1、20182018年全国卷 （理科）年全国卷 （理科） 一、 选择题： 本题共一、 选择题： 本题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.的. 1. 1. 【2018全国2卷理1】1+2i 1-2i = ( D ) A. - 4 5 - 3 5 iB. - 4 5 + 3 5 iC. - 3 5 - 4 5 iD. - 3 5 + 4 5 i 【解析】【解析】1+2i 1-2i = (1+2i)(1+2i) (1-2i)(1+2i) =- 3 5 + 4
2、5 i . 2.2. 【2018全国2卷理2】 已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为 ( A ) A. 9B. 8C. 5D. 4 【解析】【解析】 当x=-1时,y22,得y=-1,0,1,当x=0时,y23,得y=-1,0,1, 当x=1时,y22,得y=-1,0,1,即集合A中元素有9个. 3.3. 【2018全国2卷理3】 函数 f(x)= ex-e-x x2 的图象大致为 ( B ) ABCD 【解析】【解析】 f(-x)= e-x-ex (-x)2 =- ex-e-x x2 =-f(x),则函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A, 当x=1
3、时, f(1)=e- 1 e 0,排除D当x+时, f(x)+,排除C. 4.4. 【2018全国2卷理4】 已知向量a ,b 满足|a |=1,a b =-1,则a (2a -b )= ( B ) A. 4B. 3C. 2D. 0 【解析】【解析】 向量a ,b 满足|a |=1,a b =-1,则a (2a -b )=2a2 -a b =2+1=3. 5.5. 【2018全国2卷理5】 双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为 ( A ) A. y= 2xB. y= 3xC. y= 2 2 xD. y= 3 2 x 【解析】【解析】 双曲线的离心
4、率为e= c a =3,则 b a = b2 a2 = c2-a2 a2 =( c a )2-1 =3-1 =2, 即双曲线的渐近线方程为y= b a x= 2x. 龙纹盒子 第1页 共10页 6.6. 【2018全国2卷理6】 在ABC 中,cos C 2 = 5 5 ,BC =1,AC =5,则AB = ( A ) A. 4 2B.30C.29D. 2 5 【解析】【解析】 在ABC 中,cos C 2 = 5 5 ,cosC =2( 5 5 )2-1=- 3 5 ,BC =1,AC =5, 则AB =BC2+AC2-2BC ACcosC =1+25+215 3 5 =32 =4 2. 【
5、答案】【答案】 A. 7.7. 【2018 全国 2 卷理 7】 为计算 S =1- 1 2 + 1 3 - 1 4 + + 1 99 - 1 100 ,设计了如图的程序框图,则在空白框 中应填入 ( B ) A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+4 【解析】【解析】 模拟程序框图的运行过程知,该程序运行后输出的是 S=N -T =(1- 1 2 )+( 1 3 - 1 4 )+( 1 99 - 1 100 )； 累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2. 【答案】【答案】 B. 8.8. 【2018 全国 2 卷理 8】 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世
6、界领先的成果. 哥德巴赫猜 想是 “每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和” ,如30=7+23. 在不超过30的素数中,随机选取两 个不同的数,其和等于30的概率是 ( C ) A. 1 12 B. 1 14 C. 1 15 D. 1 18 【解析】【解析】 在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C2 10=45 种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,则对应的概率P= 3 45 = 1 15 . 【答案】【答案】 C. 龙纹盒子 第2页 共10页 9.9. 【2018 全国2 卷理 9】 在
7、长方体 ABCD -A1B1C1D1中,AB =BC = 1,AA1=3,则异面直线 AD1与DB1 所成角的余弦值为 ( C ) A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 【解析】【解析】 以D为原点,DA为x轴,DC 为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB =BC =1,AA1=3, A(1,0,0),D1(0,0, 3),D(0,0,0), B1(1,1, 3),AD1 =(-1,0, 3),DB1 =(1,1, 3), 设异面直线AD1与DB1所成角为, 则cos= |AD1 DB1 | |AD1 |DB1 | = 2 2
