第8节　二项分布、正态分布.docx

1、第第 8 节节二项分布、正态分布二项分布、正态分布 知识梳理 1.n 次独立试验与二项分布 (1)n 次独立重复试验 在相同条件下重复 n 次伯努利试验时，人们总是约定这 n 次试验是相互独立的， 此时这 n 次伯努利试验也常称为 n 次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p，记 q1p，且 n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X， 则 X 的取值范围是0， 1， ， k， ， n，而且 P(Xk)Cknpkqn k，k0，1，n， 因此 X 的分布列如下表所示 X01kn PC0np0qnC1np1qn 1 Cknpkqn k Cnnpn

2、q0 注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式 (qp)nC0np0qnC1np1qn 1Ck npkqn kCn npnq0中对应项的值，因此称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 XB(n，p). 2.超几何分布 一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件(MN)，从所有 物品中随机取出 n 件(nN)， 则这 n 件中所含甲类物品数 X 是一个离散型随机变 量，X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 为 M 与 n 中的较小者，t 在n不大于乙类物品件数(即nNM)时取0， 否则t取n减乙类物品件数之差(即 tn(NM)，而且 P

3、(Xk)C k MCn k NM CnN ，kt，t1，s， 这里的 X 称为服从参数为 N，n，M 的超几何分布，记作 XH(N，n，M). 特别地， 如果 XH(N， n， M)且 nMN0， 则 X 能取所有不大于 s 的自然数， 此时 X 的分布列如下表所示. X01ks P C0MCnNM CnN C1MCn 1 NM CnN CkMCn k NM CnN CsMCn s NM CnN 3.正态曲线与正态分布 (1)正态曲线 (x) 1 2e （x）2 22 ，(x)的解析式中含有和两个参数，其中：E(X)，即 X 的均值； D（X），即 X 的标准差.一般地，(x)对应的图像称为正

4、态曲线(也 因形状之故而被称为“钟形曲线”，(x)也常常记为，(x). (2)正态曲线的一些性质 正态曲线关于 x对称(即决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边 低的特点； 正态曲线与 x 轴所围成的图形面积为 1； 决定正态曲线的“胖瘦”；越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱， 所以曲线越“胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线 越“瘦”. (3)概率密度函数 一般地，如果随机变量 X 落在区间a，b内的概率，总是等于，(x)为对应的正 态曲线与 x 轴在区间a，b内围成的面积，则称 X 服从参数为与的正态分布， 记作 XN(，2)，此时，(x)称为 X 的概率密

5、度函数，更进一步的研究表明， 此时是 X 的均值，而是 X 的标准差，2是 X 的方差. (4)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及 3原则 P(X)68.3%； P(2X2)95.4%； P(3X3)99.7%. 由 P(3X3)99.7%，知正态总体几乎总取值于区间(3，3) 之内.而在此区间以外取值的概率只有 0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几 乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(，2)的随机变量 X 只 取(3，3)之间的值，并简称之为“3原则”. (5)标准正态分布 当0，且1 时的正态分布称为标准正态分布，即 XN(0，1)，任意正态分 布通过变换都可以化

6、为标准正态分布. 1.如果 YN(，2)，那么令 XY ，则 XN(0，1). 2.如果 XN(0，1)，那么对于任意 a，通常记(a)P(X2c1)P(X2c1)P(Xc3)， 2c1c323，c4 3. 4.(2020广州调研)某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值 x 服从 正态分布 N(100，2)，且 P(x80)0.2.现从中随机抽取该产品 1 000 件，估计其 综合质量指标值在100，120内的产品件数为() A.200B.300C.400D.600 答案B 解析由题意，这种产品的综合质量指标值 x 服从正态分布 N(100，2)，则正态 分布曲线的对称轴为 x100

