1、证明级数不等式的放缩法 兰琦 2014 年 12 月 8 日 目录 1引言3 2分析通项法3 朲朮朱分析通项法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朳 朲朮朲对数函数不等式 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朴 朲朮朳习题 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮
2、 朮 朮 朮朷 朲朮朴习题参考答案 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朸 3等比放缩法9 朳朮朱等比放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朹 朳朮朲交错级数的处理思路 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朱朱 朳朮朳进阶篇 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮
3、 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朱朱 朳朮朴习题 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朱朳 朳朮朵习题参考答案 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朱朴 4裂项放缩法16 朴朮朱裂项放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮
4、 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朱朶 朴朮朲一些常用的裂项 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朱朷 朴朮朳进阶篇 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朲朳 朴朮朴习题 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朲朶
5、 朴朮朵习题参考答案 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朲朷 5不动点裂项28 朵朮朱迭代函数朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朲朸 朵朮朲不动点裂项 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朳朲 朵朮朳习题 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮
6、朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朳朳 朵朮朴习题参考答案 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朳朴 6积分放缩法37 朶朮朱积分放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朳朷 朶朮朲习题 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮
7、朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朴朱 朶朮朳习题参考答案 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朴朱 朱 目录朲 7其他放缩法44 朷朮朱整体放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朴朴 朷朮朲并项放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮
