1、一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 1 - 微信公众号：中学数学研讨部落 导数中的不等式证明导数中的不等式证明 导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性由于不等式证明的灵活性，多样性多样性，该考点该考点 也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段 命题角度命题角度 1构造函数构造函数 命题角度命题角度 2放缩法放缩法 命题角度命题角度 3切线
2、法切线法 命题角度命题角度 4二元或多元不等式的证明思路二元或多元不等式的证明思路 命题角度命题角度 5函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用 命题角度命题角度 1构造函数构造函数 【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数 ln1 1, ( ) x xae f xg xbx xex ，若曲线 yf x 与曲线 yg x的一个公共点是1,1A，且在点A处的切线互相垂直 （1）求, a b的值； （2）证明：当1x 时， 2 ( )f xg x x 【解析】（1）1ab ； （2） 1 ( ) x e g xx ex ， 2ln1 ( )10 x xe f xg xx xxex ， 令 2 (
3、 )1h xf xg xx x ，则 ln1 1 x xe h xx xex ， 222 1 ln1ln 11 xx xexe h x xexxe ， 因为1x ，所以 2 ln 10 x xe h x xe ， 所以 h x在1.单调递增， 10h xh，即 ln1 10 x xe x xex ， 所以当1x 时， 2 ( )f xg x x 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用 导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明. 命题角度命题角度 2放缩法放缩法 【典例 2】（石家庄市 2018 届高三下学期 4 月一模考试）已知函数(
4、 )()() x f xxb ea(0)b ，在 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 2 - 微信公众号：中学数学研讨部落 ( 1,( 1)f处的切线方程为(1)10exeye . （1）求, a b； （2）若0m ，证明： 2 ( )f xmxx. 【解析】（1）1a ，1b ； （2）由（1）可知( )(1)(1) x f xxe，(0)0,10ff， 由0m ，可得 2 xmxx， 令( )11 x g xxex，则( )22 x g xxe， 当2x 时，( )2220 x g xxe ， 当2x 时，设( )
5、( )22 x h xg xxe，则( )30 x h xxe， 故函数( )g x在2,上单调递增， 又(0)0 g ，所以当,0 x 时，( )0g x，当0,x时，( )0g x， 所以函数( )g x在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增， 故( )(0)0g xg，即 2 11 x xexmxx. 故 2 ( )f xmxx. 【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参 数适当放缩达到证明的目标. 【典例 3】（成都市 2018 届高中毕业班二诊理科）已知函数 ln1,f xxxaxaR. （1）当0 x 时，若关于x的不等式 0f
6、x 恒成立，求a的取值范围； （2）当 * nN时，证明： 222 31 ln 2lnln 2421 nnn nnn 【解析】（1）1, ； （2）设数列 , nn ab的前n项的和分别为, 241 nn nn ST nn ，则 由于 1 1 1 , 2 , n nn Sn a SSn ，解得 1 12 n a nn ； 同理， 1 1 n b n n ， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 3 - 微信公众号：中学数学研讨部落 所以只需证明 2 111 ln 121 nn n ab nnnn n . 由（1）知1a 时
7、，有ln1xxx，即 1 ln x x x . 令 1 1 n x n ，则 11 ln 1 n nn ， 所以 2 2 11111 ln 1212 1 n nnnnn n ， 所以 222 3111 ln 2lnln 22224 nn nnn ； 再证明 2 11 ln 1 n nn n ，亦即 11 ln 1 n nn n ， 因为 11 ln2ln nn nn ， 111 111 nnnn n nn nnn ， 所以只需证 11 2ln 1 nnn nnn ， 现证明 1 2ln1xxx x . 令 1 2ln1h xxxx x ，则 2 22 121 10 x h x xxx ， 所以
