1、INNOVATIVE DESIGN 第六章 第1节数列的概念与简单表示法 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.数列的定义数列的定义 按照按照_排列排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列 的的_. 2.数列的分类数列的分类 分类标准分类标准类型类型满足条件满足条件 项数项数 有穷数列有穷数列项数项数 无穷数列无穷数列项数项数 项与项项与项 间的大间的大 小关系小关系 递增数列递增数列an 1 an 其中其中 nN* 递减数列递减数列
2、an 1 an 常数列常数列an 1 an 摆动数列摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小 于它的前一项的数列于它的前一项的数列 有限有限 无限无限 一定次序一定次序 项项 索引 3.数列的通项数列的通项 如果数列的第如果数列的第n项项an与与n之间的关系可以之间的关系可以用用_来来表示，其中表示，其中 f(n)是关于是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一 个通项公式个通项公式. anf(n) 4.数列的递推公式数列的递推公式 如果已知数列的首项如果已知数列的首
3、项(或前几项或前几项)，且数列的，且数列的_或两项以上的关系都或两项以上的关系都 可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或也称为递推公式或 递归公式递归公式). 相邻两项相邻两项 索引 5.数列的前数列的前n项和项和 S1 SnSn1 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列. () (2)1，1，1，1，不能构成一个数列，不能构成一个数列. () (3)任何一个数
4、列不是递增数列，就是递减数列任何一个数列不是递增数列，就是递减数列. () (4)如果数列如果数列an的前的前n项和为项和为Sn，则对任意，则对任意nN*，都有，都有an 1 Sn 1 Sn. () 解析解析(1)数列：数列：1，2，3和数列：和数列：3，2，1是不同的数列是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列数列可以是常数列或摆动数列. 索引 A 分子可表示为分子可表示为15(n1)5n4， 索引 D 解解析析 a21（ （1）2 a1 2，a31（ （1）3 a2 1 2， ， 索引 ABD 索引
5、解析解析由题意，得由题意，得a4S4S332. 索引 6.(2021临沂月考临沂月考)已已知知ann2n，且对于任意的，且对于任意的nN*，数列，数列an是递增数列，是递增数列， 则实数则实数的取值范围是的取值范围是_. 解析解析因为因为an是递增数列，是递增数列， 所以对任意的所以对任意的nN*，都有，都有an 1 an，即，即(n1)2(n1)n2n，整理，整理， 得得2n10，即，即(2n1).(*) 因为因为n1， 所以所以(2n1)3，要使不等式，要使不等式(*)恒成立，只需恒成立，只需3. (3，) 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 角度角度1累加法累加法形如形如an 1 a
6、nf(n)，求求an 【例例1】在在数列数列an中，中，a1100，an 1 an3n(nN*)，则通项公式，则通项公式an _. 解析解析由由an 1 an3n，nN*， 得得a2a13，a3a232，a4a333， anan 1 3n 1(n2). 显然显然a1100也适合上式，也适合上式， 考点一由数列的递推关系求通项 / 多维探究多维探究 索引 所以所以 an an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a3 a2 a2 a1a1 索引 角度角度3构造法构造法形如形如an 1 AanB(A0且且A1，B0)，求求an 【例例3】(2021衡水检测衡水检测)设设数列数列an的
7、前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a11，Sn 1 2Sn1， nN*，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式为_. 解析解析因为因为Sn 1 2Sn1， 所以所以Sn 1 2Sn1. 因此因此Sn 1 12(Sn1)， 因为因为a1S11，S112， 所以所以Sn1是首项为是首项为2，公比为，公比为2的等比数列的等比数列. 所以所以Sn12n，Sn2n1. 当当n2时，时，anSnSn 1 2n 1， ，a11也满足此式，也满足此式， 所以所以an2n 1， ，nN*. an2n 1， ，nN* 索引 1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已
8、知已知 a1，且，且 anan 1f(n)，可用，可用“累加法累加法”求求 an. (2)已知已知 a1(a10)，且，且 an an 1 f(n)，可用，可用“累乘法累乘法”求求 an. 2.已知已知 a1且且 an 1panq(其中其中 p，q 均为常数，均为常数，pq(p1)0).把原递推公式转化为把原递推公式转化为 an 1tp(ant)，其中，其中 t q 1p，再利用换元法转化为等比数列求解 ，再利用换元法转化为等比数列求解. 感悟升华 索引 索引 所以所以an0， 索引 【例例4】 (1)设设数列数列an满足满足a13a2(2n1)an2n，则，则an_. 解析解析因为因为a13
9、a2(2n1)an2n， 故当故当n2时，时，a13a2(2n3)an 1 2(n1). 两式相减得两式相减得(2n1)an2， 又由题设可得又由题设可得a12，满足上式，满足上式， / 师生共研师生共研 考点二由an与Sn的关系求通项 索引 【例例4】 (2)记记Sn为数列为数列an的前的前n项和项和. .若若Sn2an1，则则S6_. 解析解析由由Sn2an1，得，得a12a11， 所以所以a11，S112. 当当n2时，时，Sn2(SnSn 1) 1， 即即Sn12(Sn 1 1)， 所以数列所以数列Sn1是首项为是首项为2，公比为，公比为2的等比数列，的等比数列， 所以所以Sn122n