8、 朮 朮 朮 朮朴朵 朷朮朳倒序放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朴朷 朷朮朴切线放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朴朸 朷朮朵二项式放缩法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮朵朰 朱引言朳 1引言 形如 n P k=1 ak N0）的不等
9、式称为级数不等式，这类不等式在高考压 轴题及自主招生考试压轴题中频繁出现，在这里对这种类型的级数不等式的证明方法作一个 系统的阐述 考虑到Tn朽 T1末 n1 P k=1 木Tk+1 Tk朩，而 n P k=1 ak朽 a1末 n1 P k=1 ak+1，于是级数不等式 n X k=1 ak Tn 可以改写为 a1末 n X k=1 ak+1 T1末 n X k=1 木Tk+1 Tk朩 即 n X k=1 杛ak+1 木Tk+1 Tk朩杝 T1 a1 因此所有级数不等式可以改写为 n P k=1 ak C 的形式 级数不等式的证明最为困难的一点就是 n P k=1 ak难以求和，因此利用各种放
10、缩的手段将其 放缩为可以求和的形式至关重要，常用的处理方式有分析通项法、等比放缩法、裂（错）项 放缩法、积分放缩法以及整体（并项）放缩法 2分析通项法 2.1分析通项法 对于级数不等式 n P k=1 ak C ，若通项an从某项（aN）后1满足an 朰，那么 n P k=1 ak C N P k=1 ak C 这种级数不等式是较为简单的，这种证明2方法称为分析通项法3 例题 2.1 已知f 木x朩 朽 朲 朳x 末 朱 朲 ， h木x朩 朽 x，试比较f 木朱朰朰朩h木朱朰朰朩 100P k=1 h木k朩与 朱 朶 的大小 关系 令Sn朽 f 木n朩 g 木n朩 n P k=1 h木k朩 朽
11、 朲 朳n 末 朱 朲 n n P k=1 k则 S1朽 朲 朳 末 朱 朲 朱 朱 朽 朱 朶 1这种想法称为“后移放缩起点” ，是可以配合所有放缩法使用的调整方式 2可以用分析通项法证明的级数不等式一定可以利用数学归纳法证明，其本质相同 3在实际应用时，对 n P k=1 ak Tk类型的级数不等式，我们可以直接去探索 an+1 朷 朶 朱 朽 朱 朶 考虑证明Sn单调递增 Sn+1 Sn朽 朲 朳 木n 末 朱朩 末 朱 朲 n 末 朱 n+1 X k=1 k 朲 朳n 末 朱 朲 n 末 n X k=1 k 朽 朲 朳n 末 朱 朶 n 末 朱 朲 朳n 末 朱 朲 n 朽 朱 朶 木
12、朴n 末 朱朩 n 末 朱 木朴n 末 朳朩n 朽 朱 朶 朱朶n3末 朲朴n2末 朹n 末 朱 朱朶n3 末 朲朴n2末 朹n 朰 因此当n 朲时，Sn S1朽 朱 朶 例题 2.2 求证： n Q k=1 朱 末 朱 朲k 6 朳 朱 朱 朲n 对于这种题目，我们可以延续分析通项的思想1，先计算 朳 朱 朱 朲n 朳 朱 朱 朲n1 朽 朲n 朱 朲n 朲 朽 朱 末 朱 朲n 朲 而通项 朱 末 朱 朲n 朱 末 朱 朲n 朲 显然成立因此原不等式成立 2.2对数函数不等式 首先回顾对f 木x朩 朽 杬杮x的常用放缩2：在木朱,朰朩 木朰,末朩上， x 朱 末 x 杬杮木朱 末 x朩 x
13、. 这个放缩有其优点：简单；在x 朽 朰左右两边均成立；但也有明显的缺点，那就是太过 宽松 接下来我们探索对于对数函数f 木x朩 朽 杬杮x在x 朽 朱附近一种重要放缩 c木x 朱朩 ax 末 b 1Qak 6 Tk类型的不等式的本质也是级数不等式，可以利用作商代替作差 2事实上，有更好的 2 2 1 + x ln(1 + x) x 朲分析通项法朵 首先计算朱阶导数： 木杬杮x朩0 ? ? ? x=1 朽 x1?x=1朽 朱 c木x 朱朩 ax 末 b 0? ? ? ?x=1 朽 c木a 末 b朩 木ax 末 b朩2 ? ? ? ? ?x=1 朽 c a 末 b 为了保证二者在x 朽 朱处相切