8、函数 h x在1,上单调递减， 10h xh， 所以当1x 时， 1 2ln xx x 恒成立， 令 1 1 n x n ，则 11 2ln 1 nnn nnn ， 综上， 2 111 ln 121 n nnnn n ， 所以对数列 2 1 , ln, nn n ab n 分别求前n项的和，得 222 31 ln 2lnln 2421 nnn nnn . 【思路总结】待证数列不等式的一端是n项之和（或积）的结构，另一端含有变量n时，可以将它们 分别视为两个数列的前n项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系 的证明. 【典例 4】（安徽省安庆市 2018 届重点中学
9、联考）已知函数 2ln2 x x f x e . （1）求函数 f x的单调区间； （2）证明：当0 x 时，都有 2 22 ln1 xx fxx ee . 【解析】（1） 2 1ln x xxx fx xe ， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 4 - 微信公众号：中学数学研讨部落 令 1lng xxxx ，则 10g， 当01x时，10,ln0 xxx，所以 0,0g xfx， 当1x 时，10,ln0 xxx，所以 0,0g xfx， 所以函数 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减； （2）要证明 2 22
10、 ln1 xx fxx ee ，即证 2 1 1lnln11xxxxx e ， 令 1lng xxxx ，则 1ln12lngxxx ， 当 2 1 0 x e 时， 0gx，当 2 1 x e 时， 0gx， 所以函数 g x在 2 1 0, e 上单调递增，在 2 1 , e 上单调递减， 222 121 11g x eee ， 所以 2 1 1ln1xxx e . 要证 2 1 1lnln11xxxxx e ，只需再证ln1xx即可. 易证ln1xx，当且仅当1x 时取等号（证明略），所以0ln1xx， 综上所述，当0 x 时，都有 2 22 ln1 xx fxx ee . 【思路点睛】
11、对于含有ln x与 x e型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征， 灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式ln11 x xxex 的合理代换. 命题角度命题角度 3切线法切线法 【典例 5】（2018 届安徽省太和中学三模）已知函数 2x f xex. （1）求曲线 f x在1x 处的切线方程； （2）求证：当0 x 时， 21 ln1 x ee x x x . 【解析】（1） 2x f xex， 2 x fxex， 由题设得 12,11fefe， 所以曲线 f x在1x 处的切线方程为211yexe，即21yex； （2）令 g xfx，则 2 x gxe， 当ln2x
12、时， 0gx，当ln2x 时， 0gx， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 5 - 微信公众号：中学数学研讨部落 所以函数 g xfx在,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增， min ln2ln222ln20g xg f ， 所以函数 2x f xex在0,上单调递增， 由于曲线 f x在1x 处的切线方程为21yex， 11fe，可猜测函数 f x的图象恒在切线 21yex的上方. 先证明当0 x 时， 21f xex. 设 210h xf xexx，则 22 ,2 xx h xexehxe， 当ln2x 时，
13、0hx，当ln2x 时， 0hx， 所以 h x在0,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增， 由 030,10,0ln21heh，所以ln20 h ， 所以存在 0 0,ln2x ，使得 0 0h x， 所以当 0 0,1,xx时， 0h x，当 0,1 xx时， 0h x， 所以 h x在 0 0,x上单调递增，在 0,1 x上单调递减，在1,上单调递增. 因为 010hh，所以 0h x ，即 21f xex，当且仅当1x 时取等号， 所以当0 x 时， 2 21 x exex， 变形可得 21 x ee x x x ， 又由于ln1xx，当且仅当1x 时取等号（证明略）， 所以 21
14、ln1 x ee x x x ，当且仅当1x 时取等号. 【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放 缩法进行放缩解决问题. 命题角度命题角度 4二元或多元不等式的解证思路二元或多元不等式的解证思路 【典例 6】（皖南八校 2018 届高三第三次联考）若, ,x a b均为任意实数，且 22 231ab，则 22 lnxaxb的最小值为 .3 2A .18B .3 21C.196 2D 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 6 - 微信公众号：中学数学研讨部落 【解析】由于,