7、，根据正态分布曲线的对称性，得 P(100 x120) P(80 x100)0.50.20.3，所以从中随机抽取该产品 1 000 件，估计其综 合质量指标值在100，120内的产品件数为 1 0000.3300，故选 B. 5.(多选题)设 XN(1，21)，YN(2，22)，这两个正态分布密度曲线如图所示. 下列结论中不正确的是() A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) D.对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) 答案ABD 解析由正态分布密度曲线的性质可知，XN(1，21)，YN(2，22)的密度曲 线分别关于直线 x1，x2对称，因

8、此结合题中所给图像可得，102，所 以 P(Y2)P(Y1)，故 A 错误.又 XN(1，21)的密度曲线较 YN(2，22)的 密度曲线“瘦高”，所以1P(X1)，B 错误.对任意正数 t， P(Xt)P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，C 正确，D 错误. 6.(多选题)(2020烟台期中)某人参加一次测试，在备选的 10 道题中，他能答对其 中的 5 道.现从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试，规定至少答对 2 题才 算合格.则下列选项正确的是() A.答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为1 8 B.答对 1 题的概率为3 8 C.答对 2 题的概率为 5 12 D.合格

9、的概率为1 2 答案CD 解析设此人答对题目的个数为， 则0，1，2，3，P(0)C 0 5C35 C310 1 12， P(1)C 1 5C25 C310 5 12，P(2) C25C15 C310 5 12， P(3)C 3 5C05 C310 1 12， 则答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为 1 12，故 A 错误；答对 1 题的概率为 5 12， 故 B 错误；答对 2 题的概率为 5 12，故 C 正确；合格的概率 pP(2)P(3) 5 12 1 12 1 2，故 D 正确.故选 CD. 考点一独立重复试验与二项分布 【例 1】 (2021东北三省三校联考) 某市旅游局为了

10、进一步开发旅游资源，需要了解游客的情况，以便制定相应的策 略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数，画出茎叶图如图所示， 若景点甲的数据的中位数是 126，景点乙的数据的平均数是 124. (1)求 x，y 的值； (2)若将图中景点甲的数据作为该景点较长一段时间内的样本数据(视样本频率为 概率)， 则从这段时间内任取4天， 记其中游客数不低于125的天数为， 求P(2)； (3)现从图中的 20 个数据中任取 2 个数据(甲、乙两景点的数据各取 1 个)，记其 中游客数不低于 115 且不高于 135 的个数为，求的分布列. 解(1)由题意知 x4，则120 x127 2 12

11、6，解得 x5. 由109110312031302141y5845635 10 124，解得 y4. (2)由题意知，景点甲一天的游客数不低于 125 的概率为 6 10 3 5， 从这段时间内任取 4 天，即进行 4 次独立重复试验，其中有次发生，所以随机 变量服从二项分布，则 P(2)C04 3 5 0 2 5 4 C14 3 5 1 2 5 3 C24 3 5 2 2 5 2 328 625. (3)从茎叶图中可以看出，景点甲的数据中符合条件的有 3 个，景点乙的数据中 符合条件的有 7 个，所以在景点甲的数据中符合条件的数据被选出的概率为 3 10， 在景点乙的数据中符合条件的数据被选

12、出的概率为 7 10. 由题意知，的所有可能取值为 0，1，2. 则 P(0) 7 10 3 10 21 100，P(1) 3 10 3 10 7 10 7 10 29 50，P(2) 3 10 7 10 21 100. 所以的分布列为 012 P 21 100 29 50 21 100 感悟升华利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程， 但需要注意检查 该概率模型是否满足公式 P(Xk)Cknpk(1p)n k 的三个条件：(1)在一次试验中 某事件 A 发生的概率是一个常数 p；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行 的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示

13、n 次试验中事 件 A 恰好发生了 k 次的概率. 【训练 1】 (2019天津卷改编)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到 校的概率均为2 3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情 况相互独立. (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的 分布列； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学 在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. 解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到 校的概率为2 3， 故 XB 3，2 3

14、，从而 P(Xk)Ck3 2 3 k 1 3 3k ， k0，1，2，3. 所以，随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 (2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y， 则 YB 3，2 3 ，且 M X3，Y1X2，Y0. 由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事 件X2与Y0均相互独立， 从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0) P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0) 8 27 2 9 4 9 1 27 20 243. 考点二超几何分布 【例 2】 某市政府出台了“创建

