1、INNOVATIVE DESIGN 第八章 第7节抛物线及其方程 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内内 容容 索索 引引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1抛物线的定义抛物线的定义 一般地，设一般地，设F F是平面内的一个定点，是平面内的一个定点，l l是不过点是不过点F F的一条定直线，则平面上的一条定直线，则平面上 到到F F的距离与到的距离与到l l的距离的距离_的点的轨迹称为抛物线，其中定点的点的轨迹称为抛物线，其中定点F F称为抛称为抛 物线的物线的_，定直线，定直线l l称为抛物线的称为抛物线的_. . 相等相等 焦点焦点准线
2、准线 索引 2抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质 索引 索引 诊断自测 / 索引 索引 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 () (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切 () (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径，那么抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为的通径长为2a. () 索引 AC 索引 3抛物线抛物线y28x上到其焦点上到其焦点F
3、距离为距离为5的点的个数为的点的个数为_ 解析解析设设P(x1，y1)， 2 索引 C 索引 5.(2020北京卷北京卷)设抛物线的顶点为设抛物线的顶点为O，焦点为，焦点为F，准线为，准线为l，P是抛物线上异于是抛物线上异于O的的 一点，过一点，过P作作PQl于于Q.则线段则线段FQ的垂直平分线的垂直平分线() A.经过点经过点O B.经过点经过点PC.平行于直线平行于直线OP D.垂直于直线垂直于直线OP B 索引 索引 6(2021昆明诊断昆明诊断)已知抛物已知抛物线方程为线方程为y28x，若过点，若过点Q(2，0)的直线的直线l与抛物与抛物 线有公共点，则直线线有公共点，则直线l的斜率的
4、取值范围是的斜率的取值范围是_ 解析解析由题意知，直线由题意知，直线l的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线l的方程为的方程为yk(x2)，代入抛物，代入抛物 线方程，消去线方程，消去y整理得整理得k2x2(4k28)x4k20，当，当k0时，显然满足题意；时，显然满足题意； 当当k0时，时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得，解得1k0或或0k1，因，因 此此k的取值范围是的取值范围是1，1 1，1 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点与坐标轴的交点 的抛物线的标准方程为
5、的抛物线的标准方程为 () Ax212y或或y216xBx212y或或y216x Cx29y或或y212xDx29y或或y212x 考点一抛物线的定义及标准方程 / 自主演练自主演练 A 解析解析对于直线方程对于直线方程3x4y120， 令令x0，得，得y3；令；令y0，得，得x4， 所以抛物线的焦点为所以抛物线的焦点为(0，3)或或(4，0) 当焦点为当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为时，设抛物线方程为x22py(p0)， 索引 当焦点为当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为时，设抛物线方程为y22px(p0)， 索引 ABC 解析解析如图，分别过点如图，分别过点A，B作抛物线作抛物线C的准
6、线的垂线，垂足分别为点的准线的垂线，垂足分别为点E，M， 连接连接EF.设抛物线设抛物线C的准线交的准线交x轴于点轴于点P， 索引 则则AEF为等边三角形，为等边三角形， PEF30， |AF|EF|2|PF|2p8，得，得p4，A正确正确 |AE|2|PF|，PFAE， F为为AD的中点，的中点， 又又DAE60， ADE30， |BD|2|BM|2|BF|，C正确正确 索引 3动圆过点动圆过点(1，0)，且与直线，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _ 解析解析设动圆的圆心坐标为设动圆的圆心坐标为(x，y)， 则圆心到点则圆心到点(1，0)的距离与到直
7、线的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知的距离相等，根据抛物线的定义易知 动圆的圆心的轨迹方程为动圆的圆心的轨迹方程为y24x. y24x 索引 感悟升华 索引 考点二抛物线的几何性质 / 师生共研师生共研 B 索引 BCD 解解 由题意，以由题意，以F为圆心，为圆心，|FA|为半径的圆交为半径的圆交l于于B，D两点，若两点，若ABD90， 由抛物线定义，可得由抛物线定义，可得|AB|AF|BF|， 所以所以ABF是等边三角形，是等边三角形， 所以所以FBD30， 索引 所以所以|BF|6，又焦点，又焦点F到准线的距离为到准线的距离为p|BF|sin303， 则抛物线方程为则抛物线
8、方程为y26x， 则则B，C，D正确，正确，A错误错误 故选故选BCD. 索引 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点 来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 感悟升华 索引 A 作作AEl于点于点E，BGl于点于点G，过点，过点A作作ADBG于点于点D，交，交y轴于点轴于点H，设，设|AF| x， 则则|BF|3x. 由抛物线的定义，知由抛物线的定义，知|AE|AF|x，|BG|BF|3x，|AB|x3x4x，|BD| 3xx2x，|
