1、INNOVATIVE DESIGN 微课三含有微课三含有ex与与ln x的组合函数或不等式问题的组合函数或不等式问题 题型分类突破 题型跟踪训练 内 容 索 引 1 2 / / 题型分类突破 1 索引 索引 再令再令(x)exex，则，则(x)eex， 易知易知 (x)在在(0，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减， 则则 (x)max (1)0， 所以所以exex0. 因为因为h(x)与与(x)不同时为不同时为0， 索引 感悟升华 索引 索引 因为因为x1，所以，所以(x)0，所以，所以(x)在在(1，)上是增函数，上是增函数， 所以所以(x) (1)10，所以，所
2、以g(x)0， 所以所以g(x)在在(1，)上是增函数，上是增函数， 所以所以x1时，时，g(x)g(1)2， 所以所以1ex0，所以，所以h(x)0)进行放缩进行放缩 【例例2】已已知函数知函数f(x)x1aln x. (1)若若f(x)0，求，求a的值；的值； 解解f(x)的定义域为的定义域为(0，)， 当当x(0，a)时，时，f(x)0； 所以所以f(x)在在(0，a)单调递减，在单调递减，在(a，)单调递增，单调递增， 故故xa是是f(x)在在(0，)的唯一最小值点的唯一最小值点. 因为因为f(1)0，所以当且仅当，所以当且仅当a1时，时，f(x)0，故，故a1. 索引 解解由由(1)
3、知当知当x(1，)时，时，x1ln x0， 即即ln x1ln x(x0，且，且x1)进行放缩，优化了解题过程进行放缩，优化了解题过程. 若利用若利用ex替换替换x，可进一步得到不等式，可进一步得到不等式exx1(当当x0时取等号时取等号). 感悟升华 索引 【训练训练2】已已知函数知函数f(x)exa. (1)若函数若函数f(x)的图像与直线的图像与直线l：yx1相切，求相切，求a的值；的值； 解解f(x)ex，因为函数，因为函数f(x)的图像与直线的图像与直线yx1相切，相切， 所以令所以令f(x)1，即，即ex1，得，得x0， 切点坐标为切点坐标为(0，1)，则，则f(0)1a1， a2
4、. 索引 【训练训练2】已已知函数知函数f(x)exa. (2)若若f(x)ln x0恒成立，求整数恒成立，求整数a的最大值的最大值. 解解先证明先证明exx1，设，设F(x)exx1， 则则F(x)ex1，令，令F(x)0，则，则x0， 当当x(0，)时，时，F(x)0； 当当x(，0)时，时，F(x)ln x. 当当a2时，时，ln x0恒成立恒成立. 当当a3时，存在时，存在x，使，使exaln x不恒成立不恒成立. 综上，整数综上，整数a的最大值为的最大值为2. 题型跟踪训练 2 010203040506索引 解析解析f(x)ex 1 ax(a1)0恒成立，恒成立， 即即ex 1ax
5、(a1)恒成立，恒成立， 由于：由于：exx1，即，即ex 1x， ， 只需要只需要xax(a1)，即，即(a1)(x1)0恒成立，恒成立， 所以所以a1. A 010203040506索引 2.已知函数已知函数f(x)axln x1，对任意的，对任意的x0，f(x)xe2x恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值的取值 范围范围. 先证明先证明exx1，当且仅当，当且仅当x0时取等号时取等号(证明略证明略). 所以当所以当x0时，有时，有xe2xeln xe2xeln x 2x ln x2x1， 所以实数所以实数a的取值范围为的取值范围为(，2. 010203040506索引 3.已知已知f(x
6、)ex，g(x)x1(e为自然对数的底数为自然对数的底数). (1)求证：求证：f(x)g(x)恒成立；恒成立； 证明证明令令h(x)f(x)g(x)exx1，则，则h(x)ex1， 当当x(，0)时，时，h(x)0，当，当x(0，)时，时，h(x)0， 故故h(x)在在(，0)上单调递减，在上单调递减，在(0，)上单调递增，上单调递增， 所以所以h(x)minh(0)0，即，即h(x)0恒成立，恒成立， 所以所以f(x)g(x)恒成立恒成立. 010203040506索引 所以所以m的最小值为的最小值为2(mN*). 010203040506索引 x0， 即证即证xln xaxe x， ，
7、即证即证(xln xa)min(xe x)max. 令令h(x)xln xa，则，则h(x)ln x1. 010203040506索引 令令(x)xe x，则 ，则(x)e x xe x e x(1 x). 当当0 x0；当；当x1时，时，(x)0. 函数函数(x)在在(0，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减， 显然，不等式显然，不等式中的等号不能同时成立，中的等号不能同时成立， 010203040506索引 010203040506索引 所以当所以当0 x0； 当当x1时，时，g(x)2时，有时，有ln(x1)0， 所以要证所以要证f(x)2，所以，所以h(x)0恒成立，恒成立， 所以所以h(x)在在(2，)上单调递增，上单调递增， 所以所以h(x)h(2)e240， 所以当所以当x2时，时，f(x)0得得1x0. 当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表. x(1，0)0(0，) f(x)0 f(x)极大值极大值 010203040506索引 所以所以f(x)f(0)0，即，即ln(x1)x2x(当且仅当当且仅当x0时取等号时取等号). INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
