1、20212021年全国统一高考数学试卷年全国统一高考数学试卷( (新高考新高考) ) 一、 选择题： 本题共一、 选择题： 本题共 8 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 5 分， 共分， 共 4040 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的。的。 1. 1. 【2021全国卷1】 设集合A=x|-2x4， B =2， 3， 4， 5， 则AB = () A. 2B. 2， 3C. 3， 4D. 2， 3， 4 【解析】【解析】 AB=2， 3 【答案】【答案】 B 2.2. 【2021全国卷2】 已知z=2-i， 则
2、z(z +i)= () A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i 【解析】【解析】 z(z +i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i 【答案】【答案】 C 3.3. 【2021全国卷3】 已知圆锥的底面半径为2， 其侧面展开图为一个半圆， 则该圆锥的母线长为 () A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2 【解析】【解析】 设母线长为l， 圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长； 22 =l， 解得l=2 2， 【答案】【答案】 B 4.4. 【2021全国卷4】 下列区间中， 函数 f(x)=7sin x- 6 单调递增的区间是 () A. 0, 2
3、B. 2 ， C. , 3 2 D. 3 2 ， 2 【解析】【解析】 由- 2 +2kx- 6 2 +2k， kZ即- 3 +2kx 2 3 +2k， kZ 当k=0时， x - 3 ，2 3 ，0, 2 - 3 ，2 3 ， 【答案】【答案】 故选： A 第1页 共13页 5.5. 【2021全国卷5】 已知F1， F2是椭圆C : x2 9 + y2 4 =1的两个焦点， 点M 在C 上， 则|MF1|MF2|的最大值为 () A. 13B. 12C. 9D. 6 【解析】【解析】 |MF1|+|MF2|=6， |MF1|MF2| |MF1|+|MF2| 2 2 =9， 当且仅当|MF1
4、|=|MF2|=3时， 取等号， |MF1|MF2|的最大值为9 【答案】【答案】 C 6.6. 【2021全国卷6】 若tan=-2， 则 sin(1+sin2) sin+cos = () A. - 6 5 B. - 2 5 C. 2 5 D. 6 5 【解析】【解析】sin(1+sin2) sin+cos = sin(sin+cos)2 sin+cos =sin(sin+cos) = sin2+sincos sin2+cos2 = tan2+tan 1+tan2 = 4-2 1+4 = 2 5 【答案】【答案】 C 7.7. 【2021全国卷7】 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切
5、线， 则 () A. ebaB. eabC. 0aebD. 0b0恒成立， 函数的图象如图， y0， 即切点坐标在x轴上方， 如果(a,b)在x轴下方， 连线的斜率小于0， 不成立 点(a,b)在x轴或下方时， 只有一条切线 如果(a,b)在曲线上， 只有一条切线； (a,b)在曲线上侧， 没有切线； 由图象可知(a,b)在图象的下方， 并且在x轴上方时， 有两条切线， 可知0b4， 点P到直线AB 的距离的范围为 115 5 -4，11 5 5 +4 ， 115 5 5， 115 5 -41，11 5 5 +40)的焦点为F， P为C 上一点， PF 与x轴垂直， Q为x轴上一点， 且PQO
6、P 若|FQ|=6， 则C 的准线方程为x= - 3 2 【答案】【答案】 x=- 3 2 【解析】【解析】 解： 由题意， 不妨设P在第一象限， 则P p 2 ， p ， kOP=2， PQOP kPQ=- 1 2 ， PQ的方程为： y-p=- 1 2 x- p 2 ， y=0时， x= 5p 2 ， |FQ|=6， 5p 2 - p 2 =6， 解得p=3， 抛物线的准线方程为： x=- 3 2 15.15.【2021全国卷15】 函数 f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1 【答案】【答案】 1 【解析】【解析】 解： 函数f(x)=|2x-1|-2lnx的定义域为(0,+) 当
7、0 1 2 时， f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx， 则f(x)=2- 2 x = 2(x-1) x ， 当x 1 2 ， 1 时， f(x)0， f(x)单调递增， f(x)在(0,+)上是连续函数， 当x(0,1)时， f(x)单调递减， 当x(1,+)时， f(x)单调递增 当x=1时f(x)取得最小值为f(1)=21-1-2ln1=1 第6页 共13页 16.16.【2021全国卷16】 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折 规格为20dm12dm的长方形纸， 对折1次共可以得到10dm12dm， 20dm6dm 两种规格的图形，
