第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型.doc

1、1 第二章第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型 一、内容提要一、内容提要 本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，本章从总体回归模型与总体回归 函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。总体回 归函数是对总体变量间关系的定量表述， 由总体回归模型在若干基本假设下得到， 但它只是 建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总 体回归函数做出统计推断。 本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS） 的学习与掌握。同时，也介绍了极大似然估计

2、法（ML）以及矩估计法（MM） 。 本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所 谓的统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度” ， 第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检 验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的 t 检验完成；第二， 检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。 本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归函数参数的估计以 及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。

3、 其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性 与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。 Goss-markov 定理表明 OLS 估计量 是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个 值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。 二、典型例题分析二、典型例题分析 例 1、令 kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。生 育率对教育年数的简单回归模型为 educkids 10 2 （1）随机扰动项包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？ （2）上述简单回归分析能够揭示教育对

4、生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。 解答：解答： （1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上 述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与增长率水平相关，如 收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。 （2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平 educ 相关时，上述回 归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响， 因为这时出现解释变量与随机扰 动项相关的情形，基本假设 4 不满足。 例 2 已知回归模型NE， 式中 E 为某类公司一名新员工的起始薪金 （元） ， N 为所受教育水平（年） 。

5、随机扰动项的分布未知，其他所有假设都满足。 （1）从直观及经济角度解释和。 （2）OLS 估计量和 满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。 （3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。 解答：解答： （1）N为接受过 N 年教育的员工的总体平均起始薪金。当 N 为零时，平均薪金 为，因此表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。是每单位 N 变化所引起的 E 的 变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。 （2）OLS 估计量和仍 满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需 随机扰动项的正态分布假设。 （3）如果 t 的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为 t

6、检验与 F 检验是建立 在的正态分布假设之上的。 例 3、在例 2 中，如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为 100 元，估计的 截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月， 估计的截距 项与斜率项有无变化？ 解答：解答： 首先考察被解释变量度量单位变化的情形。以 E*表示以百元为度量单位的薪金，则 3 NEE100* 由此有如下新模型 )100/()100/()100/(*NE 或*NE 这里100/*，100/*。所以新的回归系数将为原始模型回归系数的 1/100。 再考虑解释变量度量单位变化的情形。 设 N*为用月份表示的新员工受教育的时间长度， 则

7、N*=12N，于是 )12/*(NNE 或*)12/(NE 可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的 1/12。 例 4、对没有截距项的一元回归模型 iii XY 1 称之为过原点回归（regrission through the origin） 。试证明 （1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程组 0 0 ii i Xe e 则可以得到 1 的两个不同的估计值：XY 1 ， 2 1 iii XYX。 （2）在基本假设0)( i E下， 1 与 1 均为无偏估计量。 （3）拟合线XY 1 通常不会经过均值点),(YX，但拟合线XY 1 则相反。 （4）只有 1 是 1 的

8、 OLS 估计量。 解答：解答： （1）由第一个正规方程0 t e得 0) ( 1 tt XY 或 tt XY 1 求解得XY / 1 4 由第 2 个下规方程0) ( 1 ttt XYX得 2 1 t t t XYX 求解得)/()( 2 1 ttt XYX （2）对于XY / 1 ，求期望 11 1 11 )() 1 )( 1 1 )() ( X X E n X E X X n E X XYEE t t tt 这里用到了 t X的非随机性。 对于)/()( 2 1 ttt XYX，求期望 )/() ( 2 1 ttt XYXEE 1 2 2 1 2 1 22 )() 1 ()() 1 (

9、)() 1 ()() 1 ( tt t t t ttt t tt t EX X X X XXE X YXE X （3）要想拟合值XY 1 通过点),(YX，X 1 必须等于Y。但X X YX X t tt 2 1 ， 通常不等于Y。这就意味着点),(YX不太可能位于直线XY 1 上。 相反地，由于YX 1 ，所以直线XY 1 经过点),(YX。 （4）OLS 方法要求残差平方和最小 Min 2 1 2 ) ( ttt XYeRSS 关于 1 求偏导得 0)( (2 1 1 ttt XXY RSS 即0) ( 1 ttt XYX 2 1 iii XYX 5 可见 1 是 OLS 估计量。 例 5