9、FH|px. 索引 索引 【例例2】点点P为抛物线为抛物线y24x上的动点，点上的动点，点A(2，1)为平面内定点，为平面内定点，F为抛物线焦点，为抛物线焦点， 则：则： (1)|PA|PF|的最小值为的最小值为_； 解析解析如图如图1，由抛物线定义可知，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|PA|PH|，从而，从而 最小值为最小值为A到准线的距离为到准线的距离为3. 考点三与抛物线有关的最值问题 / 多维探究多维探究 角度角度1到焦点与定点距离之和到焦点与定点距离之和(差差)的最值问题的最值问题 3 索引 【例例2】(2)|PA|PF|的最的最小值为小值为_，最大值为，最大值为_
10、索引 1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化 为到准线的距离，再结合图形解决问题为到准线的距离，再结合图形解决问题 2到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值 感悟升华 索引 【例例3】设设P是抛物线是抛物线y24x上的一个动点，则点上的一个动点，则点P到点到点A(1，1)的距离与点的距离与点P到到 直线直线x1的距离之和的最小值为的距离之和的最小值为_ 角度角度2到点与准线的距离之和的最值问题到点与准线的距离之和的最值问题
11、索引 解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化 为到焦点的距离，再构造出为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短两点之间线段最短”，使问题得解，使问题得解 感悟升华 索引 角度角度3动弦中点到坐标轴距离的最短问题动弦中点到坐标轴距离的最短问题 D 索引 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根 据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解据
12、三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解 感悟升华 索引 【例例5】已知抛物线已知抛物线y24x，过焦点，过焦点F的直线与抛物线交于的直线与抛物线交于A，B两点，过两点，过A，B分分 别作别作y轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为C，D，则，则|AC|BD|的最小值为的最小值为_ 解析解析由题意知由题意知F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即，即|AC| |BD|取得最小值时当且仅当取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知，当取得最小值依抛物线定义知，当|AB|为通径，为通径， 即即|AB|2p4时为最小值，时为最小值， 所以所以|AC|BD|的最小值为的最小
13、值为2. 角度角度4焦点弦中的距离之和的最小问题焦点弦中的距离之和的最小问题 2 索引 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物 线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用 通径最短求最值通径最短求最值 感悟升华 索引 【例例6】抛抛物线物线y4x2上一点到直线上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是的距离最短，则该点的坐标是 _ 解析解析法一法一设与设与y4x5平行的直线平行的直线y4xb与与y4x
14、2相切，将相切，将y4xb代代 入入y4x2，得，得4x24xb0. 角度角度5到定直线的距离的最小问题到定直线的距离的最小问题 索引 索引 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单 变量设点利用函数思想求最值变量设点利用函数思想求最值 感悟升华 索引 A 解析解析如图，如图， y24x， p2，焦点坐标为，焦点坐标为(1，0)依题意可知当依题意可知当A，P及及P到准线的垂足三点到准线的垂足三点 共线时，点共线时，点P与点与点F、点、点P与点与点A的距离之和最小，的距离之和最小， 索引 【训练训练2
15、】 (2)(2021河南六市一模河南六市一模)已知已知点点M是抛物线是抛物线x24y上的一动点，上的一动点，F为抛为抛 物线的焦点，物线的焦点，A是圆是圆C：(x1)2(y4)21上一动点，则上一动点，则|MA|MF|的最小值的最小值 为为 () A3 B4 C5 D6 解析解析 作作MP垂直于抛物线的准线，垂足为垂直于抛物线的准线，垂足为P，利用抛物线的定义知，利用抛物线的定义知|MP|MF|， 当当M、A、P、C四点共线时，四点共线时，|MA|MF|的值最小，的值最小， 此时此时CMx轴，轴， 则则(|MA|MF|)min|CP|1514. B 索引 考点四直线与抛物线的综合问题 / 师生
16、共研师生共研 索引 索引 索引 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到 根与系数的关系根与系数的关系 2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线 的焦点，可直接使用公式的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公，若不过焦点，则必须用一般弦长公 式式 3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根
