 2 ， a2b2c2， 解得 b 2. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)由 yk（x1） ， x2 4 y 2 2 1 消 y 得(12k2)x24k2x2k240，显然0. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 24 12k2. 所以|MN| （1k2）（x1x2）24x1x2 2 （1k 2） （46k2） 12k2 . 又因为点 A(2，0)到直线 yk(x1)的距离 d |k| 1k2， 所以AMN 的面积为 S1 2|MN|d |k| 46k2 12k2 . 由|k| 46k 2 12
21、k2 10 3 ，解得 k1. 11已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的 三个顶点，点 P 3，1 2 在椭圆 E 上 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设不过原点 O 且斜率为1 2的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的 中点为 M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|. (1)解由已知，a2b， 又椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 P 3，1 2 ， 故 3 4b2 1 4 b2 1，解得 b21.所以椭圆 E 的方程是x 2 4 y21. (2)证明设直线 l 的方程
22、为 y1 2xm(m0)，A(x 1，y1)，B(x2，y2) 由方程组 x2 4 y21， y1 2xm， 得 x22mx2m220， 方程的判别式为4m24(2m22)，由0，即 2m20， 解得 2mb0)上的两 点，且线段 MN 恰为圆 x2y2r2(r0)的一条直径，A 为椭圆 C 上与 M，N 不重 合的一点，且直线 AM，AN 的斜率之积为1 3，则椭圆 C 的离心率为_ 答案 6 3 解析 如图，设 A(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x1，y1)， x 2 0 a2 y20 b21， x21 a2 y21 b21. 两式相减得x 2 1x20 a2 y 2 1y20 b2
23、 0， 即y 2 1y20 x21x20 b2 a2. 直线 AM，AN 的斜率之积为1 3， y1y0 x1x0 y1y0 x1x0 1 3， b2 a2 1 3. 椭圆的离心率 ec a c2 a2 a2b2 a2 11 3 6 3 . 14(2021长沙质检)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知F1PF260，SF1PF2 3，且椭圆的离心率为1 2. (1)求椭圆方程； (2)已知 T(4，0)，过 T 的直线与椭圆交于 M，N 两点，求MNF1面积的最大 值 解(1)由已知，得|PF1|PF2|2a， |PF1|2|PF2
24、|22|PF1|PF2|cos604c2， 即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|4c2， 1 2|PF 1|PF2|sin60 3，即|PF1|PF2|4， 联立解得 a2c23.又c a 1 2，c 21，a24， b2a2c23，椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)根据题意可知直线 MN 的斜率存在，且不为 0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 MN 的方程为 xmy4， 代入椭圆方程，整理得(3m24)y224my360， 则(24m)2436(3m24)0，所以 m24. y1y2 24m 3m24，y 1y2 36 3m24， 则MNF1的面积 SMNF1|SNTF1SMTF1| 1 2|TF 1|y1y2|3 2 （y1y2）24y1y2 3 2 24m 3m24 2 144 3m2418 m24 43m2 6 1 m2416 3 m24 6 1 m24 16 3 m24 6 2 16 3 3 3 4 . 当且仅当 m24 16 3 m24 ，即 m228 3 时(此时适合0 的条件)取得等号 故MNF1面积的最大值为3 3 4 .
