1、INNOVATIVE DESIGN 教材教材高考高考审题答题审题答题 数列热点问题 内 容 索 引 三年真题考情 教材链接高考 教你如何审题 / 1 2 3 / / 满分答题示范 热点跟踪训练 / 4 5 / 三年真题考情 1 索引 核心热点核心热点真题印证真题印证核心素养核心素养 等比等比(差差)数列的判数列的判 定与证明定与证明 2019全国全国卷，卷，19；2018全国全国卷，卷，17； 2017全国全国卷，卷，17 逻辑推理、数学逻辑推理、数学 运算运算 通项与求和通项与求和 2020新高考山东，新高考山东，18；2020全国全国卷，卷， 17；2020全国全国卷，卷，17；2018全
2、国全国卷，卷， 17 数学运算、数学数学运算、数学 建模建模 等差与等比数列等差与等比数列 的综合问题的综合问题 2020全国全国卷，卷，17；2020天津，天津，19； 2020浙江，浙江，20；2019全国全国卷，卷，18； 2019全国全国卷，卷，18；2018全国全国卷，卷，17 数学运算、逻辑数学运算、逻辑 推理推理 教材链接高考 2 索引 索引 索引 索引 【链接高考链接高考】(2019全国全国卷卷)已已知数列知数列an和和bn满足满足a11，b10，4an 1 3anbn4，4bn 1 3bnan4. (1)证明：证明：anbn是等比数列，是等比数列，anbn是等差数列；是等差数
3、列； 证明证明由题设得由题设得4(an 1 bn 1) 2(anbn)， 由题设得由题设得4(an 1 bn 1) 4(anbn)8， 即即an 1 bn 1 anbn2. 又因为又因为a1b11， 所以所以anbn是首项为是首项为1，公差为，公差为2的等差数列的等差数列. 索引 【链接高考链接高考】(2019全国全国卷卷)已已知数列知数列an和和bn满足满足a11，b10，4an 1 3anbn4，4bn 1 3bnan4. (2)求求an和和bn的通项公式的通项公式. 解解 由由(1)知，知，anbn 1 2n 1，anbn2n1， 教你如何审题 3 索引 索引 故故 cn cn cn 1
4、 cn 1 cn 2 c3 c2 c2 c1c1 b n 1 bn 1 bn 2 bn bn 3 bn 1 b2 b1 b1 b3c1 b1b2c1 bnbn 1 1 d d 1 bn 1 bn 1 ， 索引 1.本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思项和公式计算，突出方程思 想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键. 2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以 便实现等差、等比
5、数列之间的相互转化便实现等差、等比数列之间的相互转化.数列的求和主要是等差、等比数列的求数列的求和主要是等差、等比数列的求 和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和， 然后利用然后利用b11，d0证明不等式成立，体现了对数学基础知识、基本方法的重证明不等式成立，体现了对数学基础知识、基本方法的重 点考查点考查.另外本题在探求另外本题在探求an与与cn的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法. 探究提高 索引 【尝试训练尝试训练】(2020全国全国卷卷)设设等比数
6、列等比数列an满足满足a1a24，a3a18. (1)求求an的通项公式；的通项公式； 解解设设an的公比为的公比为q，则，则ana1qn 1. 因为因为a1a24，a3a18， 所以所以an的通项公式为的通项公式为an3n 1. 索引 【尝试训练尝试训练】(2020全国全国卷卷)设设等比数列等比数列an满足满足a1a24，a3a18. (2)记记Sn为数列为数列log3an的前的前n项和项和.若若SmSm 1 Sm 3，求 ，求m. 解解由由(1)知知log3ann1. 所以数列所以数列log3an是首项为是首项为0，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列， 由于由于SmSm 1 Sm 3，
7、得 ，得m(m1)(m1)m (m3)(m2)， 即即m25m60. 解之得解之得m6或或m1(舍去舍去). 所以实数所以实数m的值为的值为6. 满分答题示范 4 索引 数列的通项与求和 【例题例题】(12分分)(2019天津卷天津卷)设设an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，公比大于是等比数列，公比大于0.已已 知知a1b13，b2a3，b34a23. (1)求求an和和bn的通项公式；的通项公式； 规范解答规范解答 解解设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，等比数列，等比数列bn的公比为的公比为q(q0). (由条件建立方程组求公差和公比由条件建立方程组求公差和公比)3 故故a
8、n33(n1)3n，bn33n 1 3n 所以所以an的通项公式为的通项公式为an3n，bn的通项公式为的通项公式为bn3n.5 依题意，得依题意，得 3q 32d， 3q2154d，解得 解得 d 3， q3， 索引 解解a1c1a2c2a2nc2n (a1a3a5a2n 1) (a2b1a4b2a6b3a2nbn) 3n26(131232n3n). 记记Tn131232n3n， 则则3Tn132233n3n 1， ， 得，得，2Tn332333nn3n 1 索引 所以所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn 索引 得步骤分：抓住得分点的解题步骤，得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为
9、赢步步为赢”，在第，在第(1)问中，由条件式问中，由条件式 转化为关于转化为关于d，q的方程组，由公式求的方程组，由公式求an，bn，在第，在第(2)问中观察数列的结构特征先问中观察数列的结构特征先 分组，后用错位相减法求和分组，后用错位相减法求和. 得关键分：得关键分：(1)列方程组，列方程组，(2)分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，无则分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，无则 没分没分. 得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第(1)问中的解问中的解 方程，起着至关重要的作用，第方程，起着至关重要的作用，第(2)