8、5 = 5 5 , 异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 5 5 . 【答案】【答案】 C. 10.10.【2018全国2卷理10】 若 f(x)=cosx-sinx在-a,a是减函数,则a的最大值是 ( A ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. 【解析】【解析】 f(x)=cosx-sinx=-(sinx-cosx)=- 2sin(x- 4 ), 由- 2 +2kx- 4 2 +2k,kZ,得- 4 +2kx 3 4 +2k,kZ, 取k=0,得 f(x)的一个减区间为- 4 , 3 4 , 由 f(x)在-a,a是减函数,得 -a- 4 a 3 4 ,a 4 . 则a的最大值是 4
9、 . 【答案】【答案】 A. 11.11.【2018全国2卷理11】已知 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足 f(1-x)= f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+ f(2)+ f(3)+f(50)= ( C ) A. -50B. 0C. 2D. 50 【解析】【解析】 f(x)是奇函数,且 f(1-x)= f(1+x), f(1-x)= f(1+x)=-f(x-1), f(0)=0, 则 f(x+2)=-f(x),则 f(x+4)=-f(x+2)= f(x),即函数 f(x)是周期为4的周期函数, f(1)=2, f(2)= f(0)=0, f(3)= f(1-2)= f(-
10、1)=-f(1)=-2, f(4)= f(0)=0, 则 f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=2+0-2+0=0, 则 f(1)+ f(2)+ f(3)+f(50) =12f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(49)+ f(50)= f(1)+ f(2)=2+0=2. 【答案】【答案】 C. 龙纹盒子 第3页 共10页 12.12.【2018全国2卷理12】 已知F1,F2是椭圆C : x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)的左、 右焦点,A是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C 的离心率为 ( D
11、) A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 【解析】【解析】 由题意可知： A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),直线AP的方程为： y= 3 6 (x+a), 由F1F2P=120,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c, 3c), 代入直线AP:3c= 3 6 (2c+a),整理得： a=4c,题意的离心率e= c a = 1 4 . 【答案】【答案】 D. 二、 填空题： 本题共二、 填空题： 本题共4 4小题,每小题小题,每小题5 5分,共分,共2020分.分. 13.13.【2018全国2卷理13】 曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为
12、 y=2x . 【解析】【解析】 y=2ln(x+1),y= 2 x+1 ,当x=0时,y=2, 曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x. 【答案】【答案】 y=2x. 14.14.【2018全国2卷理14】 若x,y满足约束条件 x+2y-50 x-2y+30 x-50 ,则z=x+y的最大值为9. 【解析】【解析】 由x,y满足约束条件 x+2y-50 x-2y+30 x-50 作出可行域如图, 化目标函数z=x+y为y=-x+z, 由图可知,当直线y=-x+z过A时,z取得最大值, 由 x=5 x-2y+3=0 ,解得A(5,4), 目标函数有最大值,为z=9. 【
13、答案】【答案】 9. 15.15.【2018全国2卷理15】 已知sin+cos=1,cos+sin=0,则sin(+)= - 1 2. 【解析】【解析】 sin+cos=1,两边平方可得： sin2+2sincos+cos2=1, cos+sin=0,两边平方可得： cos2+2cossin+sin2=0, 由+得： 2+2(sincos+cossin)=1,即2+2sin(+)=1, 2sin(+)=-1. sin(+)=- 1 2 . 【答案】【答案】 - 1 2 . x y O A 龙纹盒子 第4页 共10页 16.16.【2018 全国2卷理16】 已知圆锥的顶点为 S,母线SA,S
14、B 所成角的余弦值为 7 8 ,SA与圆锥底面所成角 为45,若SAB 的面积为5 15,则该圆锥的侧面积为 40 2 . 【解析】【解析】 圆锥的顶点为S,母线SA,SB 所成角的余弦值为 7 8 , 可得sinASB =1-( 7 8 )2= 15 8 . SAB 的面积为5 15,可得 1 2 SA2sinASB =5 15, 即 1 2 SA2 15 8 =5 15,即SA=4 5. SA与圆锥底面所成角为45,可得圆锥的底面半径为： 2 2 4 5 =2 10. 则该圆锥的侧面积：1 2 4 10 4 5=40 2. 【答案】【答案】 40 2. 三、 解答题： 共三、 解答题： 共