15、全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日， 作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成， 有关部 门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的 各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分， 并将结果绘制成如图所示的频 率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分； 采用百分制评分， 评分在60， 80)内认定为满意， 80 分及以上认定为非常满意； 市民对公交站点布局的满意率不低于 60%即可进行验收； 用样本的频率代替 概率. (1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率； (2)若从该市的全体市民中随机抽取 3 人，试估计

16、恰有 2 人非常满意该项目的概 率； (3)已知在评分低于 60 分的被调查者中，老年人占1 3，现从评分低于 60 分的被调 查者中按年龄分层抽取 9 人以便了解不满意的原因， 并从中选取 2 人担任群众监 督员，记为群众监督员中老年人的人数，求随机变量的分布列. 解(1)根据题意知评分为 60 分及以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直 方图中，评分在60，100内的频率为(0.0280.030.0160.004)100.78. (2)根据频率分布直方图， 被调查者非常满意的频率是(0.0160.004)100.21 5， 所以用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取 1 人，该

17、人非常满意 该项目的概率为1 5. 现从中抽取 3 人，恰有 2 人非常满意该项目的概率为 PC23 1 5 2 4 5 12 125. (3)因为评分低于 60 分的被调查者中，老年人占1 3， 又从被调查者中按年龄分层抽取 9 人，所以这 9 人中，老年人有 3 人，非老年人 有 6 人. 所以随机变量的所有可能取值为 0，1，2， P(0)C 0 3C26 C29 15 36 5 12， P(1)C 1 3C16 C29 18 36 1 2， P(2)C 2 3C06 C29 3 36 1 12. 所以的分布列为 012 P 5 12 1 2 1 12 感悟升华1.超几何分布描述的是不放

18、回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体 的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某 类个体数 X 的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典 概型. 【训练 2】 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组 队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一 个协会”，求事件 A

19、 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列. 解(1)由已知，有 P(A)C 2 2C23C23C23 C48 6 35. 所以事件 A 发生的概率为 6 35. (2)随机变量 X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为 1，2，3，4. P(Xk)C k 5C4 k 3 C48 (k1，2，3，4). 故 P(X1)C 1 5C33 C48 1 14， P(X2)C 2 5C23 C48 3 7， P(X3)C 3 5C13 C48 3 7， P(X4)C 4 5C03 C48 1 14， 所以随机变量 X 的分布列为 X1234 P 1 14

20、3 7 3 7 1 14 考点三正态分布 【例 3】 某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区 蜻蜓有 A，B 两种，且这两种的个体数量大致相等.记 A 种蜻蜓和 B 种蜻蜓的翼 长(单位：mm)分别为随机变量 X，Y，其中 X 服从正态分布 N(45，25)，Y 服从 正态分布 N(55，25). (1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间45，55的概率； (2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量 Z，若用正态分布 N(0，20)来近似描述 Z 的 分布，请你根据(1)中的结果，求参数0和0的值(精确到 0.1). 注：若 XN(，2)，则 P(0.64X0.

21、64)0.477 3，P(X )0.682 7，P(2X2)0.954 5. 解(1)记这只蜻蜓的翼长为 t. 因为 A 种蜻蜓和 B 种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是 A 种还是 B 种 的可能性是相等的. 所以 P(45t55)1 2P(45X55) 1 2P(45Y55) 1 2P(45X4525) 1 2P(5525Y55) 1 2 0.954 5 2 1 2 0.954 5 2 0.477 25. (2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y 的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知04555 2 50.0. 0.477 250.477 3， 由(1)可知 4500.640，5

22、500.640，得0 5 0.647.8. 感悟升华(1)利用 3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变 量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3， 3)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态 曲线关于直线 x对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.注意下面两个结论的活 用： P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X). 【训练 3】 (1)(2021南宁、柳州联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从 正态分布 N(1，21)，N(2，22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错 误的是() A.甲类水果的平