14、，令 c a 末 b 朽 朱，即c 朽 a 末 b此时 c木x 朱朩 ax 末 b 朽 木a 末 b朩木x 朱朩 ax 末 b 朽 朱 末 b a 木x 朱朩 x 末 b a , 记 朽 b a ，则g木x朩 朽 朱 末 x 末 木x 朱朩，考虑函数F 木x朩 朽 杬杮x 朱 末 x 末 木x 朱朩 有 F 0 木x朩 朽 朱 x 木朱 末 朩2 木x 末 朩2 朽 木x 朱朩木x 2朩 x木x 末 朩2 . 第一种情形，当 朽 朱时F 木x朩单调递增，而F 木朱朩 朽 朰，于是在木朰,朱朩上， 杬杮x 朲 x 末 朱 木x 朱朩由于此时g木x朩与f 木x朩 朽 杬杮x在x 朽 朱处的二阶导数
15、相同，所以这是一个很好的近似但是它有个明显的缺点，那就是不等号的 方向是不可控的我们接下来研究 6朽 朱的情形 第二种情形，当 朱时F 木x朩在木朰,朱朩上单调递增，在木朱,2朩上单调递减，在木2,末朩上 单调递增，而F 木朱朩 朽 朰，于是 在木朰,朱朩上1， 杬杮x 朱 末 x 末 木x 朱朩朻 在木朱,2朩上， 杬杮x 朱 末 x 末 木x 朱朩朻 这点相当重要，因为相当于给出了对f 木x朩 朽 杬杮x在朱右侧的很好估计，配合第一种情形中的 结论有：在木朱,2朩上， 朲 x 末 朱 木x 朱朩 杬杮x 朱 末 x 末 木x 朱朩 例如取 朽 朲，就有在木朱,朴朩上， 朲 x 末 朱 木x
16、 朱朩 杬杮x 2 x + 1 (x 1) 朲分析通项法朶 第三种情形，当 朱情况类似，我们有重要结论：在木2,朱朩上， 朱 末 x 末 木x 朱朩 杬杮x 朲 x 末 朱 木x 朱朩 至此，我们就得到了对数函数杬杮x在x 朽 朱附近的可调整松紧的放缩： 在木朱,2朩上， 朲 x 末 朱 木x 朱朩 杬杮x 朱 末 x 末 木x 朱朩； 在木2,朱朩上， 朱 末 x 末 木x 朱朩 杬杮x 朲 x 末 朱 木x 朱朩 此外还有不含参的更紧的其他形式的放缩，如下： 在木朱,末朩上， 朲 x 末 朱 木x 朱朩 杬杮x 朱 x木x 朱朩， 在木朰,朱朩上， 朱 x木x 朱朩 杬杮x 朲 x 末 朱
17、 木x 朱朩 例题 2.3 求证：n 末 朱 来 n n朡 原不等式即 杬杮木n 末 朱朩 n P k=1 杬杮k n 末 朱（利用取对数下放指数） 也即 n杛杬杮木n 末 朱朩 朱杝 n X k=1 杬杮k 分析通项，尝试证明 n杛杬杮木n 末 朱朩 朱杝 木n 朱朩木杬杮n 朱朩 杬杮n 杬杮 朱 末 朱 n 朱 n 于是1原命题得证 例题 2.4 求证： n2 朲 末 朳n 朸 n P k=1 朱 杬杮 朲k 末 朱 朲k 朱 n2 朲 末 n 朲 分析通项，只需要证明 n2 朲 末 朳n 朸 木n 朱朩2 朲 朳木n 朱朩 朸 朱 杬杮 朲n 末 朱 朲n 朱 n2 朲 末 n 朲 木
18、n 朱朩2 朲 n 朱 朲 即 朱 n 杬杮 朱 末 朱 n 朱 朲 1 时 x x + 1 ln(1 + x) 0 时， 2x x + 2 ln(1 + x) x x + 1，当 x 0 时 x x + 1 ln(1 + x) 2x x + 2 朲分析通项法朷 令 朱 n 朱 朲 朽 x，则n 朽 朱 x 末 朱 朲 ，只需要证明 朲x x 末 朲 杬杮木朱 末 x朩 朸x 朳x 末 朸 在木朰,朲朩上恒成立1即可 例题 2.5 已知数列an满足：a1朽 朱，an+1朽 an末 朱 an 木朱朩求证： 朲n 朱 a n 朲） ； 木朲朩求证： n P k=1 朱 ak 6 朲n 朱 木朱朩只
19、需要证明 朲n 朱 an2 朳n 朲, 尝试分析通项证明 朲 an+12 an2 朳. 事实上， an+12朽 an末 朱 an 2 朽 an2末 朱 an2 末 朲. 不难证明朰 朱 an2 朲n 朱，于是 朱 an 6 朱 朲n 朱 朲 朲n 朱 末朲n 朳 原不等式得证 2.3习题 习题 2.1 求证： n2末 n 朲 n P k=1 pk木k 末 朱朩 n2末 朲n 朲 习题 2.2 证明下列不等式： 木朱朩求证： 朱 朳 朵 木朲n 朱朩 朲 朴 朶 朲n 朱 朲n 末 朱； 木朲朩求证： 朱 朲 末 朱 朳 朲 朴 末 朱 朳 朵 朲 朴 朶 末 末 朱 朳 朵 木朲n 朱朩 朲
20、朴 朶 朲n 2 ） 2x x + 2 ln(1 + x) x x + ； 在 ( 2),0) 上（ 2 ） x x + ln(1 + x) 2x x + 2 朲分析通项法朸 习题 2.3 已知n,m N，求证：nm+1 木m 末 朱朩 n P k=1 km 朲?n 末 朱 朱? 习题 2.5 求证： n P k=2 杬杮k k 末 朱 朲） 习题 2.6 已知 朲，求证： 杬杮朲 朲 末 杬杮朳 朳 末 末 杬杮n n 朲n2 n 朱 朲木n 末 朱朩 2.4习题参考答案 习题 2.1 我们先来计算一下 n2末 朲n 朲 木n 朱朩2末 朲木n 朱朩 朲 朽 朲n 末 朱 朲 , n2末 n
