1、全国高中青年数学教师优质课公开课全国高中青年数学教师优质课公开课比赛比赛 精品课件精品课件 吉林省实验中学吉林省实验中学 2 3 提出问题：提出问题：纤夫拉船时，身体为什么尽量前倾？纤夫拉船时，身体为什么尽量前倾？ 创设情境创设情境 4 创设情境创设情境 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F所作的功 思考：思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量决定？ | cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） 位移S F s 5 创设情境创设情境 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F所作的功 位移S F cos向量的数量积 | cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） |a |b
2、s B b O a 6 （1）定义）定义 已知两个非零向量 和 ，O是平面上的任意一点， 作 ， ， 则 （ ）叫做向量 和 的 夹角 AOB 0 新知探究新知探究 向量的夹角向量的夹角 a a Aa b b b aOA bOB 当 时，我们说 与 ， 2 7 新知探究新知探究 （2）特殊情况）特殊情况 当 时， 与 ， 显然，当 时， 与 ，同向 反向 0 = 向量的夹角向量的夹角 a a a b b b OAB ab OAB ab O A B a b 垂直记作 . ab 8 思考：思考：在正三角形ABC中，向量 与 的夹角多大？CA AB 新知探究新知探究 B C A D 2 3 夹角为B
3、AD，大小为 CA 作 AD 9 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 _叫做向量 与 的数量积（或内积），记作 ，即 | cosab 新知探究新知探究 规定：零向量与任一向量的数量积为0 向量向量的数量积的数量积 a a b b | cosa bab a b 10 新知探究新知探究 （2 2）两个向量的数量积结果是数量，而不是向量. 注意：注意： （3 3） （1 1）两个向量的数量积记作 ，不能写成 的形 式（“”在向量的数量积运算中不能省略） a bab 当 时， ；0 2 0a b 当 时， ； 2 0a b 当 时， . 2 0a b 11 应用实例应用实例 例例1 已
4、知 ， ， 与 的夹角 ， 求 . 2 3 解： 2 54cos 3 1 54() 2 10 ab|4b= a b | cosa bab |5a 12 应用实例应用实例 例例2 已知 ， ， ， 求 与 的夹角 . 解：由 ，得 cos | a b ab 5422 1292 因为 ，所以 3 4 0, ab |9b=|12a | cosa bab 542a b 13 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F所作的功 位移S F | cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） F1 s 设 ， 是两个非零向量， ， ，我们考虑如 下变换： aAB bCD 14 新知探究新知探究 A B CD
5、A1 B1 我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量. 11 A B 过 的起点A和终点B，AB 分别作 所在直线的垂线，CD 垂足分别为A1，B1，得到 11 A B 向量投影与投影向量向量投影与投影向量 a a a a b b b b 15 新知探究新知探究 N M1O 如图，在平面内任取一点O，作 ， ，过点M作直 线ON的垂线，垂足为M1， aOM ON b a M a b 则 是向量 在向量 上的投影向量. 1 OM ab 思考：画出向量 在向量 上的投影向量. 16 新知探究新知探究 当当 为直角时，为直角时， 当当 为钝角时，为钝角时， 当当 时，时，
6、 =0 当当 时，时， = M O N M NOM1 MO N OMN (M1)(M1) (M1) a a a a a b bb bb 17 新知探究新知探究 探究：探究：如图， 是向量 在向量 上的投影向量,设与 方向相同的 单位向量为 ， 与 的夹角为 ，那么 与 ， ， 之间有怎样的关 系？ 1 OM （1）当 为锐角时， 11 | eO MO M N M1 O M 于是 ， 1 ()eOMR 1 |OM | cosa 1 OM a a a a b b b e e 显然， 与 共线， 1 OM e b | cosae e 18 新知探究新知探究 （2 2）当）当 为直角时，为直角时， 0
7、 （3 3）当）当 为钝角时，为钝角时， 1 O M 1 |OM （4 4）当）当 时，时，=0（5 5）当）当 时，时，= M N O M NOM1 OM N OMN 1 O M (M1)(M1) (M1) 综上所述：综上所述：对于任意的对于任意的 ，都有，都有 0, 1 | cosaeOM a b a b ab ab | cos 2 ae | cosae 1 O M | cos 0ae 1 O M | cosae |a|a 19 课堂练习课堂练习 练习练习1 1 已知 , 为单位向量，且 与 的夹角 为 ，求向量 在 上的投影向量。 3 4 a a e 解：向量 在 上的投影向量为 ae
8、e e|6a | cos32aee 20 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F所作的功 位移S F | cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） F1 1 |FsW s FsW 1 Fs 21 提出问题：提出问题：纤夫拉船时，身体为什么尽量前倾？纤夫拉船时，身体为什么尽量前倾？ 22 练习练习2 2 如图，AB是圆O的一条直径，并绕着圆心O旋转， C、D是圆上的两 个定点， CD=2, AB =4， 则 的最大值为 .AB CD . . A O B C 8 8 D 课堂练习课堂练习 A B 23 练习练习3 3 如图，在三角形ABC的外接圆圆O中，AB=2， 则 .AOAB . . A O B C 2 2 D 课堂练习课堂练习 24 课堂小结课堂小结 1.向量的数量积 2.向量投影 3.投影向量 25 思考：思考：设三个非零向量 ， ， ， 若 ，则可以得出什么结论？a ba c abc 26 不渴望能够一跃千里，只希望 每天能够前进一步。 课后作业课后作业 谢谢！ 2.2.课本第课本第2020页：练习页：练习1 1、2 2、3 3 1.思考题：思考题：设三个非零向量 ， ， ， 若 ，则可以得出什么结论？ abc a ba c 再见！再见！