8、 它们的面积之和S1=240dm2， 对折2次共可以得到5dm12dm， 10dm6dm， 20dm3dm三种规格的图形， 它们的面积之和S2=180dm2， 以此类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5； 如果对折n次， 那么 n k=1S k =dm2 【解析】【解析】 易知有20dm 3 4 dm,10dm 3 2 dm,5dm3dm, 5 2 dm6dm，5 4 dm12dm， 共5种规格； 由题可知， 对折k次共有k+1种规格， 且面积为 240 2k ， 故Sk= 240(k+1) 2k ， 则 n k=1S k =240 n k=1 k+1 2k ， 记Tn= n k=1
9、k+1 2k ， 则 1 2 Tn= n k=1 k+1 2k+1 ， 1 2 Tn= n k=1 k+1 2k - n k=1 k+1 2k+1 =1+ n-1 k=1 k+2 2k+1 - n-1 k=1 k+1 2k+1 - n+1 2n+1 =1+ 1 4 1- 1 2n-1 1- 1 2 - n+1 2n+1 = 3 2 - n+3 2n+1 ， Tn=3- n+3 2n ， n k=1S k =240 3- n+3 2n 【答案】【答案】 5； 240 3- n+3 2n 四、 解答题： 本题共四、 解答题： 本题共6 6小题， 共小题， 共7070分。解答应写出文字说明、 证明过
10、程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17.17.【2021全国卷17】 已知数列an满足a1=1， an+1= an+1,n为奇数, an+2,n为偶数 (1)记bn=a2n， 写出b1， b2， 并求数列bn的通项公式； (2)求an的前20项和 【解析】【解析】 解： (1)因为a1=1， an+1= an+1,n为奇数 an+2,n为偶数 ， a2=a1+1=2， a3=a2+2=4， a4=a3+1=5， b1=a2=2， b2=a4=5， bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3， n2， 数列bn是以b1=
11、2为首项， 以3为公差的等差数列， bn=2+3(n-1)=3n-1 (2)由(1)可得a2n=3n-1， nN*， 则a2n-1=a2n-2+2=3(n-1)-1+2=3n-2， n2， 当n=1时， a1=1也适合上式， a2n-1=3n-2， nN*， 数列an的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则an的前20项和为a1+a2+.+a20=(a1+a3+a19)+(a2+a4+a20) =10+ 109 2 3+102+ 109 2 3=300 第7页 共13页 18.18.【2021全国卷18】 某学校组织 “一带一路” 知识竞赛， 有A， B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选
12、择一类并 从中随机抽取一个问题回答， 若回答错误则该同学比赛结束； 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取 一个问题回答， 无论回答正确与否， 该同学比赛结束 A类问题中的每个问题回答正确得20分， 否则得0分； B 类问题中的每个问题回答正确得80分， 否则得 0分 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8， 能正确回答B 类问题的概率为0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关 (1)若小明先回答A类问题， 记X 为小明的累计得分， 求X 的分布列； (2)为使累计得分的期望最大， 小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 【解析】【解析】 解： (1)由已知可得， X 的所有可能取值为0，
13、 20， 100， 则P(X=0)=1-0.8=0.2， P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32 P(X=100)=0.80.6=0.48， X 的分布列为： X020100 P0.20.320.48 (2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为： E(X)=00.2+200.32+1000.48=54.4， 若小明先回答B 类问题， 记Y 为小明的累计得分， 则Y 的所有可能取值为0， 80， 100， P(Y=0)=1-0.6=0.4， P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12， P(Y=100)=0.60.8=0.48， 则Y 的期望为E(Y)=00.4+800.1
14、2+1000.48=57.6， 因为E(Y)E(X)， 为使累计得分的期望最大， 小明应选择先回答B 类问题 第8页 共13页 19.19.【2021全国卷19】 记ABC 的内角A， B， C 的对边分别为a， b， c 已知b2=ac， 点D在边AC 上， BDsinABC =asinC (1)证明： BD=b； (2)若AD=2DC， 求cosABC 【答案】【答案】 （1） 见解析；（2）7 12 【解析】【解析】 (1)证明： 由正弦定理知， b=2RsinABC， c=2RsinACB， b2=ac， b2RsinABC=a2RsinACB， 即bsinABC=asinC， BDs