15、a b均为任意实数，且 22 231ab，所以动点,P a b到定点2,3C 的距离为定 值 1，亦即动点,P a b的轨迹是以 2,3C 为圆心，半径1r 的圆， 又 22 lnxaxb表示,P a b与动点 ,lnQ xx的距离，而,lnQ xx的轨迹是曲线 lnyx， 如图，1PQCQPCCQ，当且仅当, ,C P Q共线， 且点P在线段CQ上时取等号，以C为圆心作半径为r的圆 与lnyx相切，切点是,lnQ xx，此时的公切线与半径 垂直， ln3 1 1 2 x xx ，即ln13xxx ，结合函数 lnyx与13yxx 的图象可知1,0Q，所以 13 21PQCQPCCQ ， 故
16、22 lnxaxb的最小值为 2 3 21196 2.正确答案为 D. 【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化 为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题. 【变式训练】【变式训练】（2018 年湖北省高三 4 月调考）设 2 2 22 x Dxaeaa，其中2.71828e ， 则D的最小值为 .2A .3B .21C.31A 【解析【解析】由于 2 2 2 x xaea表示点, x P x e与点 ,2Q aa之间的距离PQ，而点 , x P x e的轨 迹是曲线 x ye，点 ,2Q aa的轨迹是曲线 2 40yx y， 如图
17、所示，又点 ,2Q aa到直线0 x 的距离为a， 自然想到转化为动点Q到抛物线准线1x 的距离， 结合抛物线的概念可得 2 2 22 x Dxaeaa 11PQQHPQQF ，所以11DPQQFPF ，当且仅当,P Q F共线， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 7 - 微信公众号：中学数学研讨部落 又以F为圆心作半径为r的圆与 x ye相切， 切点是 , x P x e， 此时的公切线与半径垂直，1 1 x x e e x ， 即0 x ，所以 min 2PF，故 min 21D.正确答案为 C. 【能力提升】（2
18、018 年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意0,baR，不等式 22 2 2ln1babamm 恒成立，则实数m的最大值为 .Ae.2B .Ce.3A 【答案】B. 命题角度命题角度 4二元或多元不等式的解证思路二元或多元不等式的解证思路 【典例 7】（2018 年安庆市二模）已知函数 2 lnf xxaxbx，曲线 yf x在点 1,1f处的切 线方程为2yx. （1）求实数, a b的值； （2）设 2 1212 ,0F xf xxmx mRx xxx分别是函数 F x的两个零点，求证： 12 0Fx x. 【解析】（1）1,1ab ； （2） 2 lnf xxxx， 1lnF x
19、m xx， 1 1Fxm x ， 因为 12 ,x x分别是函数 F x的两个零点，所以 11 22 1ln 1ln m xx m xx ， 两式相减，得 12 12 lnln 1 xx m xx ， 12 12 12 1212 lnln11 1 xx Fx xm xxx xx x ， 要证明 12 0Fx x，只需证 12 12 12 lnln1xx xxx x . 思路一：思路一：因为 12 0 xx，只需证 1211 12 22 121 2 1 lnlnln0 xxxx xx xxx xx x . 令 1 2 0,1 x t x ，即证 1 2ln0tt t . 令 1 2ln01h t
20、ttt t ，则 2 22 121 10 t h t ttt ， 所以函数 h t在0,1上单调递减， 10h th，即证 1 2ln0tt t . 由上述分析可知 12 0Fx x. 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 8 - 微信公众号：中学数学研讨部落 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把 12 ,x x转化为t的函数，常把 12 ,x x的关 系变形为齐次式，设 12 11 12 22 ,ln, xx xx tttxx te xx 等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：思路二：因
21、为 12 0 xx，只需证 12 12 12 lnln0 xx xx x x ， 设 2 22 2 lnln0 xx Q xxxxx x x ，则 22 22 2 22 2 2 222 211 2 0 222 x x xxx xx x xxxxx x Q x xx xxx x xx x xx x x ， 所以函数 Q x在 2 0,x上单调递减， 2 0Q xQ x，即证 2 2 2 lnln xx xx x x . 由上述分析可知 12 0Fx x. 【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于 1 x（或 2 x）的一元函数来处理应用导数研究其单
