1、第第 3 节节等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 知识梳理 1.等比数列的概念 (1)定义：如果数列an从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数 q，即an 1 an q 恒成立，则称an为等比数列，其中 q 称为等比数列的公比. (2)等比中项：如果 x，G，y 是等比数列，则称 G 为 x 与 y 的等比中项，且 G2 xy. 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn 1； 通项公式的推广：anamqn m. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna
2、1（1q n） 1q a1anq 1q . 3.等比数列的性质 已知an是等比数列，Sn是数列an的前 n 项和. (1)若正整数 s，t，p，q 满足 stpq，则 asatapaq，特别地，如果 2spq， 则 a2sapaq. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，akm，ak2m，仍是等比数 列，公比为 qm. (3)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列， 其公比为 qn. (4)若an是公比为 q 的等比数列，则 SnmSnqnSm(n，mN). 1.若数列an， bn(项数相同)是等比数列， 则数列can(c0)， |a
3、n|， a2n， 1 an， anbn， an bn也是等比数列. 2.由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10. 3.若an是公比为 q 的等比数列，S 偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 在其前 2n 项中，S 偶 S 奇 q. 4.三个数成等比数列，通常设为x q，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常 设为 x q3， x q，xq，xq 3. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.() (2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.() (3)数列an的通项
4、公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna（1a n） 1a .() (4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)在等比数列中，q0. (2)若 a0，b0，c0 满足 b2ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a1 时，Snna. (4)若 a11，q1，则 S40，S8S40，S12S80，不成等比数列. 2.已知an是等比数列，a22，a51 4，则公比 q 等于( ) A.1 2 B.2C.2D.1 2 答案D 解析由题意知 q3a5 a2 1 8，即 q 1 2. 3.等比数列an的首项 a11，前 n
5、 项和为 Sn，若S10 S5 31 32，则a n的通项公式 an_. 答案 1 2 n1 解析因为S10 S5 31 32，所以 S10S5 S5 1 32， 因为 S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为 q5， 所以 q5 1 32，q 1 2，则 a n 1 2 n1 . 4.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度 音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音
6、的频率为() A. 3 2fB. 3 22f C. 12 25fD. 12 27f 答案D 解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为 12 2的等比数列， 设此数列为an，则 a8 12 27f， 即第八个单音的频率为 12 27f. 5.(多选题)(2021潍坊调研)已知等比数列an的各项均为正数，且 3a1，1 2a 3，2a2 成等差数列，则下列说法正确的是() A.a10B.q0 C.a3 a23 或1 D.a6 a49 答案ABD 解析设等比数列an的公比为 q， 由题意得 2 1 2a 3 3a12a2，即 a1q23a12a1q. 因为数列an的各项均为正数，所以
7、a10，且 q0，故 A，B 正确； 由 q22q30，解得 q3 或 q1(舍)， 所以a3 a2q3， a6 a4q 29，故 C 错误，D 正确，故选 ABD. 6.(2019全国卷)设 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a11 3，a 2 4a6，则 S5 _. 答案 121 3 解析由 a24a6得(a1q3)2a1q5，整理得 q 1 a13. 所以 S5a1（1q 5） 1q 1 3（13 5） 13 121 3 . 考点一等比数列基本量的运算 1.(多选题)(2021日照调研)已知在等比数列an中，a37，前三项之和 S321， 则公比 q 的值是() A.1B.1 2 C
8、.1 2 D.1 答案AB 解析当 q1 时，an7，S321，符合题意； 当 q1 时，由 a1q27， a1（1q3） 1q 21，得 q 1 2. 综上，q 的值是 1 或1 2，故选 AB. 2.(2020全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a5a312，a6a424， 则Sn an( ) A.2n1B.221 n C.22n 1 D.21 n1 答案B 解析设等比数列an的公比为 q， 则 qa6a4 a5a3 24 122. 所以Sn an a1（12n） 12 a12n 1 2 n1 2n 1 221 n. 3.(2020新高考海南卷)已知公比大于 1 的等比数列a
9、n满足 a2a420，a38. (1)求an的通项公式； (2)求 a1a2a2a3(1)n 1anan 1. 解(1)设an的公比为 q(q1)，且 a2a420，a38. a1qa1q320， a1q28 消去 a1，得 q1 q 5 2，则 q2，或 q 1 2(舍). 因此 q2，a12， 所以an的通项公式 an2n. (2)易知(1)n 1anan 1(1)n 122n1， 则数列(1)n 122n1公比为4. 故 a1a2a2a3(1)n 1anan 1 23252729(1)n122n1 2 31（4）n 14 8 51(4) n8 5(1) n2 2n3 5 . 感悟升华1.
