1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第6节对数与对数函数 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.对数的概念对数的概念 在表达式在表达式abN(a0且且a1，N(0，)中，当中，当a与与N确定之后，只有唯一的确定之后，只有唯一的 b能满足这个式子，此时，幂指数能满足这个式子，此时，幂指数b称为以称为以a为底为底N的对数，记作的对数，记作b _，其中，其中a称为对数的称为对数的_，N称为对数的称为对数的_. logloga aN N 底数底数真数真数 索引 2.对数的性质、运算性质与换底公
2、式对数的性质、运算性质与换底公式 N logaMlogaN logaM logaMlogaN 索引 3.对数函数及其性质对数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数概念：一般地，函数ylogax称为对数函数，其中称为对数函数，其中a是常数，是常数，a0且且a1. (2)对数函数的图像与性质对数函数的图像与性质 a10a0 y0 y0，且，且a1)与对数函数与对数函数ylogax(a0，且，且a1)互为反函互为反函 数，它们的图像关于直线数，它们的图像关于直线yx对称对称. 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)log2x22lo
3、g2x. () (2)函数函数ylog2(x1)是对数函数是对数函数. () (4)当当x1时，若时，若logaxlogbx，则，则ab. () 解析解析(1)log2x22log2|x|，故，故(1)错误错误. (2)形如形如ylogax(a0，且，且a1)为对数函数，故为对数函数，故(2)错误错误. (4)若若0b10，且，且a1)的图像恒过的定点是的图像恒过的定点是_. 解析解析当当x2时，函数时，函数yloga(x1)2(a0，且，且a1)的值为的值为2， 所以图像恒过定点所以图像恒过定点(2，2). (2，2) 索引 解析解析法一法一因为因为alog342， 所以所以log34a2，
4、则，则4a329， 法二法二因为因为alog342， B 所以所以a 2 log34 2log43log432log49， 索引 5.(2019天津卷天津卷)已知已知alog27，blog38，c0.30.2，则，则a，b，c的大小关系为的大小关系为 () A.cba B.abc C.bca D.cab 解析解析显然显然c0.30.2(0，1). 因为因为log33log38log39， 所以所以1blog242， 所以所以a2. 故故cbb1，解得，解得b2，a4. 4.已知已知ab1，若，若logablogba5 2， ，abba，则，则a_，b_. 42 索引 1.在对数运算中，先利用幂
5、的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的 形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则， 转化为同底对数真数的积、商、幂再运算转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.abNblogaN(a0，且，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运 算中应注意互化算中应注意互化. 感悟升华 索引
6、 考点二对数函数的图像及应用 / 师生共研师生共研 D 索引 索引 解析解析如图，在同一坐标系中分别作出如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与与 yxa的图像，其中的图像，其中a表示直线表示直线yxa在在 y轴上的截距轴上的截距. 由图可知，当由图可知，当a1时，直线时，直线yxa与与yf(x)只只 有一个交点有一个交点. (1，) 索引 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐与坐 标轴的交点、最高点、最低点等标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项排除不符合要求的选项. 2.一些对数型
7、方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合 法求解法求解. 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)(多选题多选题)函函数数yloga(xc)(a，c为常数，为常数， 其中其中a0，a1)的图像如图所示，则下列结论成立的是的图像如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A.a1 B.0c1 C.0a1 D.c1 解析解析由图像可知函数为减函数，由图像可知函数为减函数， 所以所以0a1， 令令y0得得loga(xc)0， xc1，x1c.由图像知由图像知01c1， 0c1. BC 索引 【训练训练1】(2)(2021西安调
8、研西安调研)设设x1，x2，x3均为实数，且均为实数，且e x1 ln x1， e x2 ln(x21)，e x3 lg x3，则，则 () A.x1x2x3 B.x1x3x2 C.x2x3x1D.x2x1x3 D 由图像直观性，知由图像直观性，知x2x1x3. 索引 考点三解决与对数函数性质有关的问题 / 多维探究多维探究 A 解析解析3log32log382， acb.故选故选A. 索引 B a2f(1)， B 索引 解解若函数若函数f(x)是是R上的奇函数，则上的奇函数，则f(0)0， log2(1a)0， a0. 当当a0时，时，f(x)x是是R上的奇函数上的奇函数. 所以所以a0.
