1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20192020 学年高二级学年高二级 12 月月考学试题月月考学试题 本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，小题， 满分满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名姓名、考号考号、座座 位号等相关信息填写在答题卡指定区域内位号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；铅笔把答题卡上对应题目的答
2、案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效. 4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁. 一一、选择题选择题：本大题共本大
3、题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 60 分分. 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 A=x|x22x0 ，B=x|5x5 ，则（） A. AB=B. AB=R C. BAD. AB 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合A，观察两集合中的元素可判断出正确选项 【详解】由题意(,0)(2,)A ，AB=R， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的关系，考查并集概念，解题关键是确定集合的元素 2. 已知abR、，且0ab ，则下列结论恒成立的是（） A. 2abab B.2 ab ba C.2
4、ab ba D. 22 2abab 【答案】C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 利用基本不等式的性质,逐一判断,即可求得答案. 【详解】对于 A,没有给出a bR、 ,因此 2abab 不一定成立,故 A 错误; 对于 B,没有给出a bR、 ,因此2 ab ba 不一定成立,故 B 错误; 对于 C,若0 a b ,则0 b a abab baba 22 a b b a ,当且仅当ab时取等号; 同理0 a b 时也成立,故 C 正确; 对于 D,因为 22 2abab ,则 22 2abab 不一定成立,故 D 错误. 综上可知:只有 C
5、 正确 故选: C 【点睛】 本题考查了不等式的基本性质,掌握基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力, 属于基础题. 3. 已知 n a为等差数列，其前n项和为 n S，若 33 6,12aS，则公差d等于（） A. 1B. 5 3 C. 3D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件建立方程即可求解. 【详解】依题意，得： 31 31 26 3312 aad Sad ，解得：2d . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列公差的求解，属于基础题. 4.，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“/ /”是“/ /m”的 （） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 高考资源
6、网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用线面判定定理、面面平行的性质定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】, 表示两个不同平面，直线m是内一条直线， 若/ /，则/ /m， 所以/ /是/ /m的充分条件； 若/ /m不能推出/ /，故不是充分条件 / /是/ /m的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了线面、面面之间的关系，属于基础 题. 5. 已知函数 2 ( )lnf xxxax的单调递减区间为 1 ( ,1) 2 ，则a的值为（） A.(,
7、 3) B.3C.3D.( ,3) 【答案】B 【解析】 【分析】 等价于不等式 2 210 xax 的解集为 1 ( ,1) 2 ，利用一元二次不等式的解集即得解. 【详解】由题得 1 ( )20fxxa x 的解集为 1 ( ,1) 2 ， 所以不等式 2 210 xax 的解集为 1 ( ,1) 2 ， 所以 1 1,3 22 a a 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6. 如图， 在三棱锥OABC中，,OAOBOC abc， 点M在OA上， 且2OMMA，N 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 为B