10、假设模型为 ttt XY。给定n个观察值),( 11 YX，),( 22 YX， ),( nn YX，按如下步骤建立的一个估计量：在散点图上把第 1 个点和第 2 个点连接起来 并计算该直线的斜率； 同理继续， 最终将第 1 个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜 率；最后对这些斜率取平均值，称之为 ，即 的估计值。 （1）画出散点图，给出 的几何表示并推出代数表达式。 （2）计算 的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解 释理由。 （3）证明为什么该估计值不如我们以前用 OLS 方法所获得的估计值，并做具体解释。 解答：解答： （1）散点图如下图所示。 （X2,Y2）

11、 （Xn,Yn） （X1,Y1） 首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接),( 11 YX和),( tt YX的直线斜率为 )/()( 11 XXYY tt 。由于共有n1 条这样的直线，因此 1 1 2 1 1 nt t t t XX YY n （2）因为 X 非随机且0)( t E，因此 )()( 1 1 1 11 1 1 XX E XX XX E XX YY E t t t tt t t 这意味着求和中的每一项都有期望值，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏 的。 （3）根据高斯马尔可夫定理，只有的 OLS 估计量是最付佳线性无偏估计量，因此， 这里得到的 的有效性不如 的 OL

12、S 估计量，所以较差。 6 例 6 对于人均存款与人均收入之间的关系式 ttt YS使用美国 36 年的年度数 据得如下估计模型，括号内为标准差： )011. 0()105.151( 067. 0105.384 tt YS 2 R0.538023.199 （1）的经济解释是什么？ （2）和的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话， 你可以给出可能的原因吗？ （3）对于拟合优度你有什么看法吗？ （4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在 1%水平下） 。同时对零假设和备择假 设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答：解答： （

13、1）为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加 1 美元时人均储蓄的预期平均变 化量。 （2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此符 号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期的符号为正。 实际的回归式中，的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与 由于模型的错误设定形造成的。 如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为， 省略该变量将对 截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。 （3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中 53.8%的拟合优度， 表明收入的变化可以解释储蓄中 53.8 %的变动。

14、（4）检验单个参数采用 t 检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量 情形下在零假设下 t 分布的自由度为 n-2=36-2=34。由 t 分布表知，双侧 1%下的临界值位于 2.750 与 2.704 之间。斜率项计算的 t 值为 0.067/0.011=6.09，截距项计算的 t 值为 384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的 t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝 斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。 三、习题三、习题 7 （一）基本知识类题型 2-1解释下列概念： 1)总体回归函数 2)样本回归函数 3)随机的总体回归函数 4)线性回归模型

15、5)随机误差项（ui）和残差项（ei） 6)条件期望 7)非条件期望 8)回归系数或回归参数 9)回归系数的估计量 10) 最小平方法 11) 最大似然法 12) 估计量的标准差 13) 总离差平方和 14) 回归平方和 15) 残差平方和 16) 协方差 17) 拟合优度检验 18) t 检验 19) F 检验 2-2判断正误并说明理由： 1)随机误差项 ui和残差项 ei是一回事 2)总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3)线性回归模型意味着变量是线性的 4)在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果 5)随机变量的条件均值与非条件均值是一回事 2-3回答下列问题：

16、1)线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？ 2)总体方差与参数估计误差的区别与联系。 3)随机误差项 ui和残差项 ei的区别与联系。 4)根据最小二乘原理， 所估计的模型已经使得拟合误差达到最小， 为什么还要讨论模型的 拟合优度问题？ 5)为什么用决定系数 R2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？ 6)R2 检验与 F 检验的区别与联系。 7)回归分析与相关分析的区别与联系。 8 8)最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？ 9)为什么要进行解释变量的显著性检验？ 10) 是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行

17、分析？ 2-2下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？ yxtn tt 12 , , yxtn ttt 12 , , yxtn ttt , ,12 , ,yxtn ttt 12 yxtn tt , ,12 , ,yxtn tt 12 yxtn ttt , ,12 , ,yxtn ttt 12 其中带“”者表示“估计值” 。 2-3下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正 的、负的、还是无法确定？并说明理由。 因变量自变量 GNP利率 个人储蓄利率 小麦产出降雨量 美国国防开支前苏联国防开支 棒球明星本垒打的次数其年薪 总统声誉任职时间 学生计量经济学成绩其

