1、INNOVATIVE DESIGN 第三章 第2节利用导数研究函数的性质 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 函数函数yf(x)在某个区间内可导，则：在某个区间内可导，则： (1)若若f(x)0，则，则f(x)在这个区间内在这个区间内 ； (2)若若f(x)0 f(x)0 f(x)0 索引 3.函数的最值与导数函数的最值与导数 (1)函数函数f(x)在在a，b上的最值上的最值 如果函数如果函数yf(x)的定义域为的定义域为(a，b且存在最值，
2、函数且存在最值，函数yf(x)在在(a，b)内可导，那内可导，那 么函数的最值点要么是区间端点么函数的最值点要么是区间端点a或或b，要么是极值点，要么是极值点. (2)求求yf(x)在在a，b上的最大上的最大(小小)值的步骤值的步骤 求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的极值；内的极值； 将函数将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值最大值，最小的一个是最小值. 索引 1.若函数若函数f(x)在区间在区间(a，b)上递增，则上递增，则f(x)0，所以，所以“f(x)0在在(a，b
3、)上成立上成立”是是 “f(x)在在(a，b)上单调递增上单调递增”的充分不必要条件的充分不必要条件. 2.对于可导函数对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是是“函数函数f(x)在在xx0处有极值处有极值”的必要不充的必要不充 分条件分条件. 3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论， 不可想当然认为极值就是最值不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是函数最值是“整体整体”概念，而函数极值是概念，而函数极值是“局部局部”概念，极大值与极小值之概念，极大值与极小值之 间没有必然的大小关系间没有
4、必然的大小关系. 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)若函数若函数f(x)在在(a，b)内单调递增，那么一定有内单调递增，那么一定有f(x)0. () (2)如果函数如果函数f(x)在某个区间内恒有在某个区间内恒有f(x)0，则，则f(x)在此区间内没有单调性在此区间内没有单调性. () (3)函数的极大值一定大于其极小值函数的极大值一定大于其极小值. () (4)对可导函数对可导函数f(x)，若，若f(x0)0，则，则x0为极值点为极值点. () (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值函数的最大值不一定是
5、极大值，函数的最小值也不一定是极小值. () 解析解析(1)f(x)在在(a，b)内单调递增，则有内单调递增，则有f(x)0. (3)函数的极大值也可能小于极小值函数的极大值也可能小于极小值. (4)x0为为f(x)的极值点的充要条件是的极值点的充要条件是f(x0)0，且，且x0两侧导函数异号两侧导函数异号. 索引 2.函数函数f(x)x22ln x的单调递减区间是的单调递减区间是() A.(0，1 B.1，) C.(，1 D.1，0)(0，1 由由f(x)0，得，得0 x1. A 索引 3.如图是如图是f(x)的导函数的导函数f(x)的图像，则的图像，则f(x)的极小值点的个数为的极小值点的
6、个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析由题意知在由题意知在x1处处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正，且其两侧导数符号为左负右正. A 索引 4.(2017浙江卷浙江卷)函函数数yf(x)的导函数的导函数yf(x)的图像如图所示，则函数的图像如图所示，则函数yf(x)的的 图像可能是图像可能是 () 解析解析设导函数设导函数yf(x)与与x轴交点的横坐标从左往右依次为轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导，由导 函数函数yf(x)的图像易得当的图像易得当x(，x1)(x2，x3)时，时，f(x)0(其中其中x10 x2x3)，所以函数，所以函数f(x)在在(，
7、x1)，(x2， x3)上单调递减，在上单调递减，在(x1，x2)，(x3，)上单调递增，观察各选项，只有上单调递增，观察各选项，只有D选项选项 符合符合. D 索引 AC 令令xln(x1)0，所以，所以x0或或ln(x1)0，所以，所以x0，故，故f(x)只有只有1个零点个零点0， 所以所以B不正确；不正确； 索引 定义域不关于原点对称，所以定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以不是偶函数，所以D不正确不正确.故选故选AC. 索引 6.(2021青岛检测青岛检测)已已知函数知函数f(x)sin 2x4cos xax在在R上单调递减，则实数上单调递减，则实数a的的 取值范围是取值
8、范围是_. 解析解析f(x)2cos 2x4sin xa 2(12sin2x)4sin xa 4sin2x4sin x2a(2sin x1)23a. 由题设，由题设，f(x)0在在R上恒成立上恒成立. 因此因此a3(2sin x1)2恒成立，则恒成立，则a3. 3，) 索引 第一课时导数与函数的单调性第一课时导数与函数的单调性 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1.函数函数f(x)x22ln x的递减区间是的递减区间是() A.(0，1) B.(1，) C.(，1) D.(1，1) 当当x(0，1)时，时，f(x)0，f(x)为增函数为增函数. 考点一不含参函数的单调性 / 自主演练自主
9、演练 A 索引 2.函数函数f(x)(x3)ex的递增区间是的递增区间是() A.(，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，) 解析解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令令f(x)0，解得，解得x2，故选，故选D. D 索引 3.已知定义在区间已知定义在区间(，)上的函数上的函数f(x)xsin xcos x，则，则f(x)的递增区间是的递增区间是 _. 解析解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令令f(x)xcos x0， 索引 确定函数单调区间的步骤：确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域； (2)求求
