1、第第 4 节节等式与不等式及其性质等式与不等式及其性质 知识梳理 1.证明不等式的方法 (1)作差法 ab0ab， ab0ab， ab0a1（aR，b0）ab（aR，b0） ， a b1ab（a，b0） ， a b0）a0）. (3)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法. 2.等式的性质 (1)等式的两边同时加上或减去同一个数或等式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立. 3.不等式的性质及推论 (1)不等式的性质 性质别名内容 性质 1可加性abacbc 性质 2 可乘性 ab，c0acbc 性质 3ab，c0acb，bcac 性质 5对称性ab
2、bcacb 推论 2同向不等式相加ab，cdacbd 推论 3同向不等式相乘ab0，cd0acbd 推论 4可乘方性ab0anbn(nN，n1) 推论 5可开方性ab0 a b 1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号 方向改变. 2.有关分式的性质 (1)若 ab0，m0，则b a bm am(bm0). (2)若 ab0，且 ab1 a1，则 ab.( ) (4)0axb 或 axb01 b 1 x1，但 ay，则下列不等式成立的是() A.y x1 B.2 x0D.x2y2 答案B 解析由 xy，得xy，所以 2 x0， q0， 前n项和为Sn， 则S3
3、a3与 S5 a5的大小关系为_. 答案 S3 a3 S5 a5 解析当 q1 时，S3 a33， S5 a55，所以 S3 a30 且 q1 时， S3 a3 S5 a5 a1（1q3） a1q2（1q） a1（1q5） a1q4（1q） q 2（1q3）（1q5） q4（1q） q1 q4 0， 所以S3 a3 S5 a5.综上可知 S3 a3、0，b0 且 ab，(ab)20，ab0， (a3b3)(a2bab2)0， 即 a3b3a2bab2. 3.若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5 5 ，则() A.abcB.cba C.cabD.bac 答案B 解析法一易知 a，b
4、，c 都是正数，b a 3ln 4 4ln 3log 8164b；b c 5ln 4 4ln 5 log6251 0241，所以 bc.即 cb0，得 0 xe；由 f(x)e. f(x)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数. f(3)f(4)f(5)，即 abc. 4.若 a0，b0，则 p(ab) ab 2与 qabba的大小关系是() A.pqB.pq C.pqD.pq 答案A 解析由题意知 p0，q0，则p q （ab） ab 2 abba a ab 2b ba 2 a b ab 2，若 ab0， 则a b1，ab0，则 p q1；若 0ab，则 0 a b1，ab0，则 p q1
5、；若 a b，则p q1.综上，pq，故选 A. 感悟升华1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也 可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单 调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 考点二不等式的性质 【例 1】 (1)(多选题)设 ba0，cR，则下列不等式中正确的是(
6、) A.a 1 2b 1 2 B.1 ac 1 bc C.a2 b2 a b D.ac2bc2 (2)(多选题)(2021长沙调研)若1 a 1 b0，则下列不等式中正确的是( ) A. 1 ab 1 ab B.|a|b0 C.a1 ab 1 b D.ln a2ln b2 答案(1)ABC(2)AC 解析(1)因为 yx 1 2在(0，)上是增函数，所以 a 1 2b 1 2.因为 y1 xc 在(0， )上是减函数，所以1 ac 1 bc.因为 a2 b2 a b 2（ba） （b2）b0，所以 a2 b2 a b. 当 c0 时，ac2bc2，所以 D 不成立，故选 ABC. (2)由1
7、a 1 b0，可知 ba0.A 中，因为 ab0，ab0，所以 1 ab0， 1 ab0. 故有 1 ab 1 ab，即 A 正确； B 中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故 B 错误； C 中，因为 ba0，又1 a 1 b0，则 1 a 1 b0， 所以 a1 ab 1 b，故 C 正确； D 中，因为 ba0，根据 yx2在(，0)上为减函数，可得 b2a20，而 y ln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故 D 错误.由以上分析， 知 A，C 正确. 感悟升华解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用