21、 朲 木n 朱朩2末 木n 朱朩 朲 朽 n, 而通项n pn木n 末 朱朩 朲n 末 朱 朲 ，显然成立（A G不等式） 因此原不等式成立 习题 2.2 木朱朩分析通项，尝试证明 朲n 朱 朲n 朴n2 朱 于是原不等式得证 木朲朩分析通项，尝试证明 朱 朳 朵 木朲n 朱朩 朲 朴 朶 朲n 朲n 末 朱 朱 朲n 朱 朱 朽 朲 朲n 末 朱 末朲n 朱 根据， 朱 朳 朵 木朲n 朱朩 朲 朴 朶 朲n 朱 朲n 末 朱 于是原不等式得证 习题 2.3 分析通项，尝试证明 nm+1 木n 朱朩m+1 木m 末 朱朩 nm 木n 末 朱朩m+1 nm+1 朳等比放缩法朹 即 朱 朱 朱
22、n m+1 m 末 朱 n 朱 木m 末 朱朩 朱 n 朱 末 朱 n m+1 朱 末 木m 末 朱朩 朱 n 此即伯努利不等式1，因此原不等式得证 习题 2.4 分析通项，尝试证明 朱 4 p木朲n 朱朩木朲n 末 朱朩 朲n 末 朱 n . 事实上， 朱 4 p木朲n 朱朩木朲n 末 朱朩朽 朱 4 朴n2 朱 朱 朲n朽 朲 朲n 朲 n 末 朱 末n朽 朲n 末 朱 n 因此原不等式得证 习题 2.5 证明 杬杮n n 末 朱 n 朱 朲 即可 习题 2.6 分析通项，尝试证明 杬杮n n 朲n2 n 朱 朲木n 末 朱朩 朲木n 朱朩2 木n 朱朩 朱 朲n 朽 朱 朱 n木n 末
23、朱朩 事实上， 杬杮n n 6 杬杮n2 n2 （y 朽 杬杮x x 在木朱,末朩上单调递减） 6 朱 朱 n2 （杬杮x x 朱，于是杬杮x x 朱 朱 x） 朱 朱 n木n 末 朱朩 因此原不等式得证 3等比放缩法 3.1等比放缩法 当通项an从某项起恒小于朰并不成立时，级数不等式 n P k=1 ak 1 时 (1 + x)n 1 + nx 朳等比放缩法朱朰 无穷大时的考查形如 P k=1 ak的级数称为无穷级数；对于级数 P n=1 an，其中an 朰，那么称 其为正项级数；对于级数 P n=1 木朱朩nan，其中an 朰，那么称其为交错级数可以看到，这 种级数不等式的证明过程实际上就
24、是对收敛的无穷级数 P n=1 an 1的上界的探索过程 无穷递缩等比数列（公比q 满足|q| 朱的无穷等比数列bn）可以提供一种重要的收敛 无穷级数2： X b1qn朽 b1 朱 q 特别的，若朰 q N 时， an6 aNqnN或 an+1 an 6 q ，其中朰 q 朱，于是 ? ? ? ? ? n X k=1 朱 末 ak 朱 ak n ? ? ? ? ? 朽 n X k=1 朱 末 ak 朱 ak 朱 朽 朲 n X k=1 ak 朱 ak 而 a an 朱 an a a an a an+1 a 朱, 因此可以选定q 朽 a这样就有 n X k=1 ak 朱 ak a 朱 a 朱 a
25、 朽 a 木朱 a朩2 朽 朱 a 末 朱 a 朲 6 朲 因此 ? ? ? ? ? n P k=1 朱 末 ak 朱 ak n ? ? ? ? ? 6 朴 1此时 lim n an= 0 ；通常记这种无穷级数的极限 lim n n P k=1 ak= P an例如 P1 2n = 1 ， P1 n = + P n=1 1 n 称 为调和级数 2 P n=1 1 zn 称为等比级数或几何级数 3可以利用 lim n an+1 an 探索恰当的公比 朳等比放缩法朱朱 3.2交错级数的处理思路 处理交错的级数时，我们常常有以下三种处理方式：木朱朩直接放缩掉负项；木朲朩分为两个子 列；将交错项分别合
26、并 例题 3.2 求证： n P k=1 朱 朲k 木朱朩k 朱朱 朱朲 此时不能直接令q 朽 朱 朲 进行等比放缩，而需要对交错项进行恰当的处理 处理方式一（直接放缩掉负项） n X k=1 朱 朲k 木朱朩k 朱 朲1末 朱 末 朱 朲2 朱 末 朱 朲3末 朱 末 n X k=4 朱 朲k 朱 1 朷 朹 末 朱 朲4 朱 朱 朱 朲 朽 朴朱 朴朵 朱朱 朱朲 处理方式二（分为两个子列） 2n X k=1 朱 朲k 木朱朩k 朽 n X k=1 朱 朴k 朱末 n X k=1 朱 朲 朴k1末 朱. 其中 n X k=1 朱 朴k 朱 朽 朱 朴1 朱 末 n X k=2 朱 朴k 朱