15、inABC=asinC， BD=b； (2)法一：法一： 由(1)知BD=b， AD=2DC， AD= 2 3 b， DC= 1 3 b， 在ABD中， 由余弦定理知， cosBDA= BD2+AD2-AB2 2BDAD = b2+ 2 3 b 2-c2 2b 2 3 b = 13b2-9c2 12b2 ， 在CBD中， 由余弦定理知， cosBDC= BD2+CD2-BC2 2BDCD = b2+ 1 3 b 2-a2 2b 1 3 b = 10b2-9a2 6b2 ， BDA+BDC=， cosBDA+cosBDC=0， 即 13b2-9c2 12b2 + 10b2-9a2 6b2 =0，
16、 得11b2=3c2+6a2， b2=ac， 3c2-11ac+6a2=0， c=3a或c= 2 3 a， 在ABC 中， 由余弦定理知， cosABC= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-ac 2ac ， 当c=3a时， cosABC= 7 6 1(舍)； 当c= 2 3 a时， cosABC= 7 12 ； 综上所述， cosABC= 7 12 法二：法二： 点D在边AC 上且AD=2DC， BD = 1 3 BA + 2 3 BC ， BD 2=1 3 BA BD + 2 3 BC BD ， 而由(1)知BD=b， b2= 1 3 bccosABD+ 2 3 abcosCBD，
17、即3b=ccosABD+2acosCBD， 由余弦定理知： 3b=c b2+c2- 4 9 b2 2bc +2a a2+b2- 1 9 b2 2ab ， 11b2=3c2+6a2， b2=ac， 3c2-11ac+6a2=0， c=3a或c= 2 3 a， 在ABC 中， 由余弦定理知， cosABC= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-ac 2ac ， 当c=3a时， cosABC= 7 6 1(舍)； 当c= 2 3 a时， cosABC= 7 12 ； 综上所述， cosABC= 7 12 20.20. 【2021全国卷20】 如图， 在三棱锥A-BCD中， 平面ABD平面BCD
18、， AB =AD， O为BD的中点 第9页 共13页 (1)证明： OACD； (2)若OCD是边长为1的等边三角形， 点E 在棱AD上， DE =2EA， 且二面角E -BC -D的大小为45， 求三棱锥A-BCD的体积 【答案】【答案】 （1） 见解析；（2） 3 6 【解析】【解析】 解： (1)证明： 因为AB=AD， O为BD的中点， AOBD， 又平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCD=BD， AO平面ABD， AO平面BCD， 又CD平面BCD， AOCD； (2)方法一： 取OD的中点F， 因为OCD为正三角形， CF OD， 过O作OM CF 与BC 交于点M， 则OM
19、 OD， OM， OD， OA两两垂直， 以点O为坐标原点， 分别以OM， OD， OA为x轴， y轴， z轴建系如图所示， 则B(0， -1， 0)， C 3 2 , 1 2 ,0 ， D(0， 1， 0)， 设A(0， 0， t)， 则E 0, 1 3 , 2t 3 ， 因为OA平面BCD， 故平面BCD的一个法向量为OA =(0,0,t)， 设平面BCE 的法向量为n =(x,y,z)， 又BC = 3 2 , 3 2 ,0 ,BE = 0, 4 3 , 2t 3 ， 由 n BC =0 n BE =0 ， 得 3 2 x+ 3 2 y=0 4 3 y+ 2t 3 z=0 ， 令x=3，
20、 则y=-1， z= 2 t ， 故n = 3,-1, 2 t ， 因为二面角E-BC-D的大小为45， |cos|= |n OA | |n |OA | = 2 t4+ 4 t2 = 2 2 ， 解得t=1， OA=1， 又SOCD= 1 2 11 3 2 = 3 4 ， SBCD= 3 2 ， 故VA-BCD= 1 3 SBCDOA= 1 3 3 2 1= 3 6 方法二： 过E 作EF BD， 交BD于点F， 过F 作FG BC 于点G， 连结EG， 由题意可知， EF AO， 又AO平面BCD EF 平面BCD， 又BC 平面BCD， EF BC， 又BC FG， FG EF=F 第10
21、页 共13页 BC 平面EFG， 又EF 平面EFG， BC EG， 则EGF 为二面角E-BC-D的平面角， 即EGF=45， 又CD=DO=OB=OC=1， BOC=120， 则OCB=OBC=30， 故BCD=90， FG CD， 因为 DE AD = DF OD = EF AO = 2 3 ， 则AO= 3 2 EF,OF= 1 3 ,DF= 2 3 ， BF BD = GF CD ， 则GF= 1+ 1 3 2 = 2 3 ， EF=GF= 2 3 ， 则AO= 3 2 EF=1， VA-BCD= 1 3 SBCDAO= 1 3 1 2 3 11= 3 6 第11页 共13页 21.