10、f(x)； (3)解不等式解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 感悟升华 索引 解解函数函数f(x)的定义域为的定义域为(0，)， 考点二讨论含参函数的单调性 / 师生共研师生共研 当当 0a1， ， 索引 f(x)0在在(0，)上恒成立，上恒成立， 函数函数f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当a1时，函数时，函数f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 索引 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等
11、式解集的影响进行分类讨论研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函的点和函 数的间断点数的间断点. 2.个别导数为个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在在x0时取到时取到)，f(x)在在R上是增函数上是增函数. 感悟升华 索引 【训练训练1】已已知函数知函数f(x)axln x(aR)，求，求f(x)的单调区间的单调区间. 当当a0时，由于时，由于x0，故，
12、故ax10，f(x)0， 所以所以f(x)的单调递增区间的单调递增区间(0，). 索引 因为因为x1是是f(x)2xln x的一个极值点，的一个极值点， 所以所以f(1)0，即，即2b10. 解得解得b3，经检验，适合题意，所以，经检验，适合题意，所以b3. 令令f(x)0，得，得0 x1. 所以函数所以函数f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0，1). 考点三根据函数单调性求参数 / 典例迁移典例迁移 索引 因为函数因为函数g(x)在在1，2上单调递增，上单调递增， 所以所以g(x)0在在1，2上恒成立，上恒成立， 所以所以a2x2x在在1，2上恒成立，上恒成立， 所以所以a(2x2x
13、)max，x1，2. 因为在因为在1，2上，上，(2x2x)max3，所以，所以a3. 所以实数所以实数a的取值范围是的取值范围是3，). 索引 【迁移迁移1】本本例例(2)中，若函数中，若函数g(x)在区间在区间1，2上单调递减，求实数上单调递减，求实数a的取值范围的取值范围. 当当x1，2时，时，a2x2x恒成立，恒成立， 当当x2时，时，t2x2x取得最小值取得最小值10. 所以所以a10，即实数，即实数a的取值范围为的取值范围为(，10. 索引 【迁移迁移2】在在本例本例(2)中，若函数中，若函数g(x)在区间在区间1，2上不单调，求实数上不单调，求实数a的取值范围的取值范围. 解解函
14、数函数g(x)在区间在区间1，2上不单调，上不单调， g(x)0在区间在区间(1，2)内有解，内有解， 易知该函数在易知该函数在(1，2)上是减函数，上是减函数， a2x2x的值域为的值域为(10，3)， 因此实数因此实数a的取值范围为的取值范围为(10，3). 索引 1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或或f(x)0)，x(a， b)恒成立，解出参数的取值范围恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参，应注意参 数的取值是数的取值是f(x)不恒等于不恒等于0的参
15、数的范围的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数如果能分离参数，则尽可能分离参数 后转化为参数值与函数最值之间的关系后转化为参数值与函数最值之间的关系. 2.若函数若函数yf(x)在区间在区间(a，b)上不单调，则转化为上不单调，则转化为f(x)0在在(a，b)上有解上有解. 感悟升华 索引 由已知得由已知得g(x)0在在1，2上恒成立，上恒成立， 索引 考点四与导数有关的函数单调性的应用 / 多维探究多维探究 CD 索引 D g(x)0，则，则g(x)在在(，)上是减函数上是减函数. 由由f(2)2，且，且f(x)在在R上是奇函数，上是奇函数， 所以所以x2. 索引 1.利用导数
16、比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问 题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存 在在f(x)与与f(x)的不等关系时，常构造含的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积与另一函数的积(或商或商)的函数，与题设的函数，与题设 形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式形成解
17、题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 感悟升华 索引 D 【训练【训练3】 (1)(2021新高考新高考8省联考省联考)已知已知a5且且ae55ea，b4且且be44eb，c3且且 ce33ec，则，则() A.cba B.bcaC.acb D.abc 所以所以f(x)在在(0，1)上单调递减，在上单调递减，在(1，)上单调递增，上单调递增， 所以所以f(3)f(4)f(5)，即，即f(c)f(b)f(a)，作出，作出f(x)的示意图，所以的示意图，所以 abf(x)，所以，所以g(x)0，所以函数，所以函数g(x)在在R上单调递减上单调递减. 因为因为f(x)2 021为定义
18、在为定义在R上的奇函数，所以上的奇函数，所以f(0)2 0210， 所以所以f(0)2 021，则，则g(0)2 021， 所以不等式所以不等式f(x)2 021ex0等价于等价于g(x)0， 所以不等式所以不等式f(x)2 021ex0的解集为的解集为(0，). B 索引 以“函数凹凸性”为背景的导数问题 索引 C 所以所以f(x)exln x1mx， 索引 索引 思维升华 索引 A.f(2)f(e)f() B.f()f(e)f(2) C.f(2)f(2)f(3)f(3) D.f(3)f(3)f(2)0，所以，所以f(x)在在R上单调递增上单调递增. ABD 索引 所以所以yf(x)的图像是
