1、抽象函数专题分析 1满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函数型抽象 函数 2满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是对数函数型抽象函 数 3满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指数函数型抽象函数 研究性学习研究性学习“五步五步 曲曲” 课题：课题： 抽象函数抽象函数 1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则 f(x) 是()A A奇函数 B偶函数 C既是奇函数，又是偶函数 D既不是奇函数，又不是偶函数 2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)() A13B2 13 C. 2 2 D.13 C
2、 3设奇函数 f(x)满足：对xR 有 f(x1)f(x)0，则 f(5) _.0 4已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，对 xR 都有 f(2 x)f(2x)，当 f(3)2 时，f(2 013)的值为_. 2 5已知函数 f(x)的定义域为 R，并且对任意正数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)，则 (1)f(1)_； 0 1 2 考点1 正比例函数型抽象函数 例1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)， 且 x0 时，f(x)0，f(1)2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问在3x3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值； 如果没有
3、，说出理由 (1)证明：令xy0， 则有f(0)2f(0)f(0)0. 令yx，则有f(0)f(x)f(x) 即f(x)f(x)f(x)是奇函数 (2)解：任取x10f(x2x1)0. f(x1)f(x2)yf(x)在R上为减函数 因此f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值 f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6. 函数最大值为6，最小值为6. (1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)0 f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性 (2)小技巧判断单调性：设x10f(x2 x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函数单
4、 调递减 【互动探究】 1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则下 列错误的是()D 考点2 对数函数型抽象函数 (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (3)解不等式 f(2x21)1时f(x)0，f(2) 1. (1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21， 则有f(x)f(x)f(1) 证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结 合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法 运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点 【互动探究】 当 f(x)lgx
5、 时，上述结论中正确结论的序号是_. 考点3 指数函数型抽象函数 例3：定义在 R 上的函数 yf(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1， 且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b) (1)求证：f(0)1； (2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范围 (1)指数函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)1 (4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得 f(3xx2)f(0) 又f(x)是R上的增函数，3xx20.0 x3. (2)小技巧判断单调性：设x1x2，x1x20， 则f(
6、x1x2)1.f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到 函数是增函数 【互动探究】 3设指数函数 f(x)ax(a0 且 a1)，则下列等式正确的有 _(填序号) 考点考点4 一次一次函数模型函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y) xy令 )()()0(,xfxff则 0 yx又令 0)0(f得 fxf x()( ) 2)1()1(ff故，ff()() 2214 24 12)(，上的值域为：，在xf )()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf 2121, xxxx且任取 21 xx )()()()()()( 2121 yfyxfyfyxfxfxf
7、则 )()()( 2121 xxfyxfyxf 0 21 xx 0)( 21 xxf则根据题意有 为增函数在函数Rxxf)( 12)(2)1(0)(，在求，xffxf 都有对任意的实数已知函数yxxf,)( 时且当0)()()(xyfxfyxf 例例4 4: : 上的值域 解：解：)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf 解法解法2： 0)( 12 xxf Rxxxx 2121 ，且设 0 12 xx则 , 0)(0 xfx时，由条件知当， )()( 1122 xxxfxf又 的增函数。为Rxxf)( )()()( 1112 xfxfxxf 54)1(32)1()2()12(
8、)3(fffff又 )1()22( 2 faaf则 的解集。求不等式 时，当 有对任意已知函数 3)22(, 5)3( 2)(0),(2)()( ,)( 2 aaff xfxyxfyfxf Ryxxf例例5： 解解： 31|3)22( 2 aaaaf的解集为：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf 2121, xxxx且任取 2)()(2)()()()( 2121 yfyxfyfyxfxfxf则 )()()( 2121 xxfyxfyxf 21 xx0 21 xx 0)( 21 xxf则根据题意有 3)1( f 为增函数在函数Rxxf)( 122 2 aa即
9、 31a 例例6 6 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x)3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x-3 D. x|0 x3或或 -3 x 3，有，有 f (x) 0. 得得x f (x) 0，故，故 x 3不符合要求不符合要求. 按奇函数的对称性，按奇函数的对称性，x -3也符合要求也符合要求. 从而淘汰从而淘汰A、B、C. 答案是答案是D. 这就是所谓的淘汰法这就是所谓的淘汰法. 【例例】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x|
10、 x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0 【手段手段2】（直选与筛选并用）（直选与筛选并用） 按对称性，按对称性，0 x 0. 此时有此时有x f (x) 0. 故故-3 x 0为所求为所求. 由由 x f (x) 0，知点（，知点（ x ，y）在第二或第四象限）在第二或第四象限. 【说明说明】 手段手段2变成了直选法变成了直选法. 和手段和手段1一样，都可通过观察法完成，不需动笔一样，都可通过观察法完成，不需动笔. 【手段手段3】 （图解法（图解法1） 据题设条件作据题设条件作 y=f (x)草图草图(右
11、右). 在图中找出在图中找出 f(x)与与x异异 号的部分号的部分,可以看出可以看出 x f(x) 0的解集为的解集为 x|0 x 3或或 - 3 x 0，选，选D. 【例例】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0时的图象时的图象(右右) 即可即可. 不等式不等式 x f(x) 0. f(x) 0，借助图象得，借助图象得0 x 3. 由对称性得由对称性得x f(x) 0的解集为的解集为 x|0 x 3或或
12、 -3 x 0，故选，故选D. 【例例】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0 【手段【手段5】（特殊值法）】（特殊值法） 借助图（借助图（2）, 取特殊值取特殊值 x=2, 知知 f(2) 0符合条件符合条件 x f(x) 0，故，故0 x 3为所求为所求. 按对称性，按对称性，-3 x 0，则有，则有x f(x) 0，从而淘汰，从而淘汰C. 答案为答案为D. 【手段手段7】（特殊式法）（特殊式法） 符
13、合抽象函数符合抽象函数 f(x)性质的一个具体函数为性质的一个具体函数为 y=x-3 （x 0时），令时），令 xy = x(x -3) 0 ， 解得解得 0 x 3 按对称性还有按对称性还有 -3 x 0 答案为答案为D. 【说明说明】 手段手段6，体现的，体现的“不择手段不择手段”极为有趣极为有趣. 朦胧中碰上了朦胧中碰上了“列不等式列不等式”和和 “解不等式解不等式”. 此时，若你要去问这个理论，则你不是个书呆子，就是个老学究此时，若你要去问这个理论，则你不是个书呆子，就是个老学究. 当然，解决抽象函数的方法和技巧多种多样，如：合理 赋值，整体思考，借助特殊点，利用递推式等。有的时候需
14、要运用多种方法和手段。 思想与方法 6转化与化归思想解信息给予题 例题：对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为 G 函数： 对任意的x0,1，总有f(x)0； 当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2) 成立 已知函数g(x)x2与h(x)2xb是定义在0,1上的函数 (1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； (2)若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合 一般地，一个抽象函数都对应着我们非常熟悉的基本函数， 在中学阶段，我们主要学习正比例函数型、对数型、指数型以及 三角函数类型，因此在学习时应把握对题型的联想与分析，力争 事半功倍 f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2) f(x1)f(x2)分别是正比例、对数、指数函数的抽象形式，解题时 可以由具体函数的性质知道我们思考的方式及解题的步骤，但 不能用具体函数来代替抽象的解析式