8、C中点，则MN （） A. 211 322 abcB. 111 222 abcC. 211 322 abcD. 221 332 abc 【答案】C 【解析】 MN 11111 32322 MAABBNOAOBOABCOAOBOAOCOB 211 322 OAOBOC 211 322 abc,选 B. 7. 已知实数 ln2 2a ，22ln2b ， 2 (ln2)c ，则 a，b，c 的大小关系是（） A.cabB.cba C.bacD.acb 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数函数单调性确定0ln21，即得 b 范围，再根据指数函数单调性以及幂函数单调 性确定 a， c 范围，最后根据
9、范围可比较大小. 【详解】因为0ln21 所以 2+2ln22，因此 1 ln2 2 2， 0 2 (ln2)1， cab 故选：A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【点睛】本题考查利用对数函数单调性、指数函数单调性以及幂函数单调性比较大小，考查 基本分析判断能力，属基础题. 8. 已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 离心率为2，则其渐近线与圆 2 22 1 4 xaya 的位置关系是（） A. 相交B. 相切C. 相离 D. 与a的取 值有关 【答案】C 【解析】 【分析】 求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离即可判断. 【详解】因为一条渐近线
10、方程为0aybx，又离心率为2 c a ，所以ab，所以渐近线 方程为0yx， 由 222 1 () 4 xaya知圆心( ,0)a，半径 1 2 a， 圆心到直线的距离 21 222 aa da，所以直线与圆相离. 故选：C. 【点睛】本题考查由双曲线离心率求渐近线方程，考查直线与圆位置关系的判断，属于基础 题. 9. 设函数 3 sincoscos2 2 fxxxx 的图象为C，下面结论中正确的是（） A. 函数 fx的最小正周期是2. B. 图象C关于直线 5 12 x 对称. C. 图象C可由函数 sin2g xx的图象向右平移 3 个单位得到. D. 图象C可由函数 sin2g xx
11、的图象向左平移 6 个单位得到. 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【解析】 【分析】 将函数 ( )f x化简为( )sin 2 3 f xx ，再根据正弦函数的周期，对称性，以及图像平移即 可判断. 【详解】函数 313 ( )sin coscos2sin2cos2sin 2 2223 f xxxxxxx ， A.其周期 2 2 T ，因此A不正确； B.把 5 12 x 代入可得: 55 sin 2sin1 121232 f ，因此图象 C 关于直线 5 12 x 对称，因此B正确； C.函数( )sin2g xx的图象向右平移 3 个单位得到
12、2 sin2sin 2 33 yxx ，因此C 不正确； D.函数( )sin2g xx的图象向左平移 6 个单位得到sin2sin 2 63 yxx ，因此 D不正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的是正弦函数的图像和性质以及图像变换，熟练掌握正弦函数的图像 和性质以及图像变换的知识是解决本题的关键，是中档题. 10. 设函数 ( )f x在R上可导，其导函数为 ( ) fx，且函数 ( )f x在 2x 处取得极小值，则函 数( )yxfx 的图象可能是（） A.B. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用极限值的
13、意义， 可知函数 ( )f x在 2x 左侧附近为减函数， 在2x 右侧附近为增函数， 从而可以判断( )yxfx 的值的正负，可以做出正确决定. 【详解】由题意可得，( 2)0f ， 当2x 时，( )0fx ，则( )0yxfx ，故排除 B、D； 当20 x 时，( )0fx ，所以当2,0 x 时，( )0yxfx ， 当0 x 时，( )0yxfx ，故排除 A， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系， 属于基础题. 11. 如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（） A. 4 3 B. 3 2 C. 5 5
14、6 D. 6 【答案】C 【解析】 解：如图所示，该几何体为长宽高为2,1,1的长方体中的三棱锥PABC，结合三棱锥的几 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 何特征可知，取,AC A C的中点,N M，则球心位置为MN的中点O，半径为： 22 5 2 ROBONBN ， 此三棱锥的外接球的体积为 3 54 3 5 6 VR . 本题选择 C 选项. 点睛：点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到 的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面， 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征
