1、 高二数学（理科）试卷第 1 页（共 4 页） 池州一中 20202021 学年度第一学期期中教学质量检测 高二数学（理科）试卷 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1下列命题中正确的是（ ） A如果 a、b 是两条直线且a b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B如果直线 a，b 和平面满足 a ，b，那么 a b C垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D如果直线 a，b 和平面，满足 ab，a，那么 b 2(1,)am ，( 2,4)b ，( ,1)cn ，a b ，()ac
2、b ，则mn（ ） A 1 2 B5 C3 D5 3已知 22 1: 2310Cxyxy ， 22 2: 4320Cxyxy，则 1 C与 2 C的公 切线有（ ）条。 A1 B2 C3 D4 4我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理： “缘幂势既同，则积不容异也”.“幂” 是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则 两几何体体积相等.已知某不规则几何体与右侧三视图所对应 的几何体满足“幂势既同” ，其中俯视图中的圆弧为 1 4 圆周， 则该不规则几何体的体积为（ ） A1 2 B 1 36 C12 D 12 33 5直线 l：2 2 1 xy
3、绕点 M（2，1）逆时针旋转 4 至直线 l ，则直线 l 的斜率为（ ） A 1 3 B3 C 1 3 D3 6数学家默拉在 1765 年提出定理，三角形的外心、垂心、重心，依次位于同一直线上，且重心 到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 这条直线被后人称之为三角形的欧拉线， 已知ABC 的顶点 B（1，0） ，C（0，2） ，ABAC，则ABC 的欧拉线方程为（ ） A2430 xy B2430 xy C4230 xy D2430 xy 高二数学（理科）试卷第 2 页（共 4 页） 7边长为 2 正方形 ABCD，把ACD 沿 AC 折起至ACD，且平面 ACD平面 ABC，则 三棱锥 D
4、ABC 外接球表面积为（ ） A B2 C4 D8 8一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为 26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监 船正东 40 km 的 A 处 出发径直驶向位于海监船正北 30km 的 B 处岛屿，船速为 10 km/h 这 艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A1 B2 C3 D4 9P 为C：022 22 yxyx上一点，Q 为直线 l：04 yx上一点，则线段 PQ 长度 的最小值（ ） A2 B 2 3 3 C 2 6 3 D2 2 10已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确 的是（ ） A平面 ACB
5、1平面 A1C1D，且两平面的距离为 3 3 B点 P 在线段 AB 上运动，则四面体 111 CBPA的体积不变 C与所有 12 条棱都相切的球的体积为 2 3 D二面角 111 BCAD的余弦值为 6 3 11已知, x yR，则 2222 (1)4(2)1yxxy 的最小值为（ ） A5 B3 C2 5 D6 12如图，边长为 4 正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 中点，将AED，DCF 沿 DE、 DF 折起，使 A、C 两点重合于点 P，点 M 在平面 EFD 内，且 PM2，则直线 PM 与 BF 夹 角余弦值的最大值为（ ） A 1 3 B 3 3 C 2 3 D
6、 5 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知实数 x，y 满足 10 30 20 xy x y ，则 2 4 y x 的最大值为 . 14过点)2 , 1 (P且与C：0346 22 yxyx相切的直线方程为 P D E B M E F A D C B F 高二数学（理科）试卷第 3 页（共 4 页） 15过点 P（3，1）作 22 :(1)1Cxy的两条切线，切点分别为 A、B，则弦 AB 的长 为 . 16. 长方、堑堵、阳马、鱉臑、这些名词出自中国古代数学明著九章算术商功 ，其中阳马 和鱉臑是我国古代对一些特
7、殊锥体的称呼。取一长方体，如图长方体 1111 DCBAABCD ， 按平面 11D ABC斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵 的一顶点与相对的棱剖开， 得四棱锥和三棱锥各一个， 其中以矩形为底另有一棱与底面垂直 的四棱锥称为阳马， 余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑， 已知长方体 1111 DCBAABCD 中2 1 DDBD， 当阳马 11C CDDB 体积最大时， 堑堵 11 BCCADD 的 体积为 。 三解答题三解答题 17 （本大题 10 分）ABC 中C 的平分线所在直线方程为yx，且 A（1，5 2 ） ，B（4，0）. （1）求
8、直线 AB 的截距式 方程； （2）求ABC 边 AB 的高所在直线的一般式 方程. 18 （本大题 12 分） （1）如图，已知直线 l： 0mxnyr（0mn）外一点 P（a，b） ，请 写出点 P 到直线 l 的距离PH的公式及公式的推导过程 . （2）一质点从点)0 , 4(A处沿向量) 1 , 1(a方向按每秒 2 个单位速度移动，求几秒后质点与点 (2,4)B距离最近。 19 （本大题 12 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1，E、F 分别为棱 B1C1、BB1中 点，G 在 A1D 上且 DG3GA1，过 E、F、G 三点的平面截正方体. A B D C D
9、1 C1 D1 C1 A1 B1 A B D C x y A B O O x y H P 高二数学（理科）试卷第 4 页（共 4 页） （1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹） ； （2）求 A1C1与平面所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分） 20 （本大题 12 分）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期 的“数学三巨匠” ，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值 ) 1, 0(的动点的轨迹，已知点 M 与两个定点 O（0，0） ，A（3，0）的距离比为 2. （1）求动点 M 轨迹 C 的方程； （2）过点 A 斜率
10、为 1 2 的直线 l 与曲线 C 交于 E、F 两点，求OEF 面积. 21 （本大题 12 分）如图 BCBD，ABBD，ABD60，平面 BCD平面 ABD，E、F、 G 分别为棱 AC、CD、AD 中点. （1）证明 EF平面 BCG； （2）若 BC4，且二面角 ABFD 的正切值为 6， 求三棱锥 GBEF 体积. （注意：本题用向量法求解不得分） 22（本大题 12 分） 已知圆心为 C 的圆经过 A （1， 1） 和 B （2， 2） ， 且圆心 C 在直线 l：10 xy 上. （1）求圆心为 C 的圆的一般式 方程； （2）是否存在过原点的直线 l与C 交于 E、F 两点且使 EF 为直径的圆过点 M（2 3，0） ， 若存在，求出直线 l方程，若不存在说明理由. A B C F E D G A B C B1 C1 A1 D1 D G E F
