1、2020-2021 学年学年度第一学期度第一学期 10 月考月考试试 高二数学（理）试题高二数学（理）试题 一、选择题一、选择题(共共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分) 1.已知两点23M，32N ，直线l过点1 1P，且与线段MN相交，则直线的 斜率k的取值范围是（） A. 3 4 4 k B.4k 或 3 4 k C. 3 4 4 kD. 3 4 4 k 2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的 随机数，指定 1，2，3，4 表示命中；5，6，7，8，9
2、，0 表示不命中；再以每 三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机 数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（） 137 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 A.0.40B.0.30C.0.35D.0.25 3.据全球权威票房网站 Mojo 数据统计，截至 8 月 20 日 14 时，战狼 2国内累计票房 50 亿，截至目前，战狼 2中国市场观影人次达 1.4 亿，这一数字也创造了全球影史“单 一市场观影人次”的新记录，为了解战狼 2观影
3、人的年龄分布情况，某调查小组随机 统计了 100 个此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间10,60内)，并绘制了如图所示 的频率分布直方图，则由图可知，这 100 人年龄的中位数为() A. 33B. 34C. 35D. 36 4.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中x的值为（） A. 9 2 B. 3C. 2 D. 3 2 5. 已 知 点( , )P x y是 直 线40(0)kxyk上 一 动 点 ，,PA PB是 圆 22 :20C xyy的两条切线，,A B是切点.若四边形PACB的最小面积是 2，则k的 值为（） A.2B. 21 2 C.2 2D.2 6
4、.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ） A.5B.11C.14D.19 7.已知直线l为圆 22 4xy在点 2,2处的切线，点P为直线l上一动点，点Q为圆 2 2 11xy上一动点，则PQ的最小值为 （） A.2B. 2 1 2 C.12D.2 31 8.设点, iii P x y在直线: iiii la xb yc上，若1,2 iii i abc i，且 12 2PP 恒 成立，则 12 cc的值（） A.2B.4C.6D.8 9., 是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题： 如果,/ /mn mn，那么. 如果,/ /mn，那么mn. 如果/ / ,m，那么
5、/ /m. 如果/ / ,/ /mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题为（） ABCD 10.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，棱长为 1，EF、分别为 11 C D与AB的中点， 1 B到平面 1 AFCE的距离为（） A. 3 2 B. 6 3 C. 10 5 D. 30 5 11.某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如下表： 第一次月考物理成绩第二次月考物理成绩第三次月考物理成绩 学生甲808590 学生乙818385 学生丙908682 则下列结论正确的是() A. 甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B. 在这三次月考
6、物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 D. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 12.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明， 下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称 为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及 黄色，其面积称为朱实，黄实，利用 2勾股+（股勾） 2=4朱实+黄实=弦 实，化简，得勾 2+股2=弦2 ， 设勾股中勾股比为 1：，若向弦图内随机抛 掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 （） A.866B.500C.300D.1
7、34 二、填空题二、填空题(共共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分) 13.如图所示， 1111 ABCDABC D是棱长为a的正方体，,M N分别是下底面的棱 1111 ,AB BC的中点，P是上底面的棱AD上的一点， 3 a AP ，过,P M N的平面交上底 面于PQ，Q在CD上,则PQ _. 14.已知线段PQ两端点的坐标分别为1 , 1P和2 , 2Q，若直线0: myxl与线段 PQ有交点，则实数m的取值范围是. 15.若 k 进制数 132(k)与二进制数 11110(2)相等，则 k_ 16.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为 0 0 40.