23、均质量为 0.4 kg B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数21.99 (2)(2021新高考 8 省联考)对于一个物理量做 n 次测量，并以测量结果的平均值 作为该物理值的最后结果.已知最后结果的误差nN 0，2 n ， 为使误差n在(0.5， 0.5)的概率不小于 0.954 5， 至少要测量_次.(若 XN(， )， 则 P(|X|2) 0.954 5) 答案(1)D(2)32 解析(1)由图像可知甲的正态曲线关于直线 x0.4 对称，乙的正态曲线关于直 线 x0.8 对称，所以

24、10.4，20.8，A 项正确，C 项正确. 由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右， B 项 正确. 因为乙的正态曲线的最大值为 1.99，即 1 221.99，所以 21.99，D 项错误. 故选 D. (2)P(|n|2)0.954 5， 又0，22 n， 即 P(2n2) P 2 2 n n2 2 n 0.954 5， 由题意知 20.5，即 2 2 n 1 2， 所以 n32. 二项分布与超几何分布的辨别 教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布， 学生对这两种模型的定义不能很好 地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用 公式，运

25、算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系， 但也有明显的区别. 【例 1】 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪 些？服从超几何分布的是哪些？ (1)X1表示 n 次重复抛掷 1 枚骰子出现点数是 3 的倍数的次数. (2)X2表示连续抛掷 2 枚骰子，所得的 2 枚骰子的点数之和. (3)有一批产品共有 N 件，其中次品有 M 件(NM0)，采用有放回抽取方法抽 取 n 次(nN)，抽出的次品件数为 X3. (4)有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法抽 n 件，出现 次品的件数为 X4(NMn0). 解(1)X1的分布列为

26、 X1012n P C0n 1 3 0 2 3 n C1n 1 3 1 2 3 n1 C2n 1 3 2 2 3 n2 Cnn 1 3 n X1服从二项分布，即 X1B n，1 3 . (2)X2的分布列为 X223456789101112 P 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 (3)X3的分布列为 X3012n P1M N n C1nM N 1M N n1 C2n M N 2 1M N n2 M N n X3服从二项分布，即 X3B n，M N . (4)X4的分布列为 X401kn P CnNM CnN C1MCn

27、 1 NM CnN CkMCn k NM CnN CnM CnN X4服从超几何分布. 【例 2】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水 线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490， 495，(495，500，(510，515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量； (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列； (3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分 布列

28、. 解(1)质量超过 505 克的产品的频率为 50.0550.010.3， 所以质量超过 505 克的产品数量为 400.312(件). (2)重量超过 505 的产品数量为 12 件，则重量未超过 505 克的产品数量为 28 件， X 的取值为 0，1，2， X 服从超几何分布. P(X0)C 2 28 C240 63 130，P(X1) C112C128 C240 28 65， P(X2)C 2 12 C240 11 130， X 的分布列为 X012 P 63 130 28 65 11 130 (3)根据样本估计总体的思想， 取一件产品， 该产品的质量超过 505 克的概率为12 4

29、0 3 10. 从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 次独立重复试验，质量超过 505 克的件数 Y 的可能取值为 0，1，2，且 YB 2， 3 10 ， P(Yk)Ck2 1 3 10 2k 3 10 k ， 所以 P(Y0)C02 7 10 2 49 100， P(Y1)C12 3 10 7 10 21 50， P(Y2)C22 3 10 2 9 100. Y 的分布列为 Y012 P 49 100 21 50 9 100 思维升华超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取 是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以 近似地看

30、作二项分布. A 级基础巩固 一、选择题 1.下列事件：运动员甲射击一次，“射中 9 环”与“射中 8 环”；甲、乙两 运动员各射击一次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”；甲、乙两运动员各 射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同的条件 下，甲射击 10 次，5 次击中目标. 其中是独立重复试验的是() A.B.C.D. 答案D 解析符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是独立重 复试验. 2.(2020西安质检)若随机变量 XB 5，1 3 ，则 P(X3)等于() A.1 3 B. 40 243 C.10 27 D.3 5 答案B 解析随机变量 XB

