1、2020-2021 学年厦门市国祺中学高二上数学第一次月考试卷学年厦门市国祺中学高二上数学第一次月考试卷 考试范围：解析几何初步；考试时间：120 分钟；考试难度：0.5 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：一、单选题：本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1、过点过点 A（3，4）且与直线）且与直线 l：x2y10 垂直的直线的方程是（垂直的直线的方程是（） A2x+y100Bx+2y1
2、10Cx2y+50Dx2y50 2、椭圆椭圆 2 2 1 2 x y上的一点上的一点P到焦点到焦点 1 F的距离等于的距离等于 1，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点 2 F的距离是（的距离是（） A1B3C 21 D2 2 1 3、已知直线已知直线 1 l：210 xy 与与 2 l：1320axy，若，若 12 ll/，则，则a （） A5B6C7D8 4、直线直线 x+y+2=0 被圆被圆 x2+y2+4x-4y+4=0 截得的弦长等于（截得的弦长等于（） A 2 B2C2 2 D4 2 5、圆心在圆心在y轴上，且过点轴上，且过点31 ，的圆与的圆与x轴相切，则该圆的方程是轴相切，则该
3、圆的方程是( () ) A 22 100 xyyB 22 100 xyy C 22 100 xyxD 22 100 xyx 6、圆圆 22 2220 xyxy上到直线上到直线:20l xy的距离为的距离为 1 的点共有（的点共有（） A1 个个B2 个个C3 个个D4 个个 7、如图，在圆如图，在圆 22 :(4)100Cxy内有一点内有一点(4,0)A，点，点Q为圆为圆C上一动点，上一动点，AQ的垂直平分线与的垂直平分线与 ,C Q的连线交于点的连线交于点M，则动点，则动点M的轨迹方程为（的轨迹方程为（） A 22 1 259 xy B 22 1 259 xy C D 22 1 2516 x
4、y 8、设椭圆设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的焦点为的焦点为 1 F， 2 F，P是椭圆上一点是椭圆上一点，且且 12 3 FPF ，若若 12 FPF的的 外接圆和内切圆的半径分别为外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当，当4Rr时，椭圆的离心率为（时，椭圆的离心率为（） A 4 5 B 2 3 C 1 2 D 1 5 二、二、多选题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。错选、多选均不得分，漏选得两分分。错选、多选均不得分，漏选得两分 9、 已知直线已知直线 l 经过点经过点(3,4)， 且点且点( 2,2), (4, 2)AB 到直线到直线 l 的距离相等的
5、距离相等， 则直线则直线 l 的方程可能为的方程可能为 （） A23180 xy B220 xy C220 xy D2360 xy 10、设椭圆设椭圆 22 :1 43 xy C的左的左、右焦点分别为右焦点分别为 12 ,F F，点点P为椭圆为椭圆C上一动点上一动点，则下列说法中正确的则下列说法中正确的 是（是（） A当点当点P不在不在x轴上时轴上时， 12 PFF的周长是的周长是 6B当点当点P不在不在x轴上时轴上时， 12 PFF面积的最大值为面积的最大值为 3 C存在点存在点P，使，使 12 PFPFD 1 PF的取值范围是的取值范围是1,3 11、椭圆椭圆 2 2 :1 4 x Cy的
6、左右焦点分别为的左右焦点分别为 12 ,F F，O为坐标原点，以下说法正确的是（为坐标原点，以下说法正确的是（） A过点过点 2 F的直线与椭圆的直线与椭圆C交于交于A，B两点，则两点，则 1 ABF的周长为的周长为8. B椭圆椭圆C上存在点上存在点P，使得，使得 12 0PF PF .C椭圆椭圆C的离心率为的离心率为 1 2 DP为椭圆为椭圆 2 2 1 4 x y一点，一点，Q为圆为圆 22 1xy上一点，则点上一点，则点P，Q的最大距离为的最大距离为3. 12、如图，两个椭圆如图，两个椭圆 2222 1,1 259259 xyyx 内部重叠区域的边界记为曲线内部重叠区域的边界记为曲线 ,
7、C P是曲线是曲线C上的任意一上的任意一 点，下列四个说法正确的为（点，下列四个说法正确的为（） AP到到 1212 ( 4,0),(4,0),(0, 4),(0,4)FFEE四点的距离之和为定值四点的距离之和为定值 B曲线曲线C关于直线关于直线y xyx 、 均对称均对称 C曲线曲线C所围区域面积必小于所围区域面积必小于 36 D曲线曲线C总长度不大于总长度不大于6 三三、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分把答案填在答题卡对应横线上把答案填在答题卡对应横线上 13、 如图所示如图所示， 已知双曲线以长方形已知双曲线以长方形ABCD的顶点的顶