9、索引 故只要故只要a0，则，则a的取值范围是的取值范围是0，). 索引 则则log2(1a)log2(4a2). 1 a4a2， 4a20， 解得解得1 2logag(x)的不等式，主要是应用函数的单的不等式，主要是应用函数的单 调性求解，如果调性求解，如果a的取值不确定，需要分的取值不确定，需要分a1与与0a1两种情况讨论两种情况讨论. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定 义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合的大小
10、关系；三是复合 函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 感悟升华 索引 【训练训练2】 (1)已已知知alog23log2，blog29log2，clog32，则，则a，b，c的大小的大小 关系是关系是 () A.abcC.abbc B 所以所以abc. 索引 【训练训练2】 (2)已已知函数知函数f(x)loga(8ax)(a0，且，且a1)，若，若f(x)1在区间在区间1，2上上 恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是_. 解析解析当当a1时，时，f(x)loga(8ax)在在1，2上是减函数，上是减函数， 由由f(x
11、)1在区间在区间1，2上恒成立，上恒成立， 则则f(x)minf(2)loga(82a)1， 即即82aa，且，且82a0， 索引 当当0a1在区间在区间1，2上恒成立，上恒成立， 知知f(x)minf(1)loga(8a)1，且，且82a0. 8a0，此时解集为，此时解集为 . 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 一、选择题一、选择题 1.设设alog0.20.3，blog20.3，则，则 () A.abab0 B.abab0 C.ab0abD.ab00，b0，故故abab0， 所以， 所以 a1， 011213
12、1407080910110203040506索引 AC 0112131407080910110203040506索引 因为因为 所以所以，故，故B错误；错误； 因为因为 所以所以 故故C正确；正确； 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填空题 7.若若log43mlog23，则，则log m_. log m2. 2 0112131407080910110203040506索引 8.(2021济南检测济南检测)已已知函数知函数yloga(2x3)2(a0且且a1)的图像恒过定点的图像恒过定点A，若，若 点点A也在函数也在函数f(x)3xb的图像上，则的图像
13、上，则b_. 解析解析令令2x31，得，得x2， 定点为定点为A(2，2)，将定点，将定点A的坐标代入函数的坐标代入函数f(x)中，中， 得得232b，解得，解得b7. 7 0112131407080910110203040506索引 当当 a1 时，函数时，函数 f(x)在区间在区间 1 2， ，2 3 上是增函数，上是增函数， 所以所以loga(1a)0，即，即1a1，解得，解得a0，且，且a1). (1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式； 解解当当x0， 由题意知由题意知f(x)loga(x1)， 又又f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，上的偶函数， 所以所以f(x)f(x).
14、所以当所以当x0，且，且a1). (2)若若1f(1)1，求实数，求实数a的取值范围的取值范围. 解解因为因为1f(1)1，所以，所以1loga21， 所以所以 loga1 aloga2logaa. 0112131407080910110203040506索引 所以所以f(x)f(x)， 所以函数的定义域为所以函数的定义域为x|x1. 0112131407080910110203040506索引 解解f(x)log2(x1)log2(1x)， 当当x1时，时，x12， 所以所以log2(1x)log221. 因为因为x(1，)时，时，f(x)log2(x1)m恒成立，恒成立， 所以所以m1，
15、所以所以m的取值范围是的取值范围是(，1. B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 12.(2021重庆调研重庆调研)设设函数函数f(x)的定义域为的定义域为D，若满足：，若满足：f(x)在在D内是单调增函数；内是单调增函数； 存在存在m，nD(nm)，使得，使得f(x)在在m，n上的值域为上的值域为m，n，那么就称，那么就称 yf(x)是定义域为是定义域为D的的“成功函数成功函数”.若函数若函数g(x)loga(a2xt)(a0且且a1)是定义是定义 域为域为R的的“成功函数成功函数”，则，则t的取值范围是的取值范围是 () 解析解析因为因为g(x)
16、loga(a2xt)是定义在是定义在R上的上的“成功函数成功函数”， 所以所以g(x)为增函数，且为增函数，且g(x)在在m，n上的值域为上的值域为m，n， 故故g(m)m，g(n)n， 即即g(x)x有两个不相同的实数根有两个不相同的实数根. A 0112131407080910110203040506索引 又又loga(a2xt)x，即，即a2xaxt0. 令令sax，s0， 即即s2st0有两个不同的正数根，有两个不同的正数根， 0112131407080910110203040506索引 13.(多选题多选题)(2021长沙调研长沙调研)关关于函数于函数f(x)ln(1x)ln(3x)
17、，下列结论正确，下列结论正确 的是的是 ( ) A.f(x)在在(1，3)上单调递增上单调递增 B.f(x)的图像关于直线的图像关于直线x1对称对称 C.f(x)的图像关于点的图像关于点(1，0)对称对称 D.f(x)的值域为的值域为R 所以所以t(x)t(1)0， 所以所以f(x)ln t(x)在在(1，3)上单调递增，上单调递增， 且值域为且值域为R.故故A，D正确正确. ACD 0112131407080910110203040506索引 所以所以f(1x)f(1x)，f(1x)f(1x). 所以所以f(x)的图像关于点的图像关于点(1，0)对称对称. 故故B错误，错误，C正确正确.故选
18、故选ACD. 0112131407080910110203040506索引 14.已知函数已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x. (1)当当x1，4时，求函数时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；的值域； 解解h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2. 因为因为x1，4， 所以所以log2x0，2， 故函数故函数h(x)的值域为的值域为0，2. 0112131407080910110203040506索引 得得(34log2x)(3log2x)klog2x， 令令tlog2x，因为，因为x1，4， 所以所以tlog2x0，2， 所以所以(34t)(3t)kt对一切对一切t0，2恒成立，恒成立， 当当t0时，时，kR； 0112131407080910110203040506索引 所以所以k3. 综上，实数综上，实数k的取值范围为的取值范围为(，3). INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