17、与系数的关系采用 “设而不求设而不求”、“整体代入整体代入”等解法等解法 提醒提醒涉及弦的中点、斜率时一般用涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法点差法”求解求解 感悟升华 索引 【训练训练3】(2021汉中模拟汉中模拟)已知点已知点M为直线为直线l1：x1上的动点，上的动点，N(1，0)，过，过M 作直线作直线l1的垂线的垂线l，l交交MN的中垂线于点的中垂线于点P，记点，记点P的轨迹为的轨迹为C. (1)求曲线求曲线C的方程；的方程； 解解由已知可得，由已知可得，|PN|PM|， 即点即点P到定点到定点N的距离等于它到直线的距离等于它到直线l1的距离，的距离， 故点故点P的轨迹是以的轨迹是以N
18、为焦点，为焦点，l1为准线的抛物线，为准线的抛物线， 曲线曲线C的方程为的方程为y24x. 索引 【训练训练3】 (2)若直若直线线l2：ykxm(k0)与圆与圆E：(x3)2y26相切于点相切于点D，与曲，与曲 线线C交于交于A，B两点，且两点，且D为线段为线段AB的中点，求直线的中点，求直线l2的方程的方程 解解设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 索引 索引 抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解 题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：题时可迅速打开思路，抛物
19、线焦点弦的常见结论如下： 设设AB是过抛物线是过抛物线y22px(p0)焦点焦点F的弦，若的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 抛物线的几个抛物线的几个“二级结论二级结论”的应用的应用 索引 B 通法通法易知直线易知直线l的斜率存在，设为的斜率存在，设为k， 则其方程为则其方程为 yk(x1) 得得xAxB1， 因为因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得，由抛物线的定义得xA12(xB1)， 即即xA2xB1， 索引 优解优解法一法一由对称性不妨设点由对称性不妨设点A在在x轴的上方，如图，设轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影在准线上的射影 分别为分别为D，C，作，作BEAD
20、于于E， 设设|BF|m，直线，直线l的倾斜角为的倾斜角为， 则则|AB|3m， 由抛物线的定义知由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 索引 索引 【例例2】设设F为抛物线为抛物线C：y23x的焦点，过的焦点，过F且倾斜角为且倾斜角为30的直线交的直线交C于于A，B 两点，两点，O为坐标原点，则为坐标原点，则OAB的面积为的面积为 ()D 索引 索引 【例例3】如图如图，过抛物线，过抛物线y22px(p0)的焦点的焦点F的直线交抛物线于点的直线交抛物线于点A，B，交其准，交其准 线线l于点于点C，若，若F是是AC的中点，且的中点，且|AF|4，则线段，则线段AB的长为的长为
21、 () C 通法通法 如图，设如图，设l与与x轴交于点轴交于点M，过点，过点A作作ADl交交l于点于点D，由抛物线的定义知，由抛物线的定义知， |AD|AF|4，由，由F是是AC的中点，知的中点，知|AD|2|MF|2p， 所以所以2p4，解得，解得p2，所以抛物线的方程为，所以抛物线的方程为y24x. 设设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 索引 索引 索引 解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核 心素养心素养 思维升华 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 索引0112131
22、407080910110203040506 D 索引0112131407080910110203040506 D 索引0112131407080910110203040506 3(2021衡水调研衡水调研)若抛物若抛物线线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距上一点到焦点和到抛物线对称轴的距 离分别为离分别为10和和6，则抛物线的方程为，则抛物线的方程为 () Ay24xBy236x Cy24x或或y236xDy28x或或y232x C 解析解析因为抛物线因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为上一点到抛物线的对称轴的距离为6， 所以若设该点为所以若设该点为P，
23、则则P(x0，6) 索引0112131407080910110203040506 4(2020江西省五校协作体联考江西省五校协作体联考)过抛物线过抛物线C：y22px(p0)的焦点的焦点F且倾斜角为且倾斜角为 锐角的直线锐角的直线l与与C交于交于A，B两点，过线段两点，过线段AB的中点的中点N且垂直于且垂直于l的直线与的直线与C的准的准 线相交于点线相交于点M，若，若|MN|AB|，则直线，则直线l的倾斜角为的倾斜角为 () A15 B30 C45 D60 B 索引0112131407080910110203040506 所以所以MNN60，即直线，即直线MN的倾斜角为的倾斜角为120，又直线
24、，又直线MN与直线与直线l垂直且直垂直且直 线线l的倾斜角为锐角，的倾斜角为锐角， 所以直线所以直线l的倾斜角为的倾斜角为30. 故选故选B. 索引0112131407080910110203040506 B 解析解析由题可知由题可知l2：x1是抛物线是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为的准线，设抛物线的焦点为F(1， 0)， 则动点则动点P到到l2的距离等于的距离等于|PF|， 则动点则动点P到直线到直线l1和直线和直线l2的距离之和的最小值，即焦点的距离之和的最小值，即焦点F到直线到直线l1：4x3y 60的距离，的距离， 索引0112131407080910110203040506