19、向上凸起的，大致图像如图所示的图像是向上凸起的，大致图像如图所示. 由图可知由图可知f(2)f(e)f()，故，故A项正确项正确. 因为因为f(x)反映了函数反映了函数f(x)图像上各点处的切线的斜率，图像上各点处的切线的斜率， 由图可知，随着由图可知，随着x的增大，的增大，f(x)的图像越来越平缓，即切线的斜率越来越小，的图像越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以所以f()f(e)f(2)，故，故B项正确项正确. 所以结合图可知所以结合图可知f(3)kABf(2)，故，故D正确正确. 显然只有显然只有f(2)f(2)f(3)0；在；在(0，)上，上，f(x)0，选项，选项D满足满足. D
20、0112131407080910110203040506索引 解析解析因为函数因为函数f(x)的定义域为的定义域为(0，)， B 0112131407080910110203040506索引 D 令令g(x)2ax24ax1， 则函数则函数g(x)2ax24ax1的对称轴方程为的对称轴方程为x1， 若若f(x)在在(1，4)上不单调，则上不单调，则g(x)在区间在区间(1，4)上有零点上有零点. 当当a0时，显然不成立；时，显然不成立； 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 4.已知已知f(x)是定义在区间是
21、定义在区间(0，)内的函数，其导函数为内的函数，其导函数为f(x)，且不等式，且不等式 xf(x)2f(x)恒成立，则恒成立，则 () A.4f(1)f(2) C.f(1)4f(2) B 所以函数所以函数g(x)在在(0，)上为减函数，因此上为减函数，因此g(1)g(2)， 0112131407080910110203040506索引 f(x)在在R上是增函数上是增函数. 故故f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)， D 0112131407080910110203040506索引 BD 解析解析由导函数的图像可知，导函数由导函数的图像可知，导函数f(x)的图像在的图像在x轴下方，轴下
22、方， 即即f(x)0，故原函数为减函数，并且递减的速度是逐渐减慢，故原函数为减函数，并且递减的速度是逐渐减慢. 所以所以f(x)的示意图如图所示：的示意图如图所示： f(x)0恒成立，没有依据，故恒成立，没有依据，故A不正确；不正确； 0112131407080910110203040506索引 B表示表示(x1x2)与与f(x1)f(x2)异号，即异号，即f(x)为减函数，故为减函数，故B正确；正确； C，D左边的式子意义为左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点中点对应的函数值，即图中点B的纵坐的纵坐 标值，右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点标值，右边式子代表的是函数值的
23、平均值，即图中点A的纵坐标值，的纵坐标值， 显然有左边小于右边，故显然有左边小于右边，故C不正确，不正确，D正确正确. 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填空题 7.已已知知a为实数，为实数，f(x)ax33x2，若，若f(1)3，则函数，则函数f(x)的单调递增区间的单调递增区间 为为_. 解析解析f(x)ax33x2，则，则f(x)3ax23， 又又f(1)3a33，解得，解得a2， 0112131407080910110203040506索引 8.(2020长沙质检长沙质检)若若函数函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间在其定义域的一个
24、子区间(k1，k1) 内不是单调函数，则实数内不是单调函数，则实数k的取值范围是的取值范围是_. 0112131407080910110203040506索引 (，2)(0，2) 又又f(2)0，即，即(2)0， 在在(0，)上，当且仅当上，当且仅当0 x0， 此时此时x2f(x)0. 又又f(x)为奇函数，为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数，也为奇函数， 由数形结合知由数形结合知x(，2)时，时，f(x)0. 故故x2f(x)0的解集为的解集为(，2)(0，2). 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引
25、 所以所以h(x)在在(0，)上单调递减上单调递减. 由由h(1)0知，当知，当0 x0，所以，所以f(x)0； 当当x1时，时，h(x)0，所以，所以f(x)0. 综上综上f(x)的单调增区间是的单调增区间是(0，1)，减区间为，减区间为(1，). 0112131407080910110203040506索引 当当0 x2时，时，f(x)0，f(x)单调递增；单调递增； 当当1x2时，时，f(x)0时恒成立，时恒成立， 0112131407080910110203040506索引 当且仅当当且仅当x1时，时，g(x)0. B级 能力提升 / 索引01121314070809101102030
26、40506 D 0112131407080910110203040506索引 解析解析由已知条件，构造函数由已知条件，构造函数g(x)f(x)mx，xR，则，则g(x)f(x)m0， 所以函数所以函数g(x)f(x)mx在在R上单调递增，上单调递增， AC 0112131407080910110203040506索引 14.已知函数已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数，其中参数a0. (1)讨论讨论f(x)的单调性；的单调性； 解解函数函数f(x)的定义域为的定义域为(，)，且，且a0. f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若若a0，则，则f(x)e2x，在，在(，)上单调递增上单调递增. 0112131407080910110203040506索引 14.已知函数已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数，其中参数a0. (2)若若f(x)0，求，求a的取值范围的取值范围. 解解当当a0时，时，f(x)e2x0恒成立恒成立. 即即0a2e 时，时，f(x)0. 综上，综上，a的取值范围是的取值范围是2e ，0. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