22、调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明此乃 主元法. 思路三：思路三：要证明 12 0Fx x，只需证 12 12 12 lnln1xx xxx x . 即证 12 12 12 lnln xx x x xx ，由对数平均数易得. 【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数 式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法. 【知识拓展】对于0,0,abab，则 2lnln abba ab ba ，其中 lnln ba ba 称之为对数平均数.简证 如下：不妨设1bax x，只需证明 11 2ln xx x x 即可，即
23、 211 ln 1 xx x xx （下略）. 【典例 8】（A10 联盟 2018 年高考最后一卷）已知函数 2 , , x f xeg xaxbx a bR. （1）当0b 时，方程 0f xg x在区间0,上有两个不同的实数根，求a的取值范围； （2）当0ab时，设 12 ,x x是函数 F xf xg x两个不同的极值点， 证明： 12 ln 2 2 xx a . 【解析】（1）因为 0f xg x，所以 2 0 x eax，即 2 x e a x ， 设 2 0 x e h xx x ，则 3 2 x xe h x x ， 所以 h x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， 一线名师
24、凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 9 - 微信公众号：中学数学研讨部落 2 2 4 e h xh，当0 x 时， h x ，当x 时， h x ， 要使方程 0f xg x在区间0,上有两个不同的实数根，则 2 4 e a ，解得 2 4 e a ， 故a的取值范围是 2 , 4 e ； 【一题多解】本题也可以变形为 x e ax x ，转化为过原点的直线yax与函数 x e y x 图象有两个交 点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点. （2）由题意， 2x F xeaxax， 2 x Fxeaxa，
25、 因为 12 ,x x是函数 F xf xg x两个不同的极值点， 不妨设 12 xx， 12 0,0FxFx，即 12 12 20,20 xx eaxaeaxa， 两式相减得 12 12 2 xx ee a xx . 要证 12 ln 2 2 xx a ，即证明 12 2 2 xx ea ， 只需证 1212 2 12 xxxx ee e xx ，即 1212 2 12 1 xxxx e e xx ，亦即 12 122 12 10 xx xx xxee . 令 12 0 2 xx t ，只需证当0t 时，不等式 2 210 tt tee 恒成立， 设 2 210 tt Q tteet，则 2
26、 21221 tttt Q tteeete ， 易证10 t tet ，所以 0Q t， 所以 Q t在,0上单调递减， 00Q tQ，即 2 210 tt tee . 综上所述， 12 ln 2 2 xx a 成立. 【审题点津】 函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征， 适当变形为两个变量之差 （或 比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题. 【典例 9】（2018 届合肥三模）已知函数 2 1 2 x f xexax有两个极值点 12 xx，(e为自然对数的底 数). （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 12 2f xf x. 解析解析： （1）由于
27、2 1 2 x f xexax，则 x fxexa， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 10 - 微信公众号：中学数学研讨部落 设 x g xfxexa，则 1 x gxe. 令 10 x gxe ，解得0 x . 所以当 0 x ，时， 0gx；当0,x时， 0gx. 所以 min 01g xga . 当1a 时， 0g xfx，所以函数 f x单调递增，没有极值点； 当1a 时， min10g xa ，且当x 时， g x ；当x 时， g x . 此时， x g xfxexa有两个零点 12 xx，不妨设 12
28、xx，则 12 0 xx， 所以函数 2 1 2 x f xexax有两个极值点时，实数a的取值范围是1,； 【答案速得】函数 f x有两个极值点实质上就是其导数 fx有两个零点，亦即函数 x ye与直线 yxa有两个交点，如图所示，显然实数a的取值范围是1,. （2）由（1）知， 12 xx，为 0g x 的两个实数根， 12 0 xx， g x在 0，上单调递减. 下面先证 12 0 xx ，只需证 21 0gxg x. 由于 2 22 0 x g xexa，得 2 2 x aex， 所以 222 222 2 xxx gxexaeex . 设 20 xx h xeex x ，则 1 20