8、点A， ，B为左为左、 右焦点右焦点， 且双曲线过且双曲线过C， D两顶点若两顶点若AB4， 3BC ，则此双曲线的标准方程为，则此双曲线的标准方程为_ 14、已知直线已知直线:40l xmy，若曲线若曲线 22 2610 xyxy 上存在两点上存在两点 P，Q 关于关于 直线直线 l 对称，则对称，则 m 的值为的值为_. 15、由直线由直线:240lxy上的任意一个点向圆上的任意一个点向圆 22 :(1)(1)1Cxy+-=引切线引切线，则切线长的最小值则切线长的最小值 为为_. 16、 1 F、 2 F是椭圆是椭圆 22 :1 84 xy C的焦点，在的焦点，在 C 上满足上满足 12
9、PFPF的点的点 P 的个数为的个数为 四、四、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、求适合下列条件的椭圆标准方程：求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆）与椭圆 2 2 1 2 x y有相同的焦点，且经过点有相同的焦点，且经过点 3 (1, ) 2 （2）经过）经过 23 (2,), (2,) 22 AB两点两点 18、 在在中中， 边边AB所在的直线方程为所在的直线方程为32xy ， 其中顶点其中顶点A的纵坐标为的纵坐标为 1 1， 顶点顶点C的坐标为的坐标为(1,2).
10、. （1 1）求）求AB边上的高所在的直线方程；边上的高所在的直线方程； （2 2）若）若,CA CB的中点分别为的中点分别为E，F，求直线，求直线EF的方程的方程. . 19、已知圆已知圆 22 1: 2280Cxyxy与圆与圆 22 2: 210240Cxyxy相交于相交于 A，B 两点两点. . （1）求直线）求直线AB的方程的方程； （2）求经过）求经过 A，B 两点且面积最小的圆的方程；两点且面积最小的圆的方程； （3）求圆心在直线）求圆心在直线y x 上，且经过上，且经过 A，B 两点的圆的方程两点的圆的方程. 20、已知椭圆经过点已知椭圆经过点3,0P 和点和点0, 2Q ，一直
11、线与椭圆相交于，一直线与椭圆相交于 A、B 两点，弦两点，弦 AB 的中点坐标为的中点坐标为 1,1M. （1）求椭圆的方程）求椭圆的方程.（2）求弦）求弦 AB 所在的直线方程所在的直线方程. 21、已知椭圆已知椭圆 C： 22 3412xy. （1）求椭圆）求椭圆 C 的离心率；的离心率； （2）设设,A B分别为椭圆分别为椭圆 C 的左右顶点的左右顶点, ,点点 P 在椭圆在椭圆 C 上上, ,直线直线 AP, ,BP 分别与直线分别与直线4x 相交于点相交于点 M, ,N. 当点当点 P 运动时运动时, ,以以 M, ,N 为直径的圆是否经过为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结
12、论轴上的定点？试证明你的结论. 22、某海域有某海域有,A B两个岛屿，两个岛屿，B岛在岛在A岛正东岛正东 4 海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线 海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线 是曲线是曲线C，曾有渔船在距，曾有渔船在距A岛、岛、B岛距离和为岛距离和为 8 海里处发海里处发现现过鱼群以过鱼群以,A B所在直线为所在直线为x轴，轴，AB的的 垂直平分线为垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线）求曲线C的标准方程；的标准方程； （2）某日某日，研究人员在研究人员在,A B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号两岛同时用声纳探测仪发出
13、不同频率的探测信号（传播速度相同传播速度相同） ，,A B两两 岛收到鱼群在岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为处反射信号的时间比为5:3，问你能否确定，问你能否确定P处的位置（即点处的位置（即点P的坐标）？的坐标）？ 2020-2021 学年厦门市国祺中学高二上数学第一次月考试卷参考答案学年厦门市国祺中学高二上数学第一次月考试卷参考答案 18ADCCBCBB 7、由题,连接MA,因为圆 22 :(4)100Cxy,所以圆心C为4, 0,半径10R , 由垂直平分线的性质可知MQMA,则10MCMAMCMQCQR, 则点M的轨迹为焦点为4,0的椭圆,且210a ,即5a ,则 222 9bac