31、 5，1 3 ，则 P(X3)C35 1 3 3 2 3 2 40 243，故选 B. 3.从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是() A. 4 35 B. 6 35 C.12 35 D. 36 343 答案C 解析如果将白球视为合格品， 红球视为不合格品， 则这是一个超几何分布问题， 故所求概率为 PC 2 3C14 C37 12 35.故选 C. 4.已知在 10 件产品中可能存在次品， 从中抽取 2 件检查， 其次品数为， 已知 P( 1)16 45，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( ) A.10

32、%B.20%C.30%D.40% 答案B 解析设 10 件产品中有 x 件次品，则 P(1)C 1 xC110 x C210 x（10 x） 45 16 45，所 以 x2 或 8.因为次品率不超过 40%，所以 x2，所以次品率为 2 1020%. 5.(2021重庆诊断)已知随机变量 X 服从正态分布 N(80，25)，若 P(75Xm) 0.818 6，则 m 等于() (附：P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5) A.89B.90C.91D.92 答案B 解析由题意得5，80， P(805X805)0.682 7，即 P(75X85)0.682 7； P(8010X801

33、0)0.954 5，即 P(70X90)0.954 5. 所以 P(85X90)0.954 50.682 7 2 0.135 9. 因为 P(75Xm)0.818 6， 而 P(75X90)P(75X85)P(85X90)0.682 70.135 90.818 6，所以 m90. 6.(多选题)(2021武汉调研)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是： 从装有 2 个白球和 3 个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一 个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的 2 个球颜色相同则为中 奖，否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是() A.某顾客抽奖一次中奖的概率

34、是2 5 B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是 98 125 C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 3 10 D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是1 2 答案ABD 解析顾客抽奖一次中奖的概率为C 2 2C23 C25 13 10 2 5， 故 A 选项正确.顾客抽奖三 次，至少有一次中奖的概率是 1 12 5 3 1 3 5 3 1 27 125 98 125，故 B 选项正 确.对于 CD 选项，由于第一次抽出了红球，故剩余 2 个白球和 2 个红球，再抽 一个，抽到红球的概率是 2 22 1 2，故 C 选项错误，

35、D 选项正确. 二、填空题 7.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不超 过 1 人的概率是_. 答案 4 5 解析设所选女生人数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N6，M2，n3， 则 P(X1)P(X0)P(X1)C 0 2C34 C36 C 1 2C24 C36 4 5. 8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18，19，20 层停靠.若该电梯在底层 有 5 个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用 X 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，则 P(X4)_. 答案 10 243 解析考察一位乘客是否在第 2

36、0 层下电梯为一次试验， 这是 5 次独立重复试验， 故 XB 5，1 3 ， 即有 P(Xk)Ck5 1 3 k 2 3 5k ，k0，1，2，3，4，5. 故 P(X4)C45 1 3 4 2 3 1 10 243. 9.甲、 乙两队进行篮球决赛， 采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时， 该队获胜， 决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.6， 客场取胜的概率为 0.5， 且各场比赛结果相互独立， 则甲队以 41 获胜的概率是_. 答案0.18 解析记事件 M 为甲队以 41 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜， 前四场甲

37、队胜三场负一场，所以 P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522) 0.18. 三、解答题 10.(2020湖南五市十校联考改编)为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适 应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改 革方案从 2018 年秋季进入高一年级的学生开始正式实施.新高考改革中，明确高 考考试科目由语文、数学、英语 3 科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、 生物 6 个科目中自主选择的 3 科组成，不分文理科.假设 6 个自主选择的科目中 每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中 学高一年级的 3 名学生.