10、 1，则 ，则Sn122n 1， ， 当当n6时，时，S663. 63 索引 1.由由Sn求求an的步骤的步骤 (1)先利用先利用a1S1求出求出a1. (2)用用n1替换替换Sn中的中的n得到一个新的关系，利用得到一个新的关系，利用anSnSn 1(n2)便可求出当 便可求出当 n2时时an的表达式的表达式. (3)注意检验注意检验n1时的表达式是否可以与时的表达式是否可以与n2的表达式合并的表达式合并. 2.Sn与与an关系问题的解题思路关系问题的解题思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化， (1)由由anSnSn 1(
11、n2)转化为只含 转化为只含Sn，Sn 1的关系式求解； 的关系式求解；(2)转化为只含转化为只含an，an 1(n2)的关系式 的关系式. 感悟升华 索引 【训练训练2】 (1)已已知数列知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且满足，且满足Snan2，则，则S5_. 解析解析由由Snan2，得，得2SnSn 1 2(n2). 2(Sn2)Sn 1 2 又又S1a12， S11，则，则S1210. 索引 所以所以2Sn 1 nan 1(n 2)， 所以所以2Sn2Sn 1 (n1)annan 1(n 2)， 所以所以2an(n1)annan 1(n 2)， 即即(n1)annan 1(n 2)
12、， ann 因此因此ann. 索引 考点三数列的性质 / 师生共研师生共研 2 显然该数列中的数从显然该数列中的数从a5开始循环，周期是开始循环，周期是4. 因此因此a1a2a3a41，且，且a2 021a12. 故故a1a2a3a4a2 020a2 021(a1a2a3a4)505a2 0212. 索引 BCD 解析解析因为因为an 1 2anbn，bn 1 an2bnln ， 当当n1时，时，a2b2a1b1ln 2， 则则an 1 bn 1 ln(n1)3(anbnln n)， 索引 所以所以anbnln n是首项为是首项为a1b1，公比为，公比为3的等比数列，的等比数列， 所以所以an
13、bn(a1b1)3n 1 ln n. 因为因为a1b10， 所以数列所以数列anbn单调递增，则单调递增，则B正确正确. 因为因为an 1 2anbnanln n(a1b1)3n 1， ， 所以所以an 1 anln n(a1b1)3n 10，则 ，则C正确正确. 所以所以bn 1 bnln(n1)2ln n(a1b1)3n 1. 根据指数函数和对数函数的性质，可知数列根据指数函数和对数函数的性质，可知数列bn从某一项以后单调递增，从某一项以后单调递增， 则则D正确正确.故选故选BCD. 索引 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性
14、. 2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用 周期性求值周期性求值.(2)数列的单调性只需判定数列的单调性只需判定an与与an 1的大小，常用作差或作商法进行 的大小，常用作差或作商法进行 判断判断. 感悟升华 索引 因此因此a2 021a3 6732 a22. D 索引 AB 即即6n7，所以最大项为第，所以最大项为第6项和第项和第7项项. 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 C 011213140708091011
15、0203040506索引 A 0112131407080910110203040506索引 所以所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2， a4a3ln 4ln 3， anan 1 ln nln(n1)(n2). 把以上各式分别相加得把以上各式分别相加得ana1ln nln 1， 则则an2ln n(n2)，且，且a12也适合，也适合， 因此因此an2ln n(nN*). A 解析解析 因为因为 an 1anln n1 n ln(n1)ln n， 0112131407080910110203040506索引 解析解析因为数列因为数列an是递增数列，是递增数列， 又又t2a3t3a
16、n(tan3)(tan)0， tan0， 所以所以tan3恒成立，恒成立， t(an3)mina133， 所以所以tmax3. C 0112131407080910110203040506索引 5.(2021潍坊质检潍坊质检)意意大利数学家列昂那多大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔兔 子数列子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，即F(1)F(2)1，F(n) F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此数列在现代物理，此数列在现代物理“准晶体结构准晶体结构”、化学、化学 等领域都有着广泛的应用等领域都有着广泛的应用.若此数列被若此
17、数列被2整除后的余数构成一个新数列整除后的余数构成一个新数列an，则，则 数列数列an的前的前2 022项的和为项的和为 () A.674 B.673 C.1 348 D.2 020 解析解析由数列由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以各项除以2的余数，的余数， 可得可得an为为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0， 所以所以an是周期为是周期为3的数列，的数列， 一个周期中三项和为一个周期中三项和为1102， 又又2 0226743， 所以数列所以数列an的前的前2 022项的和项的和S2 02267421 348. C 011213140708091011
18、0203040506索引 AD an的最大项为的最大项为a10. 0112131407080910110203040506索引 a2 2 3 21 2 3 21 1 2 3 2 3 1 2 9， ， 当当n3时，时，an 1 an0； 当当n3时，时，an 1 an0， 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填空题 7.根根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an _. 解析解析由由a11514，a26524，a311534， 归纳归纳an5n4. 5n4 0112131407080910110203040506索引 5 当当n6时，时，ana1. 综上，综上，a的取值范围是的取值范围是9，3)(3，). INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