14、, 故其轨迹方程为: 22 1 259 xy ,故选:B 8、椭圆的焦点为 1 ,0Fc ， 2 ,0Fc， 12 2FFc 根据正弦定理可得 12 12 24 3 2 sin3 sin 3 FFcc R FPF 2 3 3 c R ， 13 46 c rR . 设 1 PFm， 2 PFn，则2mna， 由余弦定理得 222 42cos 3 cmnmn 2 2 343mnmnamn， 22 4 3 ac mn ， 12 22 3 1 sin 233 F PF ac Smn ， 又 12 F PF S 31 2 26 c ac mncr ， 22 3 3 36 ac ac 即 22 230ac
15、ac ， 故 2 320ee ，解得： 2 3 e 或1e （舍）.故选：B. 【点睛】 本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 9、 当直线l的斜率不存在时， 显然不满足题意 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为4(3)yk x， 即430kxyk由已知得 22 | 2243 |4243 | 11 kkkk kk ，所以2k 或 2 3 k ， 所以直线 l 的方程为220 xy或23180 xy故选：AB 10、ABD.由椭圆方程可知,2,3ab,从而 22 1cab . 据椭圆定义, 12 24PFPFa,又 12 22FFc,所以
16、 12 PFF的周长是 6,A 项正确. 设点 000 ,0P xyy ,因为 12 2FF ,则 1 2 1200 1 2 PF F SFFyy . 因为 0 03yb,则 12 PFF面积的最大值为 3,B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时, 12 FPF为最大. 此时, 12 2PFPFa,又 12 2FF ,则 12 PFF为正三角形, 12 60FPF , 所以不存在点P,使 12 PFPF,C 项错误. 由图可知,当点P为椭圆C的右顶点时, 1 PF取最大值,此时 1 3PFac； 当点P为椭圆C的左顶点时, 1 PF取最小值,此时 1 1PFac,所以 1
17、 1,3PF ,D 项正确, 11、对于选项 A，因为 12 ,F F分别为椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左右焦点，过点 2 F的直线与椭圆C交于A， B两点，由椭圆定义可得： 1212 24AFAFBFBFa， 因此 1 ABF的周长为 111122 48AFBFABAFBFAFBFa，故 A 正确； 对于选项 B，设点,P x y为椭圆 2 2 :1 4 x Cy上任意一点， 则点P坐标满足 2 2 1 4 x y，且22x 又 1 3,0F ， 2 3,0F，所以 1 3, PFxy， 2 3, PFxy， 因此 22 22 12 3 33132 44 xx PF PFxxyx， 由
18、 2 12 3 20 4 x PF PF，可得： 2 6 2,2 3 x ，故 B 正确； 对于选项 C，因为 2 4a ， 2 1b ，所以 2 4 13 c ，即 3c ， 所以离心率为 3 2 c e a ，故 C 错；对于选项 D，设点,P x y为椭圆 2 2 :1 4 x Cy上任意一点， 由题意可得：点,P x y到圆 22 1xy的圆心的距离为： 22222 4443POxyyyy， 因为11y ，所以 maxmax 14013 PQPO.故 D 正确；故选：ABD 12、易知 12 ( 4,0),(4,0)FF分别为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点， 12 (0, 4
19、),4)(0EE分别为椭圆 22 1 259 yx 的两个焦点.若点P仅在椭圆 22 1 259 xy 上，则P到 1 0()4,F 、 2(4,0) F两点的距离之和为 定值，到 12 (0, 4)(0,4)EE 、两点的距离之和不为定值，故 A 错误； 两个椭圆关于直线 ,yx yx 均对称，则曲线C关于直线y xyx 、 均对称，故 B 正确； 曲线C所围区域在边长为 6 的正方形内部，所以面积必小于 36，故 C 正 确；曲线C所围区域在半径为 3 的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的 周长6，故 D 错误. 故选：BC 13、x2- 2 3 y =114、115、圆心坐标1,1C ，半
20、径1R 要使切线长DA最小，则只需要点D到圆心的距离最小， 此时最小值为圆心C到直线的距离 2 2 1 45 5 5 21 d ， 此时 22 5 12DAdR ， 16、由 22 :1 84 xy C得 22 8,4ab，则 2 4c ，则 12 2,0 ,0FF 则以 12 2,0 ,0FF为直径的圆的方程为 22 4xy 由 22 22 1 8 4 4 xy xy 得 0 2 x y ，即椭圆 22 :1 84 xy C与圆 22 4xy有两个交点 12 0, 2 ,0,2PP，故 满足条件的点的个数为2 17、 （1）椭圆 2 2 1 2 x y的焦点坐标为( 1,0)，椭圆过点 3