29、x x h xe e ， 所以 h x在0 ，上单调递减， 所以 00h xh， 22 0h xgx，所以 12 0 xx . 由于函数 f x在 1 0 x，上也单调递减，所以 12 f xfx. 要证 12 2f xf x，只需证 22 2fxf x， 即证 22 2 2 20 xx eex . 设函数 2 20 xx k xeexx ，则 2 xx kxeex . 设 2 xx xkxeex ，则 20 xx xee ， 所以 x在0 ，上单调递增， 00 x，即 0kx. 所以 k x在0 ，上单调递增， 00k xk. 故当0 x，时， 2 20 xx eex ，则 22 2 2 2
30、0 xx eex ， 所以 22 2fxf x，亦即 12 2f xf x. 【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 11 - 微信公众号：中学数学研讨部落 依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关 系，如本题中的 12 0 xx ，如果“脑中有形”，如图所示，并不难得出. 命题角度命题角度 5函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用 【典例 10】 （2018 届合肥三模）已知函数 2 2f xxxa有零点 12 xx， 函数
31、2 12g xxax 有零点 34 xx，且 3142 xxxx，则实数a的取值范围是 9 .2 4 A ， 9 . 0 4 B ， .2 0C ，.1 D ， 解析：思路解析：思路 1：因为 1g xf xax，如图所示， 结合函数图象，则 1111 110g xf xaxax， 2222 110g xf xaxax， 若0a ，则 1 1x ，不适合题意，则0a ；当0a 时， 12 1xx ，所以 120fa ，即2a ， 所以实数a的取值范围是2 0 ，.正确答案为 C. 【评注】同理， 3333 101g xf xaxax， 4444 101g xf xaxax，所以 34 1xx
32、， 故 120ga ，即2a ，所以实数a的取值范围是2 0 ，. 思路思路 2：因为函数 2 2f xxxa有零点 12 xx，所以 2 2xxa的解分别为 12 xx， 因为函数 2 12g xxax有零点 34 xx，所以 2 2xxax的解分别为 34 xx， 令 2 2h xxx，若0a ，如图，总有 13 xx，不适合题意； 若0a ，如图，总有 31 xx，欲使 42 xx，亦即 2 149129 22 aaaa ， 所以 2 4929aaaa，即 2 04929aaaa， 两边平方，化简可得491a，所以2a . 所以实数a的取值范围是2 0 ，.正确答案为 C. 一线名师凭借
33、教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 12 - 微信公众号：中学数学研讨部落 思路思路 3：因为函数 2 2f xxxa有零点 12 xx， 所以 2 2xxa的解分别为 12 xx， 因为函数 2 12g xxax有零点 34 xx， 所以 2 1xa x 的解分别为 34 xx， 令 2 2 2,1h xxxu xx x ，两个函数的交点的坐标分别为 1,0 ,1, 2 ,2,0 ，如图所示， 结合函数图象，欲使 3142 xxxx，则20a ，所以实数a的取值范围是2 0 ，.正确答案为 C. 思路思路 4： （特例法）令2a
34、，则函数 2 f xxx有零点 12 01xx = ，函数 2 2g xxx有零点 34 21xx ，此时满足 3142 xx xx，因此排除 B； 再令1a ， 则 函 数 2 1f xxx有 零点 12 1515 22 xx =， 函数 2 2g xx有 零 点 34 22xx ， 此时满足 3142 1515 22 22 xxxx =，因此排除 A，D； 所以实数a的取值范围是2 0 ，.正确答案为 C. 命题角度命题角度 5函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用 【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系， 进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程
35、简洁的图解. 【知识拓展】 一般地， 对于函数)(xf的定义域内某个区间D上的不同 的任意任意两个自变量的值 21,x x， 总有 1212 ()() () 22 xxf xf x f （当且仅当 12 x x=时，取等号） ， 则函数)(xf在D上是凸函数，其几何意义：函数( )f x的图象上的 任意两点所连的线段都不落在图象的上方.( )0fx，则( )fx单调 递减，( )f x在D上为凸函数； 总有 1212 ()() () 22 xxf xf x f （当且仅当 12 x x=时，取等号） ， 则函数)(xf在D上是凹函数，其几何意义：函数( )f x的图象上的 任意两点所连的线段都