18、统计学成绩 日本汽车的进口量美国人均国民收入 （二）基本证明与问答类题型 2-4对于一元线性回归模型，试证明： （1） ii xyE)( （2） 2 )( i yD 9 （3）0),( ji yyCovji 2-5参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过 程说明， 为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性 和有效性？ 2-6对于过原点回归模型 iii uXY 1 ，试证明 2 2 1) ( i u X Var 2-7 试证明： （1）0 i e，从而：0e （2）0 iix e （3）0 iiY e；即残差 i e与 i Y的估

19、计值之积的和为零。 2-8为什么在一元线性方程中，最小二乘估计量与极大似然估计量的表达式是一致的？证 明：2的 ML 估计量为 n i i n 1 2 2 1 ，并且是有偏的。 2-9熟悉 t 统计量的计算方法和查表判断。 2-10证明： 22 )( yx rR ；其中 R2是一元线性回归模型的判定系数， yx r是 y 与 x 的相关 系数。 2-11 试根据置信区间的概念解释 t 检验的概率意义，即证明：对于显著性水平，当 2 tti时，bi的 100（1-）%的置信区间不包含 0。 2-12线性回归模型 yxtn ttt 12 , , 的 0 均值假设是否可以表示为 1 0 1 n t

20、t n ？为什么？ 2-13现代投资分析的特征线涉及如下回归方程： tmtt urr 10 ；其中：r 表示股票 或债券的收益率；rm表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔 500 指数） ；t 表示时间。在投资分析中，1被称为债券的安全系数，是用来度量市场的风险程度的， 即市场的发展对公司的财产有何影响。依据 19561976 年间 240 个月的数据，Fogler 和 Ganpathy 得到 IBM 股票的回归方程；市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数： 10 mt trr0598. 17264. 0 4710. 0 2 r (0.3001)(0.0728) 要求： （1

21、）解释回归参数的意义； （2）如何解释 r2？（3）安全系数1 的证券称为不稳定 证券，建立适当的零假设及备选假设，并用 t 检验进行检验（=5%） 。 2-14 已知模型 iii uxY，证明：估计量可以表示为： ii n i yWx n ) 1 ( 1 这 里 2 i i i x x W 2-15已知两个量 X 和 Y 的一组观察值（xi，yi） ，i=1，2，n。 证明：Y 的真实值和拟合值有共同的均值。 2-16 一个消费分析者论证了消费函数 ii bYaC是无用的， 因为散点图上的点 （ i C， i Y） 不在直线 ii bYaC上。他还注意到，有时 Yi上升但 Ci下降。因此他下

22、结论：Ci不是 Yi 的函数。请你评价他的论据（这里 Ci是消费，Yi是收入） 。 2-17证明：仅当 R2=1 时，y 对 x 的线性回归的斜率估计量等于 x 对 y 的线性回归的斜率 估计量的倒数。 2-18证明：相关系数的另一个表达式是： y x S S r 其中 为一元线性回归模型一次项 系数的估计值，Sx、Sy分别为样本标准差。 2-19对于经济计量模型： iii uXbbY 10 ，其 OLS 估计参数 1 b的特性在下列情况下 会受到什么影响： （1）观测值数目 n 增加； （2）Xi 各观测值差额增加； （3）Xi 各观测值近 似相等； （4）E（u2）=0 。 2-20假定有

23、如下的回归结果： tt XY4795. 06911. 2 ，其中，Y 表示美国的咖啡的消费 量（每天每人消费的杯数） ，X 表示咖啡的零售价格（美元/杯） ，t 表示时间。 要求： （1）这是一个时间序列回归还是横截面序列回归？做出回归线； （2）如何解释截距的意义，它有经济含义吗？如何解释斜率？ （3）能否求出真实的总体回归函数？ 11 （4）根据需求的价格弹性定义：弹性=斜率（X/Y） ，依据上述回归结果，你能求出对咖 啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？ （三）基本计算类题型 2-21下面数据是对 X 和 Y 的观察值得到的。 Yi=1110； Xi=1680；