15、，调整实线和虚线所对应的棱、面 的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 12. 已知 ( )f x、( )g x都是定义域为R的连续函数.已知：( )g x满足： 当 0 x 时，( )0g x 恒成立；Rx 都有( )()g xgx. ( )f x满足： Rx 都有(1)(1)f xf x； 当 1,1x 时， 3 ( )33f xxx.若关于x的不等式 2 2 3 ( )() 3 g f xg aa 对 4 8 , 3 3 x恒成立，则a的取值范围是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - A.RB.1,)C.0,1D. (,0 1,) 【答案】D 【解析】
16、【分析】 根据条件可知( )g x是偶函数，且在( ) 0,+上单调递增，从而可将不等式转化为 4 8 , 3 3 x 时， 2 max 2 3 |( )| 3 f xaa恒成立，根据条件求出函数( )f x在 4 8 , 3 3 上的表达式，进而 求出最大值，从而解不等式即可. 【详解】因为Rx 都有( )()g xgx，所以( )g x是偶函数， 又当0 x 时，( )0g x 恒成立，所以( )g x在( ) 0,+上单调递增， 所以 2 2 3 ( )() 3 g f xg aa 等价于 2 2 3 |( )| 3 f xaa， 只需 2 max 2 3 |( )| 3 f xaa，
17、4 8 , 3 3 x. 因为Rx 都有(1)(1)f xf x，即( )(2)f xf x，所以 ( )f x是周期函数，周期为 2， 当1,3x时，21,1x ，所以 3 ( )23232f xf xxx， 故 4 8 , 3 3 x时， 3 ( )3232f xxx， 求导得， 2 ( )923fxx，令( )0fx ，解得 1 34 8 2 , 33 3 x ， 2 38 2 33 x ， 当 43 ,2 33 x 时，( )0fx ，此时 ( )f x单调递增；当 3 8 2, 33 x 时，( )0fx ， 此时 ( )f x单调递减， 所以 4 8 , 3 3 x时， 3 max
18、 ( )3232 333 222 333 f xf 2 3 3 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 所以 2 2 32 3 33 aa， 又因为 2 2 2 312 31 0 3234 aaa ，所以 22 2 32 3 33 aaaa， 则 2 2 32 3 33 aa ，解得1a 或0a . 所以实数a的取值范围是(,01,). 故选：D. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性及周期性的应用，考查利 用导数研究函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每
19、小题 5 分，满分分，满分 20 分第分第 16 题为多选题，选题为多选题，选 错得错得 0 分，选不全得分，选不全得 2 分，选全对得分，选全对得 5 分分. 13. 已知向量, a b 的夹角为45，且1,2ab ，则ab _ 【答案】1 【解析】 【分析】 由 2 ()abab 即可求出. 【详解】 22 2 2 ()2122 12 2 abababa b rrrrrrr r 1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查转化法求向量模，属于基础题. 14. 椭圆 C: 22 22 1 xy ab (0)ab的离心率为 1 2 ，焦距为 2，则椭圆的短轴长为_ 【答案】2 3 【解析】 【分析】
20、 由焦距可得 c，离心率得到 a，再根据 222 bac 可得答案. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【详解】因为椭圆的离心率为 1 2 ，焦距为 2，1c 11 2 c e aa ，所以2a ， 由 222 4 13bac ，得 3b ， 则椭圆的短轴长2 2 3b ， 故答案为：2 3. 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题. 15. 若函数( )cos2sinf xxax在区间(,) 6 2 内是减函数，则实数a的取值范围是 _. 【答案】2a 【解析】 试题分析： 2sin2cos4sincoscoscos4sin., 6 2 fxxaxx