8、特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特 别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指 数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练 1】 (1)(2020海南模拟改编)已知 a，b，c 满足 cba，且 ac0，则下 列选项中一定成立的是() A.abacB.c(ba)0 C.cb4ab4D.ac(ac)0 (2)下列命题中正确的是() A.若 ab，cR，则 acbc B.若 ab，cd，则a c b d C.若 ab，cd，则 acbd D.若 ab0，ab，则1 a 1 b 答案(1)A(2)D 解析(1)
9、因为 a，b，c 满足 cba，且 ac0，所以 c0a.对于 A，因为 b c，a0，所以 abac，故 A 正确；对于 B，因为 ba，c0，所以 ba0， c0，所以 c(ba)0，故 B 不正确；对于 C，因为 ca，b40，所以 cb4ab4， 故 C 不正确；对于 D，因为 ac0，ac0，所以 ac(ac)0，故 D 不正确， 故选 A. (2)A 中，当 c0 时不成立，c0 时也不成立，故 A 不正确.B 中，当 c0d ba 时，a c0 b d，故 B 不正确.C 中，因为 ab，(c)(d)，不满足不等式 的同向相加性，故 C 不正确.D 中，因为 ab0，所以 a，b
10、 同号，所以当 ab 时，1 a 1 b，故 D 正确.故选 D. 考点三不等式及其性质的应用 角度 1不等式在实际问题中的应用 【例 2】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_. 该小组人数的最小值为_. 答案612 解析令男学生、女学生、教师人数分别为 x，y，z，且 2zxyz，若教师人 数为 4，则 4yx8，当 x7 时，y 取得最大值 6.当 z1 时，1zyx2，不 满足条件；当 z2 时，2zyx4，不满足条件；
11、当 z3 时，3zyx6，y 4，x5，满足条件.所以该小组人数的最小值为 34512. 角度 2求代数式的取值范围 【例 3】(经典母题)已知1x4，2y3，则 xy 的取值范围是_，3x 2y 的取值范围是_. 答案(4，2)(1，18) 解析因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4， 2y3，得33x12，42y6，所以 13x2y18. 【迁移 1】将本例条件改为“1xy3” ，求 xy 的取值范围. 解因为1x3，1y3， 所以3y1，4xy4. 又因为 xy，所以 xy0， 由得4xy0， 故 xy 的取值范围是(4，0). 【迁移 2】将本例条件改为“已知1xy4，
12、2xy3” ，求 3x2y 的取值范 围. 解设 3x2y(xy)(xy)， 即 3x2y()x()y， 于是 3， 2，解得 1 2， 5 2， 3x2y1 2(xy) 5 2(xy). 1xy4，2xy3， 1 2 1 2(xy)2，5 5 2(xy) 15 2 ， 9 2 1 2(xy) 5 2(xy) 19 2 . 故 3x2y 的取值范围是 9 2， 19 2 . 感悟升华1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要” “必 须” “不少于” “大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格 运用不等式
13、的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范 围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通 过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练 2】(2021武汉质检)已知实数 a(1，3)，b 1 8， 1 4 ，则a b的取值范围是 _. 答案(4，24) 解析依题意可得 41 b8，又 1a3，所以 4 a b24. A 级基础巩固 一、选择题 1.限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成不等式为() A.v40 km/h C.v40 km/hD.v40 km/h 答案D 解析由汽车的速