25、ACD 解析解析如图，不妨设点如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线位于第一象限，设抛物线的准线l与与x轴交于点轴交于点F， 作作MBl于点于点B，NAl于点于点A. 由抛物线的解析式可得准线方程为由抛物线的解析式可得准线方程为x4，F点的坐标为点的坐标为(4，0)， A正确，正确，B错误错误 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 解析解析由题意得，由题意得， 抛物线焦点为抛物线焦点为F(1，0)， 索引0112131407080910110203040506 8如图是抛物线形拱桥，当水面在如图是抛物线
26、形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面时，拱顶离水面2米，水面宽米，水面宽4米水位下米水位下 降降1米后，水面宽米后，水面宽_米米 解析解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0) 由题意将点由题意将点A(2，2)代入代入x22py，得，得p1， 索引0112131407080910110203040506 3 索引0112131407080910110203040506 三、解答题三、解答题 10如图所示如图所示，抛物线关于，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，轴对称，它的顶点在坐标原点， 点点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2
27、)均在抛物线上均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；写出该抛物线的方程及其准线方程； 解解由已知条件，可设抛物线的方程为由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0) 点点P(1，2)在抛物线上，在抛物线上， 222p1，解得，解得p2. 故所求抛物线的方程是故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是，准线方程是x1. 索引0112131407080910110203040506 10如图所示如图所示，抛物线关于，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1， y1)，B(x2，y2)均在抛物线上均在抛物线上 (2)当当PA与与
28、PB的斜率存在且倾斜角互补时，的斜率存在且倾斜角互补时， 求求y1y2的值及直线的值及直线AB的斜率的斜率 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 11(2020安徽六校联考安徽六校联考)已知抛已知抛物线物线C：y24x的焦点为的焦点为F，点，点A(a，3)，点，点P为为 抛物线抛物线C上的动点上的动点 (1)若若|PA|PF|的最小值为的最小值为5，求实数，求实数a的值；的值； 索引0112131407080910110203040506 11(2020安徽六校联考安徽六校联考)已知抛已知抛物线物线C：y24
29、x的焦点为的焦点为F，点，点A(a，3)，点，点P为为 抛物线抛物线C上的动点上的动点 (2)设线段设线段OP的中点为的中点为M，其中，其中O为坐标原点，若为坐标原点，若MOAMAOAOF， 求求OPA的面积的面积 解解因为因为MOAMAOAOF， 所以所以MAx轴且轴且|MO|MA|MP|，设，设M(t，3)， B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 12(2020河南名校联考河南名校联考)抛物抛物线线y22px(p0)的焦点为的焦点为F，半径为，半径为3的圆的圆C过点过点O， F，且与抛物线的准线，且与抛物线的准线l相切，则相切，则p的值为的值为
30、() A1 B2 C4 D8 解析解析设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(yb)29. 半径为半径为3的圆的圆C过点过点O、F，且与抛物线的准线，且与抛物线的准线l相切，相切， C 索引0112131407080910110203040506 13(多选题多选题)(2021青岛质检青岛质检)设设F是抛物线是抛物线C：y24x的焦点，直线的焦点，直线l过点过点F，且，且 与抛物线与抛物线C交于交于A，B两点，两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是为坐标原点，则下列结论正确的是 ( ) A|AB|4 B|OA|OB|8 C若点若点P(2，2)，则，则|PA|AF|的最小值是的最小值是3 DOAB面
31、积的最小值是面积的最小值是2 解析解析由题意知由题意知F(1，0)，不妨设，不妨设A在第一象限，在第一象限， (1)若直线若直线l无斜率，则无斜率，则A(1，2)，B(1，2)， ACD (2)若直线若直线l存在斜率，设直线存在斜率，设直线l的斜率为的斜率为k， 则直线则直线l的方程为的方程为yk(x1)，显然，显然k0， 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 索引0112131407080910110203040506 INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