22、21.【2021全国卷21】 在平面直角坐标系xOy中， 已知点F1(- 17， 0)， F2( 17， 0)， 点M 满足|MF1|-|MF2|=2记M 的轨迹为C (1)求C 的方程； (2)设点T 在直线x= 1 2 上， 过T 的两条直线分别交C 于A， B 两点和P， Q两点， 且|TA|TB|=|TP|TQ|， 求直线AB 的斜率与直线PQ的斜率之和 【答案】【答案】 （1） x2- y2 16 =1(x1);(2)0 【解析】【解析】 (1)由双曲线的定义可知， M 的轨迹C 是双曲线的右支， 设C 的方程为 x2 a2 - y2 b2 =1(a0,b0),x1， 根据题意 c=
23、17 2a=2 c2=a2+b2 ， 解得 a=1 b=4 c=17 ， C 的方程为x2- y2 16 =1(x1)； (2)( (法一法一) )设T 1 2 ,m ， 直线AB 的参数方程为 x= 1 2 +tcos y=m+tsin ， 将其代入C 的方程并整理可得， (16cos2-sin2)t2+(16cos-2msin)t-(m2+12)=0， 由参数的几何意义可知， |TA|=t1， |TB|=t2， 则t1t2= m2+12 sin2-16cos2 = m2+12 1-17cos2 ， 设直线PQ的参数方程为 x= 1 2 +cos y=m+sin ， |TP|=1， |TQ|
24、=2， 同理可得， 12= m2+12 1-17cos2 ， 依题意， m2+12 1-17cos2 = m2+12 1-17cos2 ， 则cos2=cos2， 又， 故cos=-cos， 则cos+cos=0， 即直线AB 的斜率与直线PQ的斜率之和为0 ( (法二法二) )设T 1 2 ,t ， 直线AB 的方程为y=k1x- 1 2 +t， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 设 1 2 x1x2， 将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得， (16-k1 2)x2+(k 1 2-2tk 1)x- 1 4 k1 2+k 1t-t 2-16=0， 由韦达定理有， x1+x2=
25、 k1 2-2k 1t k1 2-16 ,x1x2= - 1 4 k1 2+k 1t-t 2-16 16-k1 2 ， 又由A x1,k1x1- 1 2 k1+t ,T 1 2 ,t 可得|AT|=1+k1 2 x1- 1 2 ， 同理可得|BT|=1+k1 2 x2- 1 2 ， |AT|BT|=(1+k1 2) x 1- 1 2 x2- 1 2 = (1+k1 2)(t2+12) k1 2-16 ， 设直线PQ的方程为y=k2x- 1 2 +t,P(x3,y3),Q(x4,y4)， 设 1 2 x3x4， 同理可得|PT|QT|= (1+k2 2)(t2+12) k2 2-16 ， 又|A
26、T|BT|=|PT|QT|， 则 1+k1 2 k1 2-16 = 1+k2 2 k2 2-16， 化简可得k1 2=k 2 2， 又k1k2， 则k1=-k2， 即k1+k2=0， 即直线AB 的斜率与直线PQ的斜率之和为0 第12页 共13页 22.22. 【2021全国卷22】 已知函数 f(x)=x(1-lnx) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设a， b为两个不相等的正数， 且blna-alnb=a-b， 证明： 2 1 a + 1 b 0， f(x)单调递增， x(1,+)， f(x)1， 先证22-x1， 即证f(x2)=f(x1)h(1)=0， 故函数h(x)在(0,1)
27、单调递增， h(x1)h(1)=0f(x1)f(2-x1)， 2x1+x2， 得证 同理， 要证x1+x2e， (法一)即证1x2f(e-x1)， 令(x)=f(x)-f(e-x)， x(0,1)， 则(x)=-lnx(e-x)， 令(x0)=0， x(0,x0)， (x)0， (x)单调递增， x(x0， 1)， (x)0， (x)单调递减， 又0 x0， 且f(e)=0， 故lim x0(x)=0， (1)=f(1)-f(e-1)0， (x)0恒成立， x1+x21， x1(1-lnx1)x1， 故x1+x20， g(x)单调递增， g(x)g(e)=e， 即x2(1-lnx2)+x2e， x1+x2e， 得证， 则2 1 a + 1 b e 第13页 共13页
