1、INNOVATIVE DESIGN 第五章 第1节平面向量及其线性运算 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.向量的有关概念向量的有关概念 (1)向量：我们把既有向量：我们把既有_又有又有_的量称为向量的量称为向量(也称为矢量也称为矢量)，向量的，向量的 _也称为向量的模也称为向量的模(或长度或长度). (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量零向量：始点和终点相同的向量称为零向量. (3)单位向量：模等于单位向量：模等于_的向量称为单位向量的向量称为单位向量. (4)平行向量平行向量(共
2、线向量共线向量)：如果两个非零向量的方向：如果两个非零向量的方向_，则称这两个，则称这两个 向量平行向量平行.通常规定零向量与任意向量通常规定零向量与任意向量_. (5)相等向量：大小相等向量：大小_、方向、方向_的向量的向量. (6)相反向量：大小相反向量：大小_、方向、方向_的向量的向量. 大小大小方向方向 大小大小 1 1 相同或者相反相同或者相反 平行平行 相等相等相同相同 相等相等相反相反 索引 2.向量的线性运算向量的线性运算 向量向量 运算运算 定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律 加法加法 求两个向量和的运求两个向量和的运 算算 (1)交换律：交换律： ab .
3、 (2)结合律：结合律：(ab) c 减法减法 减去一个向量相当减去一个向量相当 于加上这个向量的于加上这个向量的 相反向量相反向量 aba(b) ba a(bc) 索引 数乘数乘 求实数求实数与与 向量向量a的积的积 的运算的运算 (1)当当0且且a0时，时，a的模为的模为 _,而且而且a的方向如下：的方向如下： 当当0时，与时，与a的方向的方向_； 当当0时，与时，与a的方向的方向_. (2)当当0或或a0时，时，a_. (a) ； ()a ； (ab) |a| 相同相同 相反相反 0 （ ）a aa ab 索引 3.共线向量定理共线向量定理 如果存在实数如果存在实数，使得，使得ba(a0
4、)，则，则b_a. 4.向量模的不等式向量模的不等式 向量向量a，b的模与的模与ab的模之间满足不等式的模之间满足不等式|a|b|_|ab|_|a| |b|. 索引 诊断自测 / 索引 解析解析(2)若若b0，则，则a与与c不一定平行不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在四点不一定在 一条直线上一条直线上. 索引 A 索引 A 索引 解析解析根据向量的有关概念可知根据向量的有关概念可知ABC正确，对于正确，对于D， 当当0时，时，a与与b不一定共线，故不一定共线，故D错误错误. ABC 索引 又又O为为
5、ABC的外接圆的圆心，的外接圆的圆心， 根据加法的几何意义，四边形根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，为菱形， 且且CAO60，因此，因此CAB30. A 索引 6.(2020武汉质检武汉质检)设设a与与b是两个不共线向量，且向量是两个不共线向量，且向量ab与与(b2a)共线，共线， 则则_. 解析解析由已知由已知2ab0，依题意知向量，依题意知向量ab与与2ab共线，设共线，设abk(2a b)，则有，则有(12k)a(k)b0，因为，因为a，b是两个不共线向量，故是两个不共线向量，故a与与b均不为均不为 零向量，零向量， 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 解析解析A不正确不正确
6、.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. 考点一平面向量的概念 / 自主演练自主演练 BC 索引 C正确正确.ab， a，b的长度相等且方向相同，又的长度相等且方向相同，又bc， b，c的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故的长度相等且方向相同，故ac. D不正确不正确.当当ab且方向相反时，即使且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到，也不能得到ab，故，故|a|b|且且ab 不是不是ab的充要条件，而是必要不充分条件的充要条件，而是必要不充分条件.故选故选BC. 索引 D 索引 D 索引 1.相等的向量不
7、仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而 平行向量未必是相等向量平行向量未必是相等向量. 2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可 以比较大小以比较大小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等. 3.(1)单位向量的特征是长度都是单位向量的特征是长度都是1个单位个单位. (2)零向量的特征是长度是零向量的特征是长度是0，并规定零向量与任何向量平行，并规
8、定零向量与任何向量平行. 感悟升华 索引 角度角度1平面向量的加、减运算的几何意义平面向量的加、减运算的几何意义 【例例1】已已知两个非零向量知两个非零向量a，b满足满足|ab|ab|，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是() A.abB.ab C.|a|b| D.abab 考点二向量的线性运算 / 多维探究多维探究 B 索引 解析解析连接连接CD，C，D是半圆弧的三等分点，是半圆弧的三等分点， CDAB，且，且AB2CD， D 因此因此AB 2CD 2(AD AC )2AD 2AC . 索引 A 索引 1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并解决平面向量线
9、性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并 能熟练运用相反向量将加减法相互转化能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、 三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质， 把未知向量转化为用已知向量线性表示把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，