36、不落在图象的下方.( )0fx，则( )fx单调递增，( )f x在D上为凹函数. 【典例 11】（安徽省太和中学 2018 届 5 月质检）已知函数 1 lnf xxx，曲线( )yf x在1x 处 的切线方程为yaxb 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 13 - 微信公众号：中学数学研讨部落 （1）求证：1x 时， f xaxb； （2）求证： 2 * 2 ln2 ln2ln723 .2, 1632 n nn nn N 【解析】（1）函数 f x的定义域为0,， 1 ln x fxx x ， 又 12 f ， 10
37、f，所以该切线方程为21yx 设 1 ln221F xxxxx，则 1 ln1Fxx x ， 令 g xFx，则 22 111x gx xxx ， 当1x 时， 0gx，所以 g xFx在1,上单调递增， 又 10g，所以 0g xFx，即 F x在1,上单调递增， 所以 10F xF，故1x 时， f xaxb； （2）由（1）知：当1x 时，1 ln21xxx. 令 2 212,xnnnN，则 222 1 ln223nnn， 所以 2 22 ln2 2211 311111 n nnnnnn ， 所以 2 2 2 ln2 11111111111 1. 33243546211 n k k kn
38、nnn ， 化简可得 2 2 2 ln2 11132 1 3212 n k k knnn ，得证. 【方法归纳】本题 1 ln1f xxx x，其 1 ln x fxx x ， 2 1 0 x fx x ，说明函数 1 ln1f xxx x为凹函数，因此有1 ln21xxx.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为 第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点. 【典例 12】（成都市 2018 届高中毕业班二诊文科）已知函数 ln1,f xxxaxaR. （1）当0 x 时，若关于x的不等式 0f x 恒成立，求a的取值范围； （2）当1,x时，证明： 2 1 ln x e x xxx
39、 e . 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 14 - 微信公众号：中学数学研讨部落 【解析】（1）由 0f x ，得 1 lnax x 恒成立， 令 1 lnu xx x ，则 22 111x u x xxx ， 所以 u x在0,1上单调递减，在1,上单调递增， 所以 u x的最小值为 min 11u xu， 所以1a ，即1a ，故a的取值范围是1, ； （2）有（1）知1a 时，有ln1xxx， 所以 1 ln x x x . 要证 1 ln x e x x e ，可证 11 1 x e xx x ex ，只需证
40、 1x ex ， 易证1 x ex（证明略），所以 1x ex ； 要证 2 lnxxx，可证ln1xx， 易证ln1xx（证明略），由于1,10 xx ，所以 2 11xx xxx ， 所以 2 lnxxx， 综上所述，当1,x时，证明： 2 1 ln x e x xxx e . 【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求 范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法. 【典例 13】（咸阳市 2018 届三模）已知函数 lnf xxx， 2 2 a xx g x . （1）若 f xg x在1,上恒成立，求实
41、数a的取值范围； （2）求证： 222 12 111 111 n e nnn . 【解析】（1） f xg x等价于 2 ln0 2 a xx xx ，即 1 ln0 2 a x xx ， 记 1 ln 2 a x h xx ，则 12 22 aax h x xx ， 当0a 时， 0h x， h x在1,上单调递增，由 10h， 10h xh， 所以 0 xh x ，即 f xg x不恒成立； 当02a时， 22 1,1,x aa 时， 0h x， h x单调递增， f xg x不恒成立； 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 42888049
42、4 - 15 - 微信公众号：中学数学研讨部落 当2a 时，1,x， 0h x， h x在1,上单调递减， 10h xh，所以 0 xh x ，即 f xg x恒成立； 故 f xg x在1,上恒成立，实数a的取值范围是2,； （2）当2a 时， f xg x在1,上成立，即ln1xx， 令 2 1,1,2, 1 k xkn n ，则 22 ln 1 11 kk nn ， 所以 2222 1 12 ln 1ln 111 1111 n k kn nnnn 2222 1121 212 11121 n nnn n nnnn ， 所以 222 12 111 111 n e nnn 【方法归纳】当2a
43、时，lnyx，由于 1 y x 在0,上单调递减，所以lnyx为凸函数，则切线 在函数lnyx的图象的上方，所以ln1xx. 【典例 14】（福建泉州市 2018 年 5 月质检）函数 ln1f xxax的图像与直线2yx相切 （1）求a的值； （2）证明：对于任意正整数n， 1 12 2! ! nn nn n n nene n . 【解析】（1） fx 1 1 a x 设直线2yx与曲线 yf x相切于点 00 ,P xy依题意得： 00 000 0 2 ln1 1 2 1 yx yxax a x ，整理得， 0 0 0 ln10 1 x x x ，（*） 令 ln1 1 x g xx x