24、XiYi=204200 Xi2=315400； Yi2=133300 假定满足所有的古典线性回归模型的假设， 要求： （1） b1和 b2？（2） b1和 b2的标准差？（3） r2？（4）对 B1、B2分别建立 95%的置信区间？利用置信区间法，你可以接受零假设：B2=0 吗？ 2-22假设王先生估计消费函数（用模型 iii ubYaC表示） ，并获得下列结果： i iYC81. 015 ，n=19 （3.1） (18.7)R2=0.98这里括号里的数字表示相应参数的 T 比率值。 要求： （1）利用 T 比率值检验假设：b=0（取显著水平为 5%） ； （2）确定参数估计量的标准 方差；

25、（3）构造 b 的 95%的置信区间，这个区间包括 0 吗？ 2-23下表给出了每周家庭的消费支出 Y（美元）与每周的家庭的收入 X（美元）的数据。 每周收入（X）每周消费支出（Y） 8055，60，65，70，75 10065，70，74，80，85，88 12079，84，90，94，98 14080，93，95，103，108，113，115 160102，107，110，116，118，125 180110，115，120，130，135，140 200120，136，140，144，145 220135，137，140，152，157，160，162 240137，145，155，1

26、65，175，189 260150，152，175，178，180，185，191 要求要求： （1）对每一收入水平，计算平均的消费支出，E（YXi） ，即条件期望值； （2）以收入为横轴、消费支出为纵轴作散点图； （3）在散点图中，做出（1）中的条件均值点； （4）你认为 X 与 Y 之间、X 与 Y 的均值之间的关系如何？ （5）写出其总体回归函数及样本回归函数；总体回归函数是线性的还是非线性的？ 12 2-24根据上题中给出的数据，对每一个 X 值，随机抽取一个 Y 值，结果如下： Y70659095110115120140155150 X801001201401601802002202

27、40260 要求： （1）以 Y 为纵轴、X 为横轴作图，并说明 Y 与 X 之间是怎样的关系？ （2）求样本回归函数，并按要求写出计算步骤； （3） 在同一个图中， 做出样本回归函数及从上题中得到的总体回归函数； 比较二者相同吗？ 为什么？ 2-25下表给出了 19901996 年间的 CPI 指数与 S&P500 指数。 年份CPIS&P500 指数 1990130.7334.59 1991136.2376.18 1992140.3415.74 1993144.5451.41 1994148.2460.33 1995152.4541.64 1996159.6670.83 资料来源：总统经济

28、报告，1997，CPI 指数见表 B-60，第 380 页；S&P 指数见表 B-93，第 406 页。 要求： （1）以 CPI 指数为横轴、S&P 指数为纵轴做图； （2）你认为 CPI 指数与 S&P 指数之间关系如何？ （3） 考虑下面的回归模型： ttt uCPIBBPS 21 )&(， 根据表中的数据运用 OLS 估计上述方程，并解释你的结果；你的结果有经济意义吗？ 2-26下表给出了美国 30 所知名学校的 MBA 学生 1994 年基本年薪（ASP） 、GPA 分数（从 14 共四个等级） 、GMAT 分数以及每年学费的数据。 学校ASP/美元GPAGMAT学费/美元 Harv

29、ard1026303.465023894 Stanford1008003.366521189 Columbian1004803.364021400 Dartmouth954103.466021225 Wharton899303.465021050 Northwestern846403.364020634 Chicago832103.365021656 MIT805003.565021690 Virginia742803.264317839 UCLA740103.564014496 13 Berkeley719703.264714361 Cornell719703.263020400 NUY70

30、6603.263020276 Duke704903.362321910 CarnegieMellon598903.263520600 North Carolina698803.262110132 Michigan678203.263020960 Texas618903.36258580 Indiana585203.261514036 Purdue547203.25819556 Case Western572003.159117600 Georgetown698303.261919584 Michigan State418203.259016057 Penn State491203.258011

31、400 Southern Methodist609103.160018034 Tulane440803.160019550 Illinois471303.261612628 Lowa416203.25909361 Minnesota482503.260012618 Washington441403.361711436 要求： （1）用双变量回归模型分析 GPA 是否对 ASP 有影响？ （2）用合适的回归模型分析 GMAT 分数是否与 ASP 有关？ （3）每年的学费与 ASP 有关吗？你是如何知道的？如果两变量之间正相关，是否意 味着进到最高费用的商业学校是有利的； （4）你同意高学费的商业