21、xaxxxax 时， fx是减函数， 又cos0 x ， 由 0fx 得4sin0,4sinxaax在, 6 2 上恒成立，min4sin,2 6 2 axxa 考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用 16. 设函数 32 ( )32f xxxx，若 1 x， 212 ()xxx是函数( )( )g xf xx的两个极值 点，现给出如下结论，正确的是_ 12 2xx；1 ；当10 时， 12 ()()f xf x； 2 ()0g x； 1 ()0g x 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数( )( )g xf xx求导，得到 2 ( )362g xxx，根据题中条件，得到 1 x， 高考
22、资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 212 ()xxx即为方程 2 3620 xx 的两根，根据韦达定理以及判别式即可判定正 确；当10 时，设( )0fx 的两个根为,()m nmn，y与( )yfx 的交点横 坐标为 12 ,x x， 根据函数单调性， 即可判定正确； 再由题意， 得到 12 1xx ， 分别计算 1 ()g x 和 2 ()g x，即可判定出都错. 【详解】由题意， 32 3( )2xg xxxx ， 则 2 ( )362g xxx， 因为 1 x， 212 ()xxx是函数( )( )g xf xx的两个极值点， 而一元二次方程 2 3620
23、xx 最多有两个根， 因此 1 x， 212 ()xxx即为方程 2 3620 xx 的两根， 所以 12 6 2 3 xx，且=36 12(2)0，解得1 ；故正确； 当10 时，设( )0fx 的两个根为,()m nmn，y与( )yfx 的交点横坐标 为 12 ,x x，则 12 mxxn， 所以( )yf x在 12 ( ,)x x上单调递减，所以正确； 又由 1 x， 2 x为方程 2 3620 xx 的两根，则 12 1xx ， 所以 32222 1111111111111 ()32= (32)336g xxxxxx xxxxxxx 2 11 230 xx，故错； 同理 2 222
24、 ()( 23)g xxx符号不确定，故错. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法判定函数单调性，考点由函数的极值点 求参数，属于常考题型. 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，满分满分 70 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明、证明过程和演证明过程和演 算步骤算步骤 17. ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知21a ，ABC的外接圆半 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 径为 7 （1）求角A的值； （2）若1cb，求ABC的面积 【答案】 （1）= 3 A 或 2 = 3 A ； （2）5 3或
25、5 3 3 . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理2 sin a R A ，结合已知条件即可求角A； （2）根据（1）的结论，由余弦定 理求出bc的值，应用三角形面积公式即可求ABC的面积. 【详解】(1)因为 21a ，ABC的外接圆半径 = 7R ， 根据正弦定理2 sin a R A ，得 21 2 7 sin A ，所以 3 sin 2 A ，又0A， 所以= 3 A 或 2 = 3 A . (2)由21,1acb， 当= 3 A 时， 根据余弦定理 222 2cosabcbcA ， 得 22 21(1)2 (1)cos 3 bbb b ， 即 2 21()cbbc，所以20bc ，
26、 所以 1 =sin5 3 2 ABC SbcA ； 当 2 = 3 A 时，根据余弦定理 222 2cosabcbcA ，得 22 2 21(1)2 (1)cos 3 bbb b ，即 2 21()3cbbc，所以 20 3 bc ， 所以 15 3 =sin 23 ABC SbcA . 【点睛】本题考查了正余弦定理，由正弦定理边角与外接圆半径的关系求角，以及利用余弦 定理结合三角形面积公式求三角形面积，属于简单题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 18. 设 n S是数列的前n项和，已知 1 3a ， 1 23 nn aSnN . （1）求数列 n a的通
27、项公式； （2）令21 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 （1）3n n a ； （2） 1 1 33 n n Tn . 【解析】 【分析】 （1）当2n 时，由 1 23 nn aS ，得 1 23 nn aS ，两式相减即得数列 n a的通项； （2）利用错位相减法求数列 n b的前n项和 n T. 【详解】 （1）当2n 时，由 1 23 nn aS ，得 1 23 nn aS ， 两式相减，得 11 222 nnnnn aaSSa ， 1 3 nn aa ， 1 3 n n a a ， 当1n 时， 1 3a ， 21 239aS，则 2 1 3 a a .