38、(1)求这 3 名学生都选择物理的概率； (2)设 X 为这 3 名学生中选择物理的人数，求 X 的分布列. 解(1)设“这 3 名学生都选择物理”为事件 A， 依题意得每位学生选择物理的概率都为1 2， 故 P(A) 1 2 3 1 8，即这 3 名学生都选择物理的概率为 1 8. (2)X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 由题意知 XB 3，1 2 ， P(X0)C03 1 2 3 1 2 0 1 8， P(X1)C13 1 2 2 1 2 1 3 8， P(X2)C23 1 2 1 1 2 2 3 8， P(X3)C33 1 2 0 1 2 3 1 8. 所以 X 的分布列为 X01

39、23 P 1 8 3 8 3 8 1 8 11.(2020重庆四检改编)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的 经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分 随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B 两个调查小组 分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获 取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行数据 统计，具体情况如下表： 组别 年龄 A 组统计结果B 组统计结果 经常使 用单车 偶尔使用 单车 经常使 用单车 偶尔使 用单车 15，25)27 人13 人40 人20

40、 人 25，35)23 人17 人35 人25 人 35，4520 人20 人35 人25 人 先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体分配到“经 常使用单车”和“偶尔使用单车”中去， (1)求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数； (2)为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁 且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人， 每人 1 份(其余人员仅赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自

41、A组， 求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的分布列. 解(1)从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的人数为 100 60 30020， 再将这 20 人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄 达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数为 20 45 1009. (2)A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，相应概率为 P(X0)C 3 5 C39 5 42，P(X1) C14C25 C39 10 21， P(X2)C 2 4C15 C39 5 14，P(X3) C34 C39 1 21. 故其分布列为 X0123 P 5

42、42 10 21 5 14 1 21 B 级能力提升 12.(多选题)一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，还有 4 个同样大小的白球，编号为 7，8，9，10，现从中任取 4 个球，则下列说法中正 确的是() A.取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，X 表示取出的 4 个球的总得分服 从超几何分布 B.若 X 表示取出的黑球的个数，则 X 服从超几何分布 C.若 X 表示取出白球的个数，则 P(X2)3 7 D.若 X 表示取出黑球的个数，则 P(X3)C 3 6C14C46 C410 答案ABCD 解析A，B 均根据超几何分布的定义可得正确，C 中，

43、P(X2)C 2 4C26 C410 3 7，故 正确；D 中，P(X3)P(X3)P(X4)C 3 6C14 C410 C46 C410 C36C14C46 C410 ，故正确. 13.李明参加中央电视台同一首歌大会的青年志愿者选拔，在已知备选的 10 道题中， 李明能答对其中的 6 道， 规定考试从备选题中随机地抽出 3 题进行测试， 至少答对 2 题才能入选.则李明入选的概率为_；李明答对 1 题的概率为 _. 答案 2 3 3 10 解析设所选 3 题中李明能答对的题数为 X，则 X 服从参数为 N10，M6，n 3 的超几何分布，且 P(Xk)C k 6C3 k 4 C310 (k0

44、，1，2，3). 故所求概率为 P(X2)P(X2)P(X3) C 2 6C14 C310 C 3 6C04 C310 60 120 20 120 2 3. P(X1)C 1 6C24 C310 3 10 14.(2021山东新高考模拟)为了严格监控某种零件一条生产线的生产情况，某企 业每天从该生产线上随机抽取 10 000 个零件，并测量其内径(单位：cm).根据长 期生产经验， 认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(， 2).如果加工的零件内径小于3或大于3均为不合格品，其余为合格品. (1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的 10 000 个零件中不合格的个数约为

45、多少. (2)若生产的某件产品为合格品，则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格 品，则该件产品亏损.已知每件产品的利润 L(单位：元)与零件的内径 X 有如下关 系： L 5，X3， 4，3X3. 求该企业一天从生产线上随机抽取 10 000 个零件的平均利润. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(X)0.682 7，P( 2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3. 解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3之内的概率为 0.997 3， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为 0.002 7， 因此一天内抽取的 10 000 个零件中不合格品的个数约为 10 0000.002 727. (2)结合正态分布曲线和题意可知 P(X3)0.001 35， P(3X3)0.001 35， 故随机抽取 10 000 个零件的平均利润为 10 000L10 000(50.001 3540.157 360.840 050.001 35)56 557(元).