27、 朱 朳 末 朱 朴2 朱 朱 朱 朴 朽 朱朹 朴朵 n X k=1 朱 朲 朴k1末 朱 朱 朳 末 朱 朹 末 n X k=3 朱 朲 朴k1 朴 朹 末 朱 朳朲 朱 朱 朴 朽 朳朵 朷朲 此时 朱朹 朴朵 末 朳朵 朷朲 朱朱 朱朲 ，因此原命题得证 处理方式三（将交错项分别合并） 2n X k=1 朱 朲k 木朱朩k 朽 n X k=1 朱 朴k 朱 末 朱 朲 朴k1末 朱 朽 n X k=1 朳 朴k 木朴k 朱朩木朴k末 朲朩. 可以放缩为等比数列 n X k=1 朳 朴k 木朴k 朱朩木朴k末 朲朩 朽 朳 n X k=1 朱 朴k 朲 朴k 末 朱 朳 朱 朴 朲 朴
28、末 朱 末 n X k=2 朱 朴k 朳 朲 朹 末 朱 朱朶 朱 朱 朴 朽 朱朱 朱朲 3.3进阶篇 例题 3.3 已知数列an中a1朽 朳，an+1朽 an2 nan 朲，求证： n P k=1 朱 ak c，其中 c 为常数 可以尝试证明1当n 朳时， an+1 an 朲 这样就有 n X k=1 朱 ak 朽 朱 朳 末 朱 朴 末 n X k=3 朱 ak 朷 朱朲 末 朱 朶 朱 朱 朲 朽 朷 朱朲 末 朱 朳 朽 朱朱 朱朲 朰， a1朽 朰， an+12末 an+1 朱 朽 an2 记Sn朽 n P k=1 ak，Tn朽 朱 朱 末 a1 末 朱 木朱 末 a1朩木朱 末
29、a2朩 末 末 朱 木朱 末 a1朩木朱 末 a2朩木朱 末 an朩 木朱朩求证：an n 朲； 求证：Tn 朰, 于是an+1 an 木朲朩an+1 朱 朽 an2 an+12,于是 n X k=1 木ak 朱朩 朽 a1 朱 末 a12 an2朽 ?朱 末 a n2 ? 1只需要证明 an n + 3 而这利用数学归纳法容易证明 朳等比放缩法朱朳 因此只需要证明an 朲时，有1 bn bn1 朽 朱 朱 末 an 朱 朱 末 a2 朽 朱 朱 末 朵 朱 朲 朽 朵 朱 朲 , 因此 n X k=1 bk朽 b1末 n X k=2 bk 朱 末 朱 朱 末 朵 朱 朲 朱 朵 朱 朲 朽
30、朳 末 朵 朲 朳 因此Tn 朲an, 于是 朱 朱 末 an+1 朳时， bn 朱 朱 末 a1 朱 朱 末 a2 a3 朲a2 a4 朲a3 an 朲an1 朽 an 朲n2 朱 朲n2 因此 n X k=1 bk b1末 b2末 n X k=3 朱 朲k2 朱 末 朱 朱 末 朵 朱 朲 末 朱 朲 朱 朱 朲 朽 朳 末 朵 朲 朳 3.4习题 习题 3.1 求证： n P k=1 朲 朳 朲k末 朲 n 朲 朱 朳 习题 3.3 求证： n P k=1 朱 朳k末 木朲朩k 朷 朶 1这里适当后移了放缩起点，否则得到公比为 1 1 + a1 = 1 无法进行放缩 2这里用到了错项放缩
31、的想法，相应的技巧性也较强 朳等比放缩法朱朴 习题 3.4 已知a1朽 朱 朳 ，a2朽 朷 朹 ，an+2朽 朴 朳an+1 朱 朳an 求证： 朳 朴an+1 朱 朱朲 6 n X k=1 朱 ak 朱 末 ak 朴，有 朱 a4 末 朱 a5 末 末 朱 am 朳 木朱朩求证：an n 末 朲； 木朲朩求证： 朱 朱 末 a1 末 朱 朱 末 a2 末 末 朱 朱 末 an 6 朱 朲 3.5习题参考答案 习题 3.1 n P k=1 朲 朳 朲k末 朲 朱 朴 末 朱 朷 末 n P k=3 朲 朳 朲k 朱 朴 末 朱 朷 末 朲 朳 朲3 朱 朱 朲 朽 朴朷 朸朴 朴 朷 习题
32、3.2 将其转化为 n P k=1 ak C 类型的，原不等式即 n X k=1 朱 朲 朲k 朱 朲k+1 朱 朱 朳 n X k=1 朱 朲木朲k+1 朱朩 朱 朳 n X k=1 朱 朲k+1 朱 朲 朳 而容易证明 朲n 朱 朲n+1 朱 朱 朲, 于是选定q 朽 朱 朲 这样就有 n X k=1 朱 朲k+1 朱 朱 朲2 朱 朱 朱 朲 朽 朲 朳, 原命题得证 习题 3.3 注意到 朱 朳n+1 朲n+1 朱 朳n 朲n 朱 朳, 朳等比放缩法朱朵 考虑用等比放缩 n X k=1 朱 朳k末 木朲朩k 朽 朱 朳 末 木朲朩 末 朱 朳2末 木朲朩2 末 n X k=3 朱 朳k