28、数列 n a是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 3n n a . （2）由（1）得2121 3 n nn bnan 22 1 3 3 35 321 3n n Tn 2341 31 33 35 321 3n n Tn 错位相减得 231 21 32 32 32 321 3 nn n Tn 所以 1 1 9(1 3) 23221 3 1 3 n n n Tn ， 所以 1 2622 3n n Tn ， 1 1 33 n n Tn . 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列的通项和错位相减法求和，意在考查 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 学生对这些知
29、识的理解掌握水平. 19. 如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点 G， 2ABBD，3AE ，EADEAB.（1）证明：平面ACFE 平面ABCD； （2） 若AE与平面ABCD所成角为60，求二面角BEFD的余弦值. 【答案】 （1）见解析； （2） 5 13 【解析】 试题分析： （1）根（1）要证面面垂直，需要找线面垂直，本题中重点分析线段BD，利用条 件底面是菱形可得BDAC，通过全等可知EDEB，从而BDEG，故BD是平面 ACFE的垂线，从而得证； （2）涉及二面角的计算，一般需要建系设点，计算平面的法向量， 利用二面角与法向量夹角之
30、间的关系处理，需要注意建系时分析清楚哪三条线互相垂直 试题解析： （1）证明：连接EG， 四边形ABCD为菱形， ,ADAB BDAC DGGB， 在EAD和EAB中， ,ADAB AEAE， EADEAB ， EADEAB ， EDEB， BDEG， ACEGG， BD 平面ACFE， BD 平面ABCD， 平面ACFE 平面ABCD； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （2） 解法一：过G作EF垂线，垂足为M，连接,MB MG MD，易得EAC为AE与面ABCD 所成的角， 0 60EAC ， ,EFGM EFBD， EF 平面BDM， DMB为二面角BEF
31、D的平面角， 可求得 313 , 22 MGDMBM ， 在DMB中由余弦定理可得： 5 cos 13 BMD， 二面角BEFD的余弦值为 5 13 ； 解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面 ACFE 平面ABCD， MG 平面ABCD， 直线,GM GA GB两两互相垂直， 分别GAGBGM、为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系G xyz， 易得EAC为AE与平面ABCD所成的角， 0 60EAC ， 则 333 33 0, 1,0 ,0,1,0 ,0,0, 2222 DBEF ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17
32、 - 3333 2 3,0,0 , 1,1, 2222 FEBEDE ， 设平面BEF的一个法向量为, ,nx y z ，则 0n FE 且 0nBE ， 0 x ，且 33 0 22 xyz 取2z ，可得平面BEF的一个法向量为0,3,2n ， 同理可求得平面DEF的一个法向量为0,3, 2m ， 5 cos, 13 n m ， 二面角BEFD的余弦值为 5 13 20. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之 间的关系式为： 2 1 24200 5 px，且生产x吨的成本为50000200Rx（元）. （）写出月利润y(元)关于月生产量x（吨）的函
33、数解析式； （）问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】 （） 3 1 2400050000 0110 10 5 yxxx ； （）每月生产 200 吨产品 时利润达到最大，最大利润为 315 万元. 【解析】 【分析】 （）由题意可得月利润=y pxR,即可得解析式； （）通过求导，研究极值，即可得出最值，计算可得结果. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 【详解】解： （）每月生产x吨产品时的利润为 2 1 (24200)(50000200 ) 5 yxxx 3 1 2400050000 5 xx ，由0p ，可知0 110 1
34、0 x ， 所以 3 1 2400050000 0110 10 5 yxxx . （）由 2 3 ( )240000 5 fxx ，解得 12 200,200 xx （舍去） 由( )0fx ，得0200 x；由( )0fx ，得200 x ； ( )yf x在(0,200)递增，在(200,)递减，故( )yf x在200 x 取得极大值，也是最 大值. 最大值为： 3 1 (200)(200)24000 200500003150000 5 f （元）. 答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元. 【点睛】此题考查实际问题的函数模型，运用导数求最值问题，属于较易题