15、7070分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第1717 2121题为必考题,每个试题考生都必题为必考题,每个试题考生都必 须作答第须作答第2222、 2323题为选考题,考生根据要求作答.题为选考题,考生根据要求作答. 17.17.【2018全国2卷理17】 记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式； (2)求Sn,并求Sn的最小值. 【解析】【解析】 (1)等差数列an中,a1=-7,S3=-15, a1=-7,3a1+3d=-15,解得a1=-7,d=2, an=-7+2(n-1)=2n
16、-9； (2)a1=-7,d=2,an=2n-9, Sn= n 2 (a1+an)= 1 2 (2n2-16n)=n2-8n=(n-4)2-16, 当n=4时,前n项的和Sn取得最小值为-16. 龙纹盒子 第5页 共10页 18.18.【2018全国2卷理18】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位： 亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型. 根据2000 年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型： y =-30. 4+13. 5t； 根据2010年至 2016年的数据(时间变量t的值
17、依次为1,2,7)建立模型： y =99+17. 5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 【解析】【解析】 (1)根据模型： y =-30. 4+13. 5t, 计算t=19时,y =-30. 4+13. 519=226. 1； 利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226. 1亿元； 根据模型： y =99+17. 5t, 计算t=9时,y =99+17. 59=256. 5； 利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256. 5亿元； (2)模
18、型得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的, 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些, 从2010年到2016年间递增的幅度较大些, 所以,利用模型的预测值更可靠些. 龙纹盒子 第6页 共10页 19.19.【2018全国2卷理19】 设抛物线C :y2=4x的焦点为F,过F 且斜率为k(k0)的直线l与C 交于A,B 两点,|AB|=8. (1)求l的方程； (2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 【解析】【解析】 (1)方法一：方法一： 抛物线C :y2=4x的焦点为F(1,0), 设直线AB 的方程为： y=
19、k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y=k(x-1) y2=4x ,整理得： k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 则x1+x2= 2(k2+2) k2 ,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p= 2(k2+2) k2 +2=8, 解得： k2=1,则k=1,直线l的方程y=x-1； 方法二：方法二： 抛物线C :y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB 的倾斜角为, 由抛物线的弦长公式|AB|= 2p sin2 = 4 sin2 =8,解得： sin2= 1 2 , = 4 ,则直线的斜率k=1, 直线l的方程y=x-1； (2)由(1)可得AB 的中点坐标为D
20、(3,2), 则直线AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5, 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y0=-x0+5 (x0+1)2= (y0-x0+1)2 2 +16 , 解得： x0=3 y0=2 或 x0=11 y0=-6 , 因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. x y A B D D1 A1 B1 O 龙纹盒子 第7页 共10页 20.20. 【2018全国2卷理20】 如图,在三棱锥P-ABC 中,AB =BC =2 2,PA=PB =PC =AC =4,O为AC 的中点. (1)证明： PO平面ABC
21、； (2)若点M 在棱BC 上,且二面角M -PA-C 为30,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值. A B C P M O 【解析】【解析】 (1)证明： 连接BO,AB =BC =2 2,O是AC 的中点,BOAC,且BO=2, 又PA=PC =PB =AC =4,POAC,PO=2 3,则PB2=PO2+BO2,则POOB, OB AC =O,PO平面ABC； (2)建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图： A(0,-2,0),P(0,0,2 3),C(0,2,0),B(2,0,0),BC =(-2,2,0), 设BM =BC =(-2,2,0),01