8、现采用随机模拟试验的方 法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数, 用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三 天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下20组随机数: 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683907 966191925 271 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为_. 三、三、解答题解答题(共共 6 小题小题,共共 70 分分) 17.（10 分）已知直线: 211740lmxmym，mR，圆 22 :1
9、225Cxy. （1）证明：直线l恒过一定点P； （2）证明：直线l与圆C相交； （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值. 18.（12 分）为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取n张进行统计，将 结 果 分 成6组 ， 分 别 是 ：0,100 , 100,200 , 200,300 , 300,400， 400,500 , 500,600，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在0,600元 的区间内）. （1）若在消费金额为400,600元区间内按分层抽样抽取 6 张电脑小票，再从中任选 2 张，求这 2 张小票来自400,500元和500,600元区间（两区
10、间都有）的概率； （2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案. 方案一：全场商品打八五折. 方案二：全场购物满 100 元减 20 元，满 300 元减 80 元，满 500 元减 120 元，以上减免只 取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由. 19.（12 分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱 锥组合而成， （）证明：平面平面； （）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是 20.（12 分）2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与2.5
11、PM的浓度是否相关，现采集到华中某 城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与2.5PM的数据如表： 时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 车流量x（万 辆） 1234567 2.5PM的浓度 y（微克/立方 米） 28303541495662 (1)由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（提示数据： 7 1 1372 ii i x y ） (2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时2.5PM的浓度. 参考公式：回归直线的方程是 ybxa， 其中 11 2 22 11 , nn iiii ii nn ii ii x
12、ynx yxxyy baybx xnxxx . 21.（12 分）已知直线:12360maxaya，:230n xy. （1）当0a 时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方 程； （2）若坐标原点O到直线m的距离为5，判断m与n的位置关系. 22.（12 分）如图1，在Rt ABC中，90ABC，D为AC中点，AEBD于E （不同于点D），延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥 1 ABCD， 如图2所示 （）若M是FC的中点，求证：直线DM 平面 1 AEF （）求证： 1 BDAF （）若平面 1 ABD 平面BCD，试判断直线 1 AB与直线CD能
13、否垂直？请说明理 由 参参考考答案答案 1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.B8.C9.A10.B11.D12.D 13. 2 2 3 a14.1,115.416.0.3 17.（1）31P，；（2）相交；（3） 3 4 解析：（1）直线l方程变形为2740 xymxy，由 270 40 xy xy ，得 3 1 x y ， 直线l恒过定点31P，； （2）55PC ，P点在圆C内部， 直线l与圆C相交； （3）当lPC时，所截得的弦长最短，此时有1 lPC kk ， 而 211 , 12 lPC m kk m ，于是 21 1 21 m m ，解得 3 4 m . 18.解析: （1）由
14、直方图可知，按分层抽样在400,600内抽 6 张， 则400,500内抽 4 张，记为, , ,a b c d，在500,600内抽 2 张，记为EF、， 设两张小票来自400,500和500,600为事件A， 从中任选 2 张，有以下选法： abacadaEaFbcbEbFcdcEcFdEdFEF、共 15 种. 其中，满足条件的有aEaFbEbFcEcFdEdF、，共 8 种， 8 15 P A . （2）由直方图可知，各组频率依次为 0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05. 方案一购物的平均费用为： 0.8550 0.1 150 0.2250 0.25350 0.3450
15、0.1 550 0.050.85 275233.75 （元）. 方案二购物的平均费用为： 50 0.1 130 0.2230 0.25270 0.3 370 0.1 430 0.05228（元）. 方案二的优惠力度更大. 19.证明：（）正三棱柱中，平面， 所以，又， 所以平面，平面， 所以平面平面 （）由（）知平面，以为原点，方 向为，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的 高为，则， ， 设平面的一个法向量， 则取，则，所以 设平面的一个法向量，则 取，则，所以 二面角的余弦值是， 所以， 解得 20.(1)619yx；(2) 车流量为 12 万辆时，2.5PM的浓度为 91 微克/立方米.
16、解析：（1)由数据可得： 1 12345674 7 x 1 2830354149566243 7 y 77 2 11 1372,140 iii ii x yx 1 22 1 1372 1204 1 6 140 1 2 n ii i n i i x ynx y b xnx 4 34 619aybx ，（注:用另一个公式求运算量小些） 故y关于x的线性回归方程为619yx. (2)当车流量为 12 万辆时，即12x 时，6 12 1991y .故车流量为 12 万辆时， 2.5PM的浓度为 91 微克/立方米. 21.（1）370 xy或120 xy；（2）/ /mn或mn 解析： （1）联立 3
17、60 230. xy xy ，解得21, 9, x y 即m与n的交点为（021，-9）. 当直线l过原点时，直线l的方程为370 xy； 当直线l不过原点时，设l的方程为1 xy bb ，将（-21，-9）代入得12b ， 所 以 直 线l的 方 程 为120 xy， 故 满 足 条 件 的 直 线l方 程 为370 xy或 120 xy. （2）设原点O到直线m的距离为d， 则 22 6 5 123 a d aa ，解得： 1 4 a 或 7 3 a ， 当 1 4 a 时，直线m的方程为250 xy，此时/ /mn； 当 7 3 a 时，直线m的方程为250 xy，此时mn. 22.解析
18、：（）证明：D、M分别为AC、FC中点， DMEF， 又EF 平面 1 AEF， DM 平面 1 AEF， DM 平面 1 AEF （）EFBD， 1 AEBD， 1 AEEFE点， 1 AE、EF 平面 1 AEF， BD 平面AEF， 1 BDAF （）直线 1 AB与直线CD不能垂直， 平面BCD 平面 1 ABD， 平面BCD平面 1 ABDBD， EFBD， EF 平面CBD， EF 平面 1 ABD， 1 AB 平面 1 ABD， 1 ABEF， 又EFDM， 1 ABDM， 假设 1 ABCD， 1 ABDM，DMCDD点， 1 AB 平面BCD， 1 ABBD， 与 1 ABD为锐角矛盾， 直线 1 AB与直线CD不能垂直