10、等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中 有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)便可迎刃而 解. 2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna1（1q n） 1q a1anq 1q . 考点二等比数列的判定与证明 【例 1】 (2021新高考 8 省联考)已知各项都为正数的数列an满足 an22an1 3an. (1)证明：数列anan1为等比数列； (2)若 a11 2，a 23 2，求a n的通项公式. (1)证明an22an13an，
11、 所以 an2an13(an1an)， 因为an中各项均为正数， 所以 an1an0， 所以a n2an1 an1an 3， 所以数列anan1是公比为 3 的等比数列. (2)解由题意知 anan1(a1a2)3n 123n1， 因为 an22an13an， 所以 an23an1(an13an)，a23a1， 所以 a23a10，所以 an13an0， 故 an13an， 所以 4an23n 1，an1 23 n1. 感悟升华1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用 于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续 三项不成等比数列即可. 2.在利
12、用递推关系判定等比数列时，要注意对 n1 的情形进行验证. 【训练 1】(2020石家庄质量评估)已知数列an中，a11，anan1 1 2 n . (1)证明：数列a2n1和数列a2n都是等比数列； (2)若数列an的前 2n 项和为 T2n，bn(3T2n)n(n1)，求数列bn的最大项. (1)证明由 anan1 1 2n，得 a n1an2 1 2n 1. 两式相除，得an 2 an 1 2 因为 a11，a1a2 1 2 1 ， 所以 a21 2， 所以a2n1是以 a11 为首项，1 2为公比的等比数列， a2n是以 a21 2为首项， 1 2为公比的等比数列. (2)解因为 T2
13、n 1 1 2 n 11 2 1 2 1 1 2 n 11 2 3 3 2n， 所以 bn(3T2n)n(n1)3n（n1） 2n . 则bn 1 bn 3（n1） （n2） 2n 1 2n 3n（n1） n2 2n . 当 n1，即 b2b13； 当 n2 时，n2 2n 1，即 b2b39 2； 当 n2 时，n2 2n 1，即 bn10， 因为 S82S45，则 S8S45S4， 易知 S4，S8S4，S12S8是等比数列， 所以(S8S4)2S4(S12S8)， 所以S12S8（S45） 2 S4 25 S4S 4102 25 S4S 41020(当且仅当S45时取 等号) 因为 a9
14、a10a11a12S12S8，所以 a9a10a11a12的最小值为 20. 感悟升华1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是“若 mnpq，则 amanapaq” ，可以减少运算量，提高解题速度. 2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形， 三是前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可 找出解决问题的突破口. 【训练 2】 (1)(多选题)(2021山东名校联考)已知等比数列an的各项均为正数， 公比为 q，且 a11，a6a7a6a712，记an的前 n 项积为 Tn，则下列选项正 确的是() A.0
15、q1 C.T121D.T131 (2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6 S33，则 S9 S6_. 答案(1)ABC(2)7 3 解析因为等比数列an的各项均为正数， 公比为 q， 且 a11， a6a7a6a712， 所以(a61)(a71)0，得 a61 或 a61，a71， 当 a61 时，q1，但由 a11 得 an1，与 a61，a71 时，0q1，满足题意.所以 0q2，所以 a6a71， 所以 T12a1a2a11a12(a6a7)61，T13a13 71，a7a81，a71 a810.则下列结论正确的是( ) A.0q1 C.Sn的最大值为 S9D.Tn的最大值为
16、 T7 答案AD 解析a11，a7a81，a71 a811，0a81，0q1，故 A 正确；a7a9 a281，0q1，0a80，S2na2n1Sn1，其中为常数. (1)证明：Sn12Sn； (2)是否存在实数，使得数列an为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说 明理由. (1)证明an1Sn1Sn，S2na2n1Sn1， S2n(Sn1Sn)2Sn1， 则 Sn1(Sn12Sn)0. an0，知 Sn10，Sn12Sn0， 故 Sn12Sn. (2)解由(1)知，Sn12Sn， 当 n2 时，Sn2Sn1， 两式相减，an12an(n2，nN*)， 所以数列an从第二项起成等比数列，且公比 q2. 又 S22S1，即 a2a12a1， a2a110，得1. 因此 an 1，n1， （1）2n 2，n2. 若数列an是等比数列，则 a212a12. 1，经验证得1 时，数列an是等比数列.