14、度 v 不超过 40 km/h，即小于等于 40 km/h，即 v40 km/h， 故选 D. 2.(多选题)下列四个条件，能推出1 a 1 b成立的有( ) A.b0aB.0abC.a0b D.ab0 答案ABD 解析运用倒数性质，由 ab，ab0 可得1 a 1 b，B、D 正确.又正数大于负数， A 正确，C 错误，故选 A，B，D. 3.若 a，b 都是实数，则“ a b0”是“a2b20”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析a b0 a baba2b2，但由 a2b20/a b0.故选 A. 4.若 ab0，则下列不等式中一
15、定成立的是() A.a1 bb 1 a B.b a b1 a1 C.a1 bb 1 a D.2ab a2b a b 答案A 解析取 a2，b1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)x1 x是(0，)上的增 函数，但函数 g(x)x1 x在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以， 当 ab0 时，f(a)f(b)必定成立，即 a1 ab 1 ba 1 bb 1 a，但 g(a)g(b)未必 成立，故选 A. 5.已知 a1(0，1)，a2(0，1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关 系是() A.MN C.MND.不确定 答案B 解析MNa1a2(a1a21) a1
16、a2a1a21(a11)(a21)， 又 a1(0，1)，a2(0，1)， a110，a210，即 MN0，MN. 6.(2021齐鲁名校联考)若，满足 2 2，则 2的取值范围是( ) A.20B.2 C.3 2 2 2 D.02 答案C 解析 2 2，2. 2 2， 2 2. 3 2 23 2 . 又0， 2，2 2. 故3 2 2 2. 7.(2019全国卷)若 ab，则() A.ln(ab)0B.3a0D.|a|b| 答案C 解析法一由函数 yln x 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 不正确； 因为函数 yx3在 R 上单调递增，所以当 ab
17、时，a3b3，即 a3b30，故 C 正 确；当 ba0 时，|a|b|，故 D 不正确.故选 C. 法二当 a0.3，b0.4 时，ln(ab)3b，|a|b|，故排除 A，B，D.故 选 C. 8.已知函数 f(x)x3ax2bxc.且 0f(1)f(2)f(3)3，则() A.c3B.3c6 C.69 答案C 解析由 f(1)f(2)f(3) 得 1abc84a2bc， 1abc279a3bc，解得 a6， b11， 则 f(x)x36x211xc， 由 0f(1)3，得 01611c3，即 6”“”或“”). 答案 解析分母有理化有 1 52 52， 1 6 5 6 5，显然 52 6
18、 5， 所以 1 520，bcad0，则c a d b0； 若 ab0，c a d b0，则 bcad0； 若 bcad0，c a d b0，则 ab0. 其中正确的命题是_(填序号). 答案 解析ab0，bcad0， c a d b bcad ab 0，正确； ab0，又c a d b0，即 bcad ab 0， bcad0，正确； bcad0，又c a d b0，即 bcad ab 0， ab0，正确.故都正确. 12.若 0ab，且 ab1，则将 a，b， 1 2 ，2ab，a2b2从小到大排列为 _. 答案a2ab1 2a 2b2b 解析0ab 且 ab1， a1 2b1 且 2a1，
19、 a2ba2a(1a)2a22a2 a1 2 2 1 2 1 2.即 a2ab11 2 1 2， 即 a2b21 2. 1 2b1， (a2b2)b(1b)2b2b2b23b1 (2b1)(b1)b， a b b，ab， a，ab. 若 mn2，pq2，则() A.mn4 且 pq4B.mn4 且 pq4 C.mn4 且 pq4D.mn4 且 pq4 答案A 解析结合定义及 mn2 可得 m2， mn 或 n2， mn， 即 nm2 或 mn2，所以 mn4； 结合定义及 pq2，可得 p2， pq 或 q2， pq， 即 qbc， 则c a的取值范围是_. 答案 2，1 2 解析因为 f(1)0，所以 abc0， 所以 b(ac).又 abc， 所以 a(ac)c，且 a0，cac a c a，即 11 c a c a. 所以 2c a 2， 解得2c ab2；2a2b 1； ab a b.能够使以上三个不 等式同时成立的一个条件是_(答案不唯一，写出一个即可). 答案ab0(答案不唯一) 解析使三个不等式同时成立的一个条件是 ab0， 当 ab0 时， 显然成立， 对于，( ab)2( a b)22 ab2b2 b( a b)， ab0，2 b( a b)0， 所以( ab)2( a b)20，即 ab a b.