33、 木朲朩k 朱 末 朱 朱朳 末 n X k=3 朱 朳k 朲k 朱 末 朱 朱朳 末 朱 朳3 朲3 朱 朱 朳 朽 朱 末 朱 朱朳 末 朱 朱朹 朳 朲 朷 朶 于是原不等式得证 习题 3.4 根据题意有 an朽 朲 朳 朲n2末 木朱朩n1 , 于是需要证明 n X k=2 朱 朲k 木朱朩k 朷 朱朲. 参考例题证明即可 习题 3.5 容易求得an朽 朱 朲 朳n 于是原不等式即1 朲 朳 朱 朲 朱 朳n 6 n X k=1 朱 朳k 朱 朳 朴 朱 朲 朱 朳n 朱 朶 6 n X k=1 朱 朳2k 朳k 朱 朴 左边不等式显然成立 考虑右边，由于 朱 朳2(n+1) 朳n+1
34、 朱 朳2n 朳n 朽 朳n 朱 朳n+2 朳 朱朩 于是 n X k=1 朱 朳2k 朳k 朱 朳2 朳 朱 朱 朹 朽 朹 朴朸 木n 末 朲朩an nan末 朲 朽 朲木an末 朱朩 于是 朱 朱 末 a1 末 朱 朱 末 a2 末 末 朱 朱 末 an 6 朱 朱 末 a1 朱 朱 朲 6 朱 朲. 4裂项放缩法 4.1裂项放缩法 形如 P n=1 木bn bn+1朩的级数称为裂项级数，当 杬杩杭 n bn朽 朰时，裂项级数收敛： X 木bn bn+1朩 朽 b1 因此对于级数 P n=1 an，若当n N 时，an6 bn bn+1，其中bn 朰，则 X n=1 an朽 N1 X k
35、=1 ak末 X n=N an6 N1 X k=1 ak末 X n=N 木bn bn+1朩 朽 N1 X k=1 ak末 bN 这种将级数放缩为裂项级数的放缩方法称为裂项放缩法 例题 4.1 求证： n P k=1 朳k 朳k末 朱 末 朳k 朳k 朱 朳 朲n 朱 朴 原不等式即 n X k=1 朱 朳k末 朱 朱 朳 朳k 朱 朳 朱 朴 n X k=1 朱 朳k末 朱 朱 朳k+1 朱 朱 朴 而 n X k=1 朱 朳k末 朱 朱 朳k+1 朱 朱 朳 末 朱 朱 朳2 朱 末 n X k=2 朱 朳k 朱 朱 朳k+1 朱 朽 朱 朴 朱 朸 末 朱 朸 朱 朳n+1 朱 朱 朴 因
36、此原不等式成立 朴裂项放缩法朱朷 例题 4.2 求证： n P k=1 朱 n 末 k 朲朵 朳朶 首先 n P k=1 朱 n 末 k 并非标准级数形式，需要改写题目 设Sn朽 n P k=1 朱 n 末 k 朽 朱 n 末 朱 末 朱 n 末 朲 末 末 朱 朲n ，则 Sn+1 Sn朽 朱 朲n 末 朱 末 朱 朲n 末 朲 朱 n 末 朱 朽 朱 木朲n 末 朱朩木朲n 末 朲朩 于是问题即证明 n X k=1 朱 朲k 木朲k 朱朩 朲朵 朳朶, 也即 n X k=1 朱 k k 朱 朲 朲朵 朹 . 由于1 朱 k k 朱 朲 朱 k 末 朱 朴 k 朳 朴 朽 朱 k 朳 朴 朱
37、 k 末 朱 朴 于是 n X k=1 朱 k k 朱 朲 朱 朱 朱 朲 末 朱 朲 朳 朲 末 朱 朳 朳 朴 朱 n 末 朱 朴 朽 朲朵 朹 朱 n 末 朱 朴 朲朵 朹 因此原不等式成立 4.2一些常用的裂项 朱基本公式 朱 a木a 末 b朩 朽 朱 b 朱 a 朱 a 末 b 朱 a木b a朩 朽 朱 b 朱 a 末 朱 b a 2 b a 末 m b a b 末 m a 末 m b m a m b a b a m （朰 b a，朰 m a）3 朱 a木a 末 b朩 朱 木a 末 b 朱朩木a 末 b朩 朱 a 末 b 朱 朲 a 末 b 末 朱 朲 （朰 b 朱）4 1这里使用的
38、裂项是最为精细的，若使用裂项 1 k k 1 2 1 k 1 1 k 则无论如何后移起点都无法得到 25 36 这么好的结果 2基本分式展开 3糖水原理，这种方式的放缩也称为分式放缩 4常用裂项公式，关键在于和一定时，差越大积越小 朴裂项放缩法朱朸 朲 p级数1 p 朽 朱时，杬杮木n 末 朱朩 杬杮n 朱 n 朲） ； p 朽 朲时， 朱 n 朱 n 末 朱 朱 n2 朲） p 朽 朱 朲 时，朲 ?n 末 朱 n? 朱 n 朱） ； p 朽 朳 朲 时，朲 朱 n 朱 n 末 朱 朱 n3 朲） ； 更精细的放缩 p 朽 朱时， 朱 n 朱） ； p 朽 朲时， 朱 n2 朲） p 朽 朱