21、(1, ) 2 ， 2222 33 2(1 1)( )(1 1)( )4 22 a ，2,3ab， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . （2）设所求的椭圆方程为 22 1(0,0,) xy mnmn mn 把 23 (2,), (2,) 22 AB两点代入， 得： 1 4 2 1 3 2 4 1 mn mn ，解得81mn，椭圆方程为 2 2 1 8 x y 本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养. 18、 （1）AB边上的高过1,2C,因为AB边上的高所在的直线与AB所在的直线 32xy互相垂直， 故其斜率为 3,方程为:310 x
22、y (2) 由题A点坐标为1,1,1,2CCA，所以的中点 1 1 123 (,)(0, ) 222 EE EF是的一条中位线,所以/ /EFAB,32ABxy直线所在的直线为， 其斜率为： 1 3 AB k ，所以EF的斜率为 1 3 所以直线EF的方程为： 13 (0) 32 yx 化简可得：2690 xy. 【点睛】 本题考查了直线方程的求法，主要考查直线的点斜式方程，以及化简为一般式，属于基础题. 19、 （1）由 22 22 2280 240 210240 xyxy xy xyxy 圆 22 1: 2280Cxyxy与圆 22 2: 210240Cxyxy的公共弦AB所在的直线方程为
23、 240 xy； （2）以AB为直径的圆即为面积最小的圆由( 4,0)A ，(0,2)B，则AB中点为( 2,1)， 22 11 |( 40)(02)5 22 AB 经过A、B两点且面积最小的圆的方程为 22 (2)(1)5xy （3）由（1）得24xy，代入 22 2280 xyxy中得， 2 20yy， 4 0 x y 或 0 2 x y ，即( 4,0)A ，(0,2)B， 又圆心在直线y x 上，设圆心为 ( ,)M xx ，则| |MAMB， 22 |MAMB， 即 2222 (4)()(2)xxxx ，解得3x 圆心( 3,3)M ，半径| |10MA 圆心在直线y x 上，且经过
24、A、B两点的圆的方程为 22 (3)(3)10 xy 20、 （1）由题意知，点3,0P ，0, 2Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在 x 轴上，所以3a ，2b ，故所求椭圆的标准方程为 22 1 94 xy ； （2）解：设经过点1,1M的直线方程为11yk x，代入椭圆方程， 整理得 2 22 941819 1360kxkk xk， 设 A、B 的横坐标分别为 1 x、 2 x，则 12 2 181 1 22 94 kkxx k ，解之得 4 9 k ， 故 AB 方程为 4 11 9 yx ，即所求的方程为49130 xy. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查
25、弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定 理求解，是基础题. 21、解： （1）由 22 3412xy得 22 1 43 xy ,那么 22 4,3ab所以 222 1cab 解得2a ,1c 所以离心率 1 2 c e a （2）由题可知( 2,0),(2,0)AB,设 00 ,P xy,则 22 00 :3412Cxy 直线AP的方程： 0 0 (2) 2 y yx x ，令4x ,得 0 0 6 2 M y y x ,从而M点坐标为 0 0 6 4, 2 y x 直线BP的方程： 0 0 (2) 2 y yx x ，令4x ,得 0 0 2 2 N y y x ,从而N点
26、坐标为 0 0 2 4, 2 y x 设以MN为直径的圆经过x轴上的定点 1,0 Q x,则MQNQ 由0MQ NQ 得 2 2 0 1 00 12 40 22 y x xx 由式得 222 000 123699 4yxx,代入得 2 1 49x 解得 1 1x 或 1 7x 所以MN为直径的圆经过x轴上的定点1,0和7,0. 【点睛】 本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题. 22、试题分析： （1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为 8 的椭圆 又，则，故 所以曲线的方程是 （2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为， 因此设此时距、两岛的距离分别比为 即鱼群分别距、两岛的距离为 5 海里和 3 海里 设，由， ， 13 分 点的坐标为或 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系 点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，很好的体 现了数学的妙用