22、, 则AM =BM -BA =(-2,2,0)-(-2,-2,0)=(2-2,2+2,0), 则平面PAC 的法向量为m =(1,0,0), 设平面MPA的法向量为n =(x,y,z),则PA =(0,-2,-2 3), 则n PA =-2y-2 3z=0,n AM =(2-2)x+(2+2)y=0 令z=1,则y=- 3,x= (+1) 3 1- ,即n =( (+1) 3 1- ,- 3,1), 二面角M -PA-C 为30,cos30=| m n |m |n |= 3 2 , 即 (+1) 3 -1 ( +1 1- 3)2+1+3 1 = 3 2 ,解得= 1 3 或=3(舍), 则平面
23、MPA的法向量n =(2 3,- 3,1),PC =(0,2,-2 3), PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin=|cos|=| -2 3 -2 3 16 16 |= 4 3 16 = 3 4 . A B C P M O x y z 龙纹盒子 第8页 共10页 21.21.【2018全国2卷理21】 已知函数 f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明： 当x0时, f(x)1； (2)若 f(x)在(0,+)只有一个零点,求a. 【解析】【解析】 (1)证明： 当a=1时,函数 f(x)=ex-x2. 则 f(x)=ex-2x, 令g(x)=ex-2x,则g(x)=ex-2, 令g(
24、x)=0,得x=ln2. 当x(0,ln2)时,g(x)0, g(x)g(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln20, f(x)在0,+)单调递增, f(x) f(0)=1, (2)f(x)在(0,+)只有一个零点方程ex-ax2=0在(0,+)只有一个根, a= ex x2 在(0,+)只有一个根, 即函数y=a与G(x)= ex x2 的图象在(0,+)只有一个交点. G(x)= ex(x-2) x3 , 当x(0,2)时,G(x)0, G(x)在(0,2)递减,在(2,+)递增, 当0时,G(x)+,当+时,G(x)+, f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=G(2)= e2 4 .
25、 龙纹盒子 第9页 共10页 选考题： 共选考题： 共1010分.请考生在第分.请考生在第2222、 2323题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 选修选修4 4- -4 4： 坐标系与参数方程： 坐标系与参数方程 22.22. 【2018全国2卷理22】 在直角坐标系xOy中,曲线C 的参数方程为 x=2cos y=4sin ,(为参数),直线l的参数 方程为 x=1+tcos y=2+tsin ,(t为参数). (1)求C 和l的直角坐标方程； (2)若曲线C 截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 【解析】【解
26、析】 (1)曲线C 的参数方程为 x=2cos y=4sin (为参数), 转换为直角坐标方程为：y 2 16 + x2 4 =1. 直线l的参数方程为 x=1+tcos y=2+tsin (t为参数). 转换为直角坐标方程为： xsin-ycos+2cos-sin=0或x=1. (2)把直线的参数方程 x=1+tcos y=2+tsin (t为参数), 代入椭圆的方程得到： (2+tsin)2 16 + (1+tcos)2 4 =1 整理得： (4cos2+sin2)t2+(8cos+4sin)t-8=0, 则： t1+t2=- 8cos+4sin 4cos2+sin2 ,(由于t1和t2为
27、A、 B 对应的参数) 由于(1,2)为中点坐标,所以利用中点坐标公式t1+t2=0, 则： 8cos+4sin=0,解得： tan=-2, 即： 直线l的斜率为-2. 选修选修4 4- -5 5： 不等式选讲： 不等式选讲 23.23. 【2018全国2卷理23】 设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式 f(x)0的解集； (2)若 f(x)1,求a的取值范围. 【解析】【解析】 (1)当a=1时, f(x)=5-|x+1|-|x-2|= 2x+4,x-1 2,-1x2 -2x+6,x2 . 当x-1时, f(x)=2x+40,解得-2x-1, 当-1x2时, f(x)=20恒成立,即-1x2, 当x2时, f(x)=-2x+60,解得2x3, 综上所述不等式 f(x)0的解集为-2,3, (2) f(x)1, 5-|x+a|-|x-2|1, |x+a|+|x-2|4, |x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|x+a+2-x|=|a+2|, |a+2|4, 解得a-6或a2, 故a的取值范围(-,-62,+). 龙纹盒子 第10页 共10页