44、， 22 11 1 11 x gx x xx 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 16 - 微信公众号：中学数学研讨部落 所以，当0 x 时， 0gx， g x单调递增；当10 x 时， 0gx， g x单调递减当 0 x 时， g x取得最小值 00g， 所以 0g x ，即ln1 1 x x x . 故方程（*）的解为 0 0 x ，此时1a （2）要证明 1 2! ! n n n n ne n ，即证 1 12 n n n nennnn ， 只需证 1 1212 lnlnln 1 n n nnnnnnnnn e n
45、nnnnnn . 由（1）知， 0g x ，即ln1 1 x x x ， 因此 11 ln 1 1 nn ， 221 ln 1 21 nnn ， 1 ln 1 1 nn nnnn 上式累加得： 12 ln111 1 L nn nnnn ，得证； 要证明 1 2 2! ! n n n ne n ，即证 1 2 12 n n nnnnne ， 只需证 1 2 12121 lnlnln 2 n nnnnnnnnn e nnnnnn . 令 ln1xxhx，则 1 1 11 x h x xx 所以当0 x 时， 0h x， h x单调递减；当10 x 时， 0h x， h x单调递增.当0 x 时，
46、h x取得最大值 00h，即 0h x ，ln1xx 由ln1xx得： 11 ln 1 nn ， 22 ln 1 nn ，ln 1 nn nn 上式累加得： 12121 ln111 2 L L nnn nnnn ，得证； 综上， 1 12 2! ee ! nn nn n n nn n . 【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1）小题的探究切线的过程中挖掘，这是 切线放缩法的拓展运用. 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 17 - 微信公众号：中学数学研讨部落 【典例 15】（石家庄市 2018 届高中毕
47、业班一模）已知函数 ()()(0) x f xxb ea b在( 1,( 1)f处 的切线方程为(1)10exeye . （1）求, a b； （2）若方程( )f xm有两个实数根 12 ,x x，且 12 xx，证明： 21 (12 ) 1 1 me xx e . 【解析】 （1）1ab； （2）由（1）可知( )11 x f xxe，(0)0,( 1)0ff，( )21 x fxxe， 设( )f x在1,0处的切线方程为( )h x，易得 1 ( )11h xx e ， 令( )( )( )F xf xh x， 1 ( )1111 x F xxex e ， 则 1 ( )2 x F x
48、xe e ， 当2x 时， 11 ( )20 x F xxe ee ， 当2x 时， 设 1 ( )( )2 x G xF xxe e ，则 ( )30 x G xxe， 故函数( )F x在2,上单调递增， 又( 1)0F ，所以当, 1x 时，( )0F x，当1,x 时，( )0F x， 所以函数( )F x在区间, 1 上单调递减，在区间1, 上单调递增， 故( )( 1)0F xF，即( )( )f xh x，所以 11 ()()f xh x， 设( )h xm的根为 1 x，则 1 1 1 me x e ， 又函数( )h x单调递减，故 111 ()()()h xf xh x ，
49、故 11 xx ， 再者，设( )yf x在0,0处的切线方程为( )yt x，易得( )t xx， 令 ( )( )( )11 x T xf xt xxex ， ( )22 x T xxe ， 当2x 时，( )2220 x T xxe ， 当2x 时， 令 ( )22 x H xT xxe，则 30 x Hxxe， 故函数( )T x在2,上单调递增， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群 428880494 - 18 - 微信公众号：中学数学研讨部落 又 (0)0 T ，所以当,0 x 时，( )0T x，当0,x时，( )0T x， 所以函数( )T x在区间 ,0 上单调递减，在区间 0, 上单调递增， 所以( )(0)0T xT，即( )( )f xt x，所以 22 ()()f xt x， 设( )t xm的根为 2 x，则 2 xm ， 又函数( )t x单调递增，故 222 ()()()t xf xt x ，故 22 xx ， 又 11 xx ，所 2121 (1 2 ) 11 11 meme xxxxm ee . 【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式 必须做到“脑中有形”，结合示意图易得 1122 xxxx ， 显然 2121 xxxx .脑海中有这样的示意图，我们的思路不就清晰了吗？