35、目. 21. 在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线1x 的距离相等 （1）求动点E的轨迹C的方程； （2）设动直线: l ykxb与曲线C相切于点P，与直线1x 相交于点Q 证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点 【答案】 （1） 2 4yx； （2）(1,0)M 【解析】 试题分析： （1） 设出动点E的坐标为, x y， 然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程； （2） 设出直线l的方程为：y kxb （0k ） ，联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二 次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐 标，然后由向量,MQ
36、MP 的数量积为 0 证得答案，并求得M的坐标 试题解析： （1）解：设动点 E 的坐标为, x y， 由抛物线定义知，动点 E 的轨迹是以1,0为焦点，1x 为准线的抛物线， 所以动点 E 的轨迹 C 的方程为 2 4yx 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - （2）证明：由 2 4 ykxb yx ，消去x得： 2 440kyyb 因为直线 l 与抛物线相切，所以16 160kb ，即 1 b k 所以直线 l 的方程为 1 ykx k 令1x ，得 1 yk k 所以 Q 1 1, k k 设切点坐标 00 ,P xy，则 2 00 4 4+0kyy k ，
37、解得： 2 12 ,P kk ， 设,0M m， 2 121 1 k MQ MPmmk kk 2 2 1 =2 m mm k 所以当 2 2=0 10 mm m ，即10mMQ MP 时，所以MQ MP 所以以 PQ 为直径的圆恒过x轴上定点1,0M 22. 已知函数 2 ( )ln 2 x f xxkx，其中Rk. （）若曲线( )yf x在1x 处的切线与直线2xy平行，求实数k的值； （）讨论函数 ( )f x的单调性； （III）若 ( )f x存在极值，证明( )yf x 有唯一零点 0 x. 【答案】 （）3k ； （）答案见解析； （III）证明见解析. 【解析】 【分析】 （）
38、利用导数的几何意义求解出切线斜率，将切线与直线的平行关系转化为斜率的关系， 从而求解出k的值； （）对k与2的关系作分类讨论，当k2时借助基本不等式进行分析，当2k 时根据一 元二次方程根的情况进行分析，由此得到 fx的单调性； （III） 根据 （） 的结论得到k的取值范围， 分析 fx在 2 0,x上的取值情况， 再结合2fk 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 的取值正负完成证明. 【详解】解： （） 1 ( )0fxxk x x ，曲线( )yf x在 1x 处的切线与直线 2xy平行， (1)1 f ，即21k ，故3k ； （）函数 ( )f x的定义
39、域为(0,). 当k2时， 11 ( )220fxxkxkk xx 恒成立，故 ( )f x在(0,)上单调 递增； 当2k 时， 2 11 ( ) xkx fxxk xx ，令( )0fx ，得 2 10 xkx . 2 40k ，方程 ( )0fx有两不等实根 22 12 44 , 22 kkkk xx . 12 0 xxk， 12 10 x x ， 21 0 xx. 令( )0fx ，得 1 0 xx或 2 xx；令( )0fx，得 12 xxx. 综上所述，当k2时， ( )f x在(0,)上单调递增；当 2k 时， ( )f x在 2 4 0, 2 kk 上单调递增， 在 22 44
40、 , 22 kkkk 上单调递减，在 2 4 , 2 kk 上单调递增. 另法（常规方法） ：讨论 2 4k 的符号. 当 2 40k ， 即22k 时， 2 10 xkx 恒成立， 则( )0fx ，( ) f x在(0,)上 递增； 当 2 40k ，即2k 或2k 时，方程 ( )0fx有两不等实根 12 ,x x. （i）当2k 时，由 1212 0,10 xxkx x 知 12 0 xx，则 12 ()() ( )0 xxxx fx x 恒成立，故( )f x在(0,)上递增； （ii）当2k 时，由 1212 0,10 xxkx x 知 21 0 xx， 高考资源网（）您身边的高考
41、专家 版权所有高考资源网 - 21 - 令( )0fx ，得 1 0 xx或 2 xx；令( )0fx，得 12 xxx. 故 ( )f x在 1 (0,)x、 2 (,)x 上递增，在 12 ( ,)x x上递减. 综上，当k2时， ( )f x在(0,)上单调递增；当 2k 时， ( )f x在 2 4 0, 2 kk 上单 调递增， 在 22 44 , 22 kkkk 上单调递减，在 2 4 , 2 kk 上单调递增. （III）由（）知，当k2时， ( )f x无极值. 当2k 时，由 2 1 2 42 01 2 4 kk x kk 知： ( )f x的极大值 1 111 ()ln()0 2 x f xxxk， ( )f x的极小值 21 ()()0f xf x，故( )f x在 2 (0 x,上无零点 2 2 4 (2 )ln(2 )2ln(2 )0 2 k fkkkk，又 2 2 4 1 2 kk xk ， （用极限,( )xf x 说明，也不扣分） 故函数 ( )f x有唯一零点 0 x 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到导数的几何意义、利用导数分析函数 的单调性、利用导数分析函数的零点个数，考查学生利用导数解决问题的综合能力，难度较 难.