39、 朲 时， 朱 n 朱） ； p 朽 朳 朲 时， 朱 n3 朱） ； 朳其他裂项 权r n 朱 nr 朽 n朡 r朡木n r朩朡 朱 nr 朱 r朡 朲） ； n 末 朲 n朡 末 木n 末 朱朩朡 末 木n 末 朲朩朡 朽 朱 木n 末 朱朩朡 朱 木n 末 朲朩朡 ； qn 木qn 朱朩2 朱） 例题 4.3 对p级数当p 朽 朳，p 朽 朴 2时进行裂项 1形如 P n=1 1 np 的级数称为 p 级数，当 p 1 时， p 级数收敛；当 0 p 6 1 时， p 级数发散 2如证明： n P k=1 1 k4 11 10 朴裂项放缩法朱朹 p 朽 朳时， 朱 n3 朱 木n 末 朱
40、朩n木n 朱朩 朽 朱 朲 朱 n木n 朱朩 朱 n木n 末 朱朩 p 朽 朴时1， 朱 n4 朱 n 朳 朲 n 朱 朲 n 末 朱 朲 n 末 朳 朲 朽 朱 朳 朱 n 朳 朲 n 朱 朲 n 末 朱 朲 朱 n 朱 朲 n 末 朱 朲 n 末 朳 朲 . 例题 4.4 利用裂项法估计 n P k=1 朱 末 朱 k 杬杮 朱 末 朱 k 朱 k 的上界 可以利用杬杮木朱 末 x朩的含参估计： 杬杮木朱 末 x朩 x x 末 木朰 x 木 朱朩 2 朱朩. 取 朽 朵 朲 ，则2 杬杮 朱 末 朱 n 朵 朲n 朱 n 末 朵 朲 朽 朱 n 末 朲 朵 于是 朱 末 朱 n 杬杮 朱
41、末 朱 n 朱 n 朽 朳 朵 n n 末 朲 朵 朳 朵 n 朳 朱朰 n 末 朷 朱朰 朽 朳 朵 朱 n 朳 朱朰 朱 n 末 朷 朱朰 因此 n X k=1 朱 末 朱 k 杬杮 朱 末 朱 k 朱 k 朲 朳 ；木朲朩求证： n Q k=1 朱 末 朱 朹k N 时 1 n4 6 1 n2 N2 等等 2取更小的 可以得到更为精细的结果，但此时应当适当后移放缩起点 朴裂项放缩法朲朰 若n N 时，有 bn bn+1 an cn cn+1 （其中 杬杩杭 n bn朽 朱, 杬杩杭 n cn朽 朱） ，那么 N1 Y n=1 an bN朽 N1 Y n=1 an Y n=N bn bn+
42、1 Y n=1 an 朽 N1 Y n=1 an Y n=N an N1 Y n=1 an Y n=N cn cn+1 朽 N1 Y n=1 an cN 对an朽 朱 末 朱 pn ，我们可以尝试证明an 朱 末 朱 pn1 朱 末 朱 pn 等等 对an朽 朱 朱 qn ，我们可以尝试证明an 朱 朱 qn1 朱 朱 qn 或an 朱 末 朱 qn 朱 末 朱 qn1 等等 思路朲：可以利用对数函数不等式 x x 末 朱 杬杮木朱 末 x朩 朱朩 朲x 朱 末 x 杬杮木朱 末 x朩 朰朩 x 朱 末 x 杬杮木朱 末 x朩 朲x 朱 末 x木x 朱 末 n X k=1 bk木其中 bk 朱
43、,k 朽 朱,朲, ,n朩 第木朱朩小题题解： 思路朱： 考虑错项放缩： 朱 朱 朴n 朱 朱 朴n1 朱 朱 朴n 木n 朱朩 恰当后移放缩起点： Y n=1 朱 朱 朴n 3 Y n=1 朱 朱 朴n 朱 朱 朴3 朲 朳 朴裂项放缩法朲朱 考虑错项放缩： 朱 朱 朴n 朱 末 朱 朴n 朱 末 朱 朴n1 木n 朱朩 恰当后移放缩起点： Y n=1 朱 朱 朴n 3 Y n=1 朱 朱 朴n 朱 朱 末 朱 朴3 朲 朳 思路朲： 杬杮 Y n=1 朱 朱 朴n 朽 X n=1 杬杮 朱 朱 朴n 朽 杬杮 朳 朴 末 X n=2 杬杮 朱 朱 朴n 杬杮 朳 朴 末 X n=2 朱 朴
44、n 朱 朱 朴n 朽 杬杮 朳 朴 X n=2 朱 朴n 朱 杬杮 朳 朴 朱 朴2 朱 朱 朱 朴 朽 杬杮 朳 朴 朱 朲朰 杬杮 朲 朳 思路朳1： Y n=1 朱 朱 朴n 朱 X n=1 朱 朴n 朱 朱 朴 朱 朱 朴 朽 朲 朳. 第木朲朩小题题解： 思路朱： 考虑错项放缩： 朱 末 朱 朹n 朱朩 于是 n Y k=1 朱 末 朱 朹k 朱 末 朱 朹11 朱 末 朱 朹n 朲 考虑错项放缩： 朱 末 朱 朹n 朱朩 于是 n Y k=1 朱 末 朱 朹k 朱 末 朱 朹 朱 朱 朹n 朱 朱 朹21 朵 朴. 1里用到了等比放缩法 朴裂项放缩法朲朲 思路朲： 杬杮 n Y k