10、利用向量运算的三角 形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 感悟升华 索引 解析解析E是是AD的中点，的中点， A 又知又知D是是BC的中点，的中点， 索引 解析解析如图，记正六边形如图，记正六边形ABCDEF的中心为点的中心为点O，连接，连接OB，OD，易证四边形，易证四边形 OBCD为菱形，且为菱形，且P恰为其中心，恰为其中心， B 于是于是FP 3 2FO 3 2AB ， 索引 ACD 则点则点M在边在边CB的延长线上，故的延长线上，故B错误；错误； 索引 则点则点M是是ABC的重心，故的重心，故
11、C正确；正确； 则则M为为AN的中点，的中点， 索引 考点三共线定理及其应用 / 师生共研师生共研 (3k)e1(2k1)e2， 所以所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 索引 D E为为CD中点，中点， 索引 又又点点B，F，D共线，共线， 索引 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量向量a，b共线是指存在不全为零的实数共线是指存在不全为零的实数1，2，使，使1a2b0成
12、立成立. 感悟升华 索引 解析解析因为因为A，B，C三点共线，三点共线， 则则abm(ab)，由于，由于a与与b不共线，不共线， 所以所以1. D 索引 所以所以x2(x1)1，即，即x2x0， 解得解得x0或或x1. 不合题意，舍去不合题意，舍去.故故x1. 1 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 011213141507080910110203040506索引16 解析解析利用向量运算，易知利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量中的式子结果为零向量. AD 01121314150708091011020304050616索引 所以所以A，B，D三点共线三点共线.故选
13、故选A. A 01121314150708091011020304050616索引 3.设设a是非零向量，是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是是非零实数，下列结论中正确的是 () A.a与与a的方向相反的方向相反B.a与与2a的方向相同的方向相同 C.|a|a| D.|a|a 解析解析当当0时，时，a与与a的方向相同，的方向相同，A错，错，a与与2a的方向相同，的方向相同，B正确；正确； 当当|1时，时，|a|a|，C错；错；|a|a|，D错，故选错，故选B. B 01121314150708091011020304050616索引 解析解析因为因为G为为ABC的重心，的重心， A 01
14、121314150708091011020304050616索引 E为为BC的中点，的中点，F为为AE的中点，的中点， D 01121314150708091011020304050616索引 解析解析连接连接AE，因为，因为F为为DE的中点，的中点， C 所以所以AF 1 2(AD AE )， 01121314150708091011020304050616索引 B 解析解析取取AC的中点的中点D，连接，连接OD， 所以所以O是是AC边上的中线边上的中线BD的中点，的中点， 所以所以S ABC 2S OAC， ， 所以所以ABC与与AOC面积之比为面积之比为21. 0112131415070
15、8091011020304050616索引 D 点点O在线段在线段CD上上(与点与点C，D不重合不重合)， 所以所以xy， 01121314150708091011020304050616索引 二、填空题二、填空题 9.设设向量向量a，b不平行，向量不平行，向量ab与与a2b平行，则实数平行，则实数_. 解析解析向量向量a，b不平行，不平行， a2b0，又向量，又向量ab与与a2b平行，平行， 则存在唯一的实数则存在唯一的实数，使，使ab(a2b)成立，成立， 01121314150708091011020304050616索引 0 011213141507080910110203040506
16、16索引 故故A，B，C为矩形的三个顶点，为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形为直角三角形. 直角三角形直角三角形 01121314150708091011020304050616索引 解析解析 因为因为AC 1 5AB ， 因为因为D为为OB的中点，的中点， B级 能力提升 / 索引01121314150708091011020304050616 A 01121314150708091011020304050616索引 14.(多选题多选题)(2021武汉模拟武汉模拟)瑞瑞士数学家欧拉在士数学家欧拉在1765年发表的年发表的三角形的几何学三角形的几何学 一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂
17、心和重心都在同一直线上，而且一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且 外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线这个定理就是著名的欧拉线 定理定理.设设ABC中，点中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项 中结论正确的是中结论正确的是 ( ) AB 解析解析由题意作图，如图所示，易知由题意作图，如图所示，易知BC的中点的中点D与与A，G共线共线. 01121314150708091011020304050616索引 所以所以B选项正确；选项正确； 对于对于C，由题意知，由题意知AG2GD，又，又GH2OG，AGHDGO， 所以所以AGHDGO， 01121314150708091011020304050616索引 所以所以sin cos ， 因为因为是锐角，是锐角， 所以所以45. 45 01121314150708091011020304050616索引 因为点因为点E在线段在线段CD上，上， 因为因为01， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