32、学校意味着高质量的 MBA 成绩吗？为什么？ 2-27从某工业部门抽取 10 个生产单位进行调查，得到下表所列的数据： 单位序号年产量（万吨）y工作人员数（千人）x 1210.87.062 2210.17.031 3211.57.018 4208.96.991 5207.46.974 6205.37.953 7198.86.927 8192.16.302 9183.26.021 10176.85.310 要求： 假定年产量与工作人员数之间存在线性关系， 试用经典回归估计该工业部门的生产函 14 数及边际劳动生产率。 2-28下表给出了 1988 年 9 个工业国的名义利率（Y）与通货膨胀率（X

33、）的数据： 国家Y（%）X（%） 澳大利亚11.97.7 加拿大9.44.0 法国7.53.1 德国4.01.6 意大利11.34.8 墨西哥66.351.0 瑞典2.22.0 英国10.36.8 美国7.64.4 资料来源：原始数据来自国际货币基金组织出版的国际金融统计 要求： （1）以利率为纵轴、通货膨胀率为横轴做图； （2）用 OSL 进行回归分析，写出求解步骤； （3）如果实际利率不变，则名义利率与通货膨胀率的关系如何？ （四）自我综合练习类题型 2-29综合练习：自己选择研究对象，收集样本数据（利用我国公开发表的统计资料） ，应 用计量经济学软件（建议使用 Eviews3.1）完成建

34、立计量经济学模型的全过程，并写出详细 的研究报告。 （通过练习，能够熟练应用计量经济学软件 Eviews3.1 中的最小二乘法） 四、习题参考答案四、习题参考答案 2-1答： 总体回归函数是指在给定 i X下的Y的分布的总体均值与 i X有函数关系。 样本回归函数指对应于某个给定的X的Y值的一个样本而建立的回归函数。 随机的总体回归函数指含有随机误差项的总体回归函数，形如： iii uXY 21 线性回归模型指对参数为线性的回归，即只以它的 1 次方出现，对X可以是或 不是线性的。 随机误差项也称误差项，是一个随机变量，针对总体回归函数而言。 15 残差项是一随机变量，针对样本回归函数而言。

35、条件期望又称条件均值，指X取特定 i X值时的Y的期望值。 回归系数（或回归参数）指 1 、 2 等未知但却是固定的参数。 回归系数的估计量指用 1 、 2 等表示的用已知样本所提供的信息去估计出来的量。 估计量的标准差指度量一个变量变化大小的标准。 总离差平方和用 TSS 表示，用以度量被解释变量的总变动。 回归平方和用 ESS 表示，用以度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化。 残差平方和用 RSS 表示，用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量以 外的其他因素引起的。 协方差用 Cov（X，Y）表示，是用来度量 X、Y 二个变量同时变化的统计量。 2-2答：错；错；错；错；错。

36、 （理由见本章其他习题答案） 2-3答： 线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本假设）是：解释变量是 确定性变量，而且解释变量之间互不相关；随机误差项具有 0 均值和同方差；随机误差项在 不同样本点之间是独立的，不存在序列相关；随机误差项与解释变量之间不相关；随机误差 项服从 0 均值、同方差的正态分布。违背基本假设的计量经济学模型还是可以估计的，只是 不能使用普通最小二乘法进行估计。 判定系数 TSS RSS TSS ESS R1 2 ， 含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解 释变量总变化的比重，用来判定回归直线拟合的优劣。该值越大说明拟合得越好。 不是。 2-8证明

37、： 由于 2 1 t tt X YX ，因此 )()()() ( 1 2 222 1tt t t t t t t tt XVar X X Y X X Var X YX VarVar 2 2 22 2 2 22 2 )( )( )( tt t t t t XX X Var X X 2-9证明： 16 根据定义得知， )( )()( 2121 2121 XYnXnnYn XnYXYYYe iiiiiii XY 21 0 i e 从而使得：0 n e e i 证毕。 0 0 ) 1( )( ( )()( ) ()( ( ii i iii iiiiiiiii iiiiiiii iiiiiiiiii X