45、=1 朱 末 朱 朹k 朽 n X k=1 杬杮 朱 末 朱 朹k n X k=1 朱 朹k 朱 末 朱 朹k 朽 n X k=1 朱 朹k末 朱 朱 朹1末 朱 朱 朱 朹 朽 朹 朸朰 朱 n X k=1 朱 朹k末 朱 朱 n X k=1 朱 朹k 朱 朱 朹 朱 朱 朹 朽 朷 朸 于是 n Q k=1 朱 末 朱 朹k 朸 朷 朲 例题 4.6 求证1： 朱 朳 朵 朷 木朲n 朱朩 朲 朴 朶 朸 朲n 朱 朲n 末 朱 法朱 朱 朳 朵 朷 木朲n 朱朩 朲 朴 朶 朸 朲n 朽 朱 朲 朳 朴 朵 朶 朷 朸 朲n 朱 朲n 朲 朳 朴 朵 朶 朷 朸 朹 朲n 朲n 末 朱
46、朽 朲 朱 朴 朳 朶 朵 朸 朷 朲n 朲n 朱 朱 朲n 末 朱 于是 朱 朳 朵 朷 木朲n 朱朩 朲 朴 朶 朸 朲n 杬杮 朲n 末 朱 1此题可以直接用分析通项法处理，这里给出分式放缩的解法 朴裂项放缩法朲朳 也即 杬杮朲 末 n X k=2 杬杮 朱 末 朱 朲k 朱 朱 朲 杬杮朲 末 杬杮 n 末 朱 朲 考虑到 杬杮 朱 末 朱 朲n 朱 朱 朲n 朱 朱 末 朱 朲n 朱 朽 朱 朲n, 于是1 杬杮朲 末 n X k=2 杬杮 朱 末 朱 朲k 朱 杬杮朲 末 朱 朲 n X k=2 朱 n 杬杮朲 末 朱 朲 Z n+1 2 朱 x杤x 朽 杬杮朲 末 朱 朲杬杮x
47、? ? ? ? n+1 2 朽 朱 朲 杬杮朲 末 朱 朲 杬杮木n 末 朱朩 朱 朲 杬杮朲 末 杬杮 n 末 朱 朲 于是原不等式得证 4.3进阶篇 例题 4.7 数列an中a1朽 朲，an+1朽 an2 an末 朱求证： 朱 朱 朲朰朱朴2014 2014 X k=1 朱 ak 朲朰朱朴2014 考虑用数学归纳法，若an+1 朱 nn，则 an+2 朱 朽 an+1木an+1 朱朩 nn木nn 朱朩 1这里用到了积分放缩 朴裂项放缩法朲朴 于是只需要证明 nn木nn 朱朩 木n 末 朱朩n+1, 即 nn 朱 n 末 朱 朱 末 朱 n n . 将 nn 朱 n 末 朱 放缩至 n3 朱
48、 n 末 朱 朽 n2 n 末 朱木n 朳朩 朷 朳 朱 末 朱 n n 因此选择归纳起点为n 朽 朳时即可 事实上，a2朽 朳，a3朽 朷，于是a3 朱 朲2成立 例题 4.8 已知a1朽 朱，an+1朽 朱 末 朱 朲n an末 朱 n2 ，求证：an 朱，进而 杬杮 an+1 an 朽 杬杮 朱 末 朱 朲n 末 朱 n2 朱 an 6 杬杮 朱 末 朱 朲n 末 朱 n2 朱 朲n 末 朱 n2 于是 杬杮an+1朽 n X k=1 杬杮 ak+1 ak n X k=1 朱 朲n 末 朱 n2 朱 朲 朱 朱 朲 末 朱 朱2 末 朱 朲2 末 n X k=3 朱 n 朱 朱 n 朱
49、末 朱 末 朱 朴 末 朱 朲 朽 朱朱 朴 例题 4.9 设an是函数f 木x朩 朽 x3末 n2x 朱的零点 木朱朩求证：朰 an 朱； 木朲朩求证： n n 末 朱 n P k=1 ak 朳 朲 木朱朩显然f 木x朩在木朰,朱朩上连续且单调递增，而f 木朰朩 朰于是an 木朰,朱朩 木朲朩对左边的不等式，尝试使用分析通项只需要证明 an n n 末 朱 n 朱 n 朽 朱 n木n 末 朱朩 事实上， f 朱 n木n 末 朱朩 朽 朱 n3木n 末 朱朩3 末 n2 朱 n木n 末 朱朩 朱 朽 朱 n3木n 末 朱朩3 朱 n 末 朱 朰, 于是 an 朱 n2 . 因此（稍微后移起点，
50、仍然较大） n X k=1 ak n X k=1 朱 k2 朽 朱 朱 末 朱 朴 末 n X k=3 朱 k 朱 朱 k 朰，于是a1 朳 朴 这样就有 n X k=1 ak 朳 朴 末 n X k=2 朱 k2 朳 朴 末 朱 朴 末 n X k=3 朱 k 朱 朱 k 朳 朴 末 朱 朴 末 朱 朲 朽 朳 朲 因此原不等式得证 例题 4.10 已知数列an满足a0朽 朱 朲 ，an朽 an1末 朱 n2 an12，求证： n 末 朱 n 末 朲 an n 注意到1 朱 an 单调递减趋于朰，将递推式改写为 朱 an1 朱 an 朽 朱 an1 朱 an1末 朱 n2 an12 朽 朱