10、问中的错位相减法求和是计算中的难点问中的错位相减法求和是计算中的难点. 索引 由题设条件列方程组求基本量由题设条件列方程组求基本量 求求an，bn的通项公式的通项公式 根据数列的特征，分组求和根据数列的特征，分组求和 利用错位相减法求利用错位相减法求Tn 反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤 索引 又函数又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列的所有正的零点构成递增数列an， 索引 由由得得 5 热点跟踪训练 0102030405索引 将将n1代入得，代入得，a24a1，而，而a11， 所以所以a24. 将将n2代入得，代入得，a33a2， 所以所以a3
11、12. 从而从而b11，b22，b34. 0102030405索引 解解（2）bn是首项为是首项为1，公比为，公比为2的等比数列的等比数列.理由如下：理由如下： 所以所以bn是首项为是首项为1，公比为，公比为2的等比数列的等比数列. 所以所以an的通项公式为的通项公式为ann2n 1. 0102030405索引 2.(2021沈阳模拟沈阳模拟)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，项和，bn是正项等比数列，且是正项等比数列，且a1 b11，a53b2.在在a3b314，a1b581，S44S2这三个条件中任选一这三个条件中任选一 个，回答下列问题：个，回答下列问题： (1)求数列求数
12、列an和和bn的通项公式；的通项公式； 解解若选，若选，a3b314， 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，等比数列，等比数列bn的公比为的公比为q(q0)， 0102030405索引 若选若选，a1b581， 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，等比数列，等比数列bn的公比为的公比为q(q0). 因为因为a1b11， 所以所以bn3n 1. 又因为又因为a53b2， 所以所以14d33， 解得解得d2， 所以所以an2n1. 0102030405索引 若选若选，S44S2， 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，等比数列，等比数列bn的公比为的公比为q(q0). 因为因
13、为a1b11，a53b2， 则则an2n1，bn3n 1. 0102030405索引 2.(2021沈阳模拟沈阳模拟)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，项和，bn是正项等比数列，且是正项等比数列，且a1 b11，a53b2.在在a3b314，a1b581，S44S2这三个条件中任选一这三个条件中任选一 个，回答下列问题：个，回答下列问题： (2)如果如果ambn(m，nN*)，写出，写出m，n的关系式的关系式mf(n)，并求，并求f(1)f(2)f(3) f(2 020)的值的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解
14、解因为因为ambn， 0102030405索引 3.(2020全国全国卷卷)设设an是公比不为是公比不为1的等比数列，的等比数列，a1为为a2，a3的等差中项的等差中项. (1)求求an的公比；的公比； 解解设设an的公比为的公比为q，由题设得，由题设得2a1a2a3， 即即2a1a1qa1q2. 所以所以q2q20，解得，解得q1(舍去舍去)或或q2. 故故an的公比为的公比为2. 0102030405索引 3.(2020全国全国卷卷)设设an是公比不为是公比不为1的等比数列，的等比数列，a1为为a2，a3的等差中项的等差中项. (2)若若a11，求数列，求数列nan的前的前n项和项和. 解
15、解记记Sn为为nan的前的前n项和项和. 由由(1)及题设可得及题设可得an(2)n 1， ， 所以所以Sn12(2)n(2)n 1， ， 2Sn22(2)2(n1)(2)n 1 n(2)n. 所以所以3Sn1(2)(2)2(2)n 1 n(2)n 0102030405索引 4.(2021重庆调研重庆调研)在在等差数列等差数列an中，已知中，已知a612，a1836. (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an； 解得解得d2，a12. an2(n1)22n. 0102030405索引 解解选条件选条件 0102030405索引 选条件选条件 an2n，bn(1)nan， Sn2468(1
16、)n2n， 当当n为偶数时，为偶数时， Sn(24)(68)2(n1)2n 当当n为奇数时，为奇数时，n1为偶数，为偶数，Sn(n1)2nn1. 0102030405索引 选条件选条件 an2n，bn2anan， bn22n2n2n4n， Sn2414426432n4n， 4Sn2424436442(n1)4n2n4n 1， ， 得得 3Sn24124224324n2n4n 1 0102030405索引 5.(2020西安调研西安调研)已已知数列知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且满足，且满足2(Sn32 n) an15. (1)证明：数列证明：数列3n 1an是等差数列 是等差数列. 证明证明因为因为2(Sn32 n) an15， 3nan 1 3n 1an 4， 由由2(Sn32 n) an15， 知当知当n1时，时，a13，则，则30a13. 故数列故数列3n 1an是以 是以3为首项，以为首项，以4为公差的等差数列为公差的等差数列. 0102030405索引 解解由由(1)知知3n 1an 4n1. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