38、e nXe XeXe XeYXXeXYYXXY eYXXeYYXXY YXYXYXXYXXYYXe 证毕。 0 )( 21 2121 ii iiiiiii eXne XeeXeYe 证毕。 2-14答：线性回归模型： ttt xy中的 0 均值假设0)E( 2 u不可以表示为： 1 0 1 n t t n ， 因为前者表示取完所的可能的样本组合后的平均状态， 而后者只是一个样本的 平均值。 2-16证明： 17 n i i n i ii n i i x yx x n y xy 1 2 1 1 n i ii n i i n i n i iiii n i ii yxxyyxyyxyx 11111

39、)( i n i i n i n i ii n i i n i i y x x n yx x x n y ) 1 ( 1 2 11 1 2 1 证毕。 2-17证明： 和 满足正规方程0) ( 1 n i ii xy ii xy 0)( 1 i n i i yy即表明 Y 的真实值与拟合值有共同的均值。 证毕。 2-18答：他的论据是错误的。原因是他忽略了随机误差项 i u，这个随机误差项可取正 值和负值，但是0)E( i u，将 i C与 i Y的关系表达为 ii YC是不准确的，而是一个 平均关系。 2-19证明： 设：, 10ii xy , 10ii yx 由于： 2 2 2 22 2

40、2 )( 1 )( i ii i ii ii y yx x yx yx R 线性回归的斜率估计量： 1 22 1 1 / )( 1 iiii ii yyxx yx 证毕。 2-20证明： 18 2 x yx 又 1 2 n x Sx ， 1 2 n y Sy r yx yx n y n x x yx S S y x 222 2 2 1 1 证毕。 2-22解： 这是一个横截面序列回归。 （图略） 截距 2.6911 表示咖啡零售价在t时刻为每磅 0 美元时，美国平均消费量为每天每人 2.6911 杯， 这个数字没有经济意义； 斜率-0.4795 表示咖啡零售价与消费量负相关， 在t时刻， 价格

41、上升 1 美元/磅，则平均每天每人消费量减少 0.4795 杯； 不能； 不能；在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同，若要求出，须给出具体的X值 及与之对应的Y值。 2-23解： 168 n X X i ，111 n Y Y i 17720 1111681011101681111680204200 )()( YXXYXYYXYYXX iiiiii 33160 16816810315400 10102 )2()( 222 222 XXX XXXXXX i iii 又 5344. 0 33160 17720 )( )( 2 2 XX YYXX i ii 22.211685344. 0111 21

42、 XY 8 ) 2( 210 ) ( 2 2222 2 iiiiiii YYYYYY n e 19 ii XY5344. 022.21 81.620 16805344. 022.2123154005344. 05344. 0 22.2122.21102042005344. 02111022.212133300 )25344. 0222.212() 2( 21 22 2 2 1 222 iiiiiiiiii XXYXYYYYYY 60.77 8 81.620 2 81.73 3316010 31540060.77 )( )( 2 22 1 XXn X Var i i ，5913. 881.73)

43、( 1 se 0023. 0 33160 60.77 )( 2 2 2 i x Var ，0484. 00023. 0)( 2 se 2 2 2 )( 1 YY e r i i ， 10090123210133300)( ,81.620 2 2 YY e i i 又 9385. 0 10090 81.620 1 2 r %95)306. 2(tp，自由度为 8 306. 2 5913. 8 22.21 306. 2 1 ， 解得： 11 0315.414085. 1为的 95%的置信区间。 同理，306. 2 0484. 0 5344. 0 306. 2 2 ，解得：646. 04227. 0

44、 2 为 2 的 95%的置 信区间。 由于0 2 不在 2 的置信区间内，故拒绝零假设：0 2 。 2-24解： 由于参数估计量的 T 比率值的绝对值为 18.7 且明显大于 2，故拒绝零假设 0: 0 H，从而在统计上是显著的； 参数的估计量的标准方差为 15/3.1=4.84，参数的估计量的标准方差为 0.81/18.7=0.043； 由的结果，的 95%的置信区间为： 20 043. 0)2(81. 0( 975. 0 nt，091. 081. 0()043. 0)2(81. 0 975. 0 nt，)091. 081. 0，显 然这个区间不包括 0。 2-25解： 65)80( i XYE77)100( i XYE 89)120( i XYE101)140( i XYE 113)160( i XYE125)180( i XYE 137)200( i XYE149)220( i XYE 161)240( i XYE173)260( i XYE