1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 武功县武功县 2022 届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.本试题分第本试题分第卷和第卷和第卷两部分，第卷两部分，第卷为选择题，用卷为选择题，用 2B 铅笔将答案涂在答铅笔将答案涂在答 题纸上。第题纸上。第卷为非选择题，用卷为非选择题，用 0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试 结束后，只收答题纸。结束后，只收答题纸。 2.答第答第卷、第卷、第卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚。卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚。 3.全卷满分全卷满分 150
2、 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项） 1.已知 i 为虚数单位，则i(1 i)（） A.1 i B.1i C.1 iD.1 i 2.已知集合 |26Axx， |232 x Bx，则AB （） A.(3,4)B.(4,5)C.(3,)D.(3,5) 3.设平面向量(2,1)a ，(0, 2)b ，则与2ab 垂直的向量可以是（） A.(3,2)B.(4,6)C.(3, 2)D.(4, 6) 4.下列说法错误的是（） A.命
3、题“若 2 320 xx，则1x ”的逆否命题为“若1x ，则 2 320 xx” B.“1x ”是“| 1x ”的充分不必要条件 C.若pq为假命题，则 p、q 均为假命题 D.若命题 P： “ 0 xR，使得 2 00 10 xx ” ，则p： “x R，均有 2 1 0 xx ” 5.下列选项中， 过点(1, 1)A、( 1,1)B ， 且圆心在直线20 xy上的圆的方程是 （） A. 22 (3)(1)4xyB. 22 (3)(1)4xy C. 22 (1)(1)4xyD. 22 (1)(1)4xy 6.下列四个命题中，假命题的个数是（） 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 垂直于同一
4、平面的两个平面互相平行； 若直线 1 l、 2 l与同一平面所成的角相等，则 1 l、 2 l互相平行； 若直线 1 l、 2 l是异面直线，则与 1 l、 2 l都相交的两条直线是异面直线. A.1B.2C.3D.4 7.下列图像，函数 2 1 ( )e x f x 的部分图像大致是（） A.B.C.D. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 8.已知ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 1 sin 3 A ，3sinbB，则 a 的值为（） A.3 3B.3C. 3 2 D. 3 3 9.已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0a ，0b
5、 ）的一条渐近线与直线3yx垂直，则双曲 线 C 的离心率为（） A. 7 2 B. 10 3 C.3D. 7 2 或 10 3 10.将函数( )sin23cos2f xxx的图像向右平移（0）个单位，再向上平移 1 个 单位，若所得图像经过点 ,1 8 ，则的最小值为（） A. 5 12 B. 7 12 C. 5 24 D. 7 24 11.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生， 则不同的选法共有（） A.34 种B.35 种C.120 种D.140 种 12.已知偶函数( )f x满足( )(2)0f xfx，现给出下列命题：函数(
6、 )f x是以 2 为周 期的周期函数；函数( )f x是以 4 为周期的周期函数；函数(1)f x为奇函数；函数 (3)f x为偶函数，这四个命题中真命题的个数是（） A.1B.2C.3D.4 第第卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 13 ( )logf xx， 1 2 2( ) (3)1fxx， 3( ) tanfxx，则 123 4 fff _. 14. 22 sin250cos70 cos 155sin 25 _. 15.已知正三棱柱 111 ABCABC的各条棱长都相等，且内接于球 O，若正三棱柱
7、111 ABCABC的体积为2 3，则球 O 的表面积为_. 16.满分为 100 分的测试卷，60 分为及格线.若 100 人参加测试，将这 100 人的卷面分数按照 24,36)，36,48)，84,96)分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数 较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 10 取整”的方法进行换算以提高 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 及格率（实数 a 的取整等于不超过 a 的最大整数）.如：某位学生卷面 49 分，则换算成 70 分作为他的最终考试成绩.则按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为_人. 三、解答题（本大题共
8、6 小题，共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）必考题（共 60 分） 17. （本小题满分 12 分） 已知公差不为零的等差数列 n a和等比数列 n b满足： 11 3ab， 24 ba，且 1 a、 4 a、 13 a成等比数列. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）令 n n n a c b ，求数列 n c的前 n 项和 n S. 18.（本小题满分 12 分）某天我市某高中组织高一年级学生开展了“百里远足”活动，受到 了社会的普遍赞誉.本次远足活动结束后，该校体育课外兴趣小组在高一某班进行了对“本 次远足活动高一同学们的表现”的满意度调查（结果
9、只有“满意”和“不满意”两种） ，按 分层抽样从被调查的学生中随机抽取了 11 人，具体调查结果如下表： 某班满意不满意 男生23 女生42 （1）若该班女生人数比男生人数多 4 人，求该班男生人数和女生人数； （2）求在该班随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （3）若从该班抽出的 11 名学生中任选 2 人进行追踪，记选中的 2 人中对“本次远足活动高 一年级学生表现”满意的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 19. （本小题满分 12 分） 如图所示， 在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ABAD， /AB DC，22ADDCAPAB，点 E 为棱PC的中
10、点. （1）证明：BEDC； （2）若点 F 为棱PC上一点，且BFAC，求二面角FABP的余弦值. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 20.（本小题满分 12 分）如图所示，(1,0)N是圆 M： 22 (1)16xy内一个定点，P 是圆 上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点 Q. （1）当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹 E 是什么曲线？并求出其轨迹方程； （2）过点(0,1)G作直线 l 与曲线 E 交于 A、B 两点，点 A 关于原点 O 的对称点为点 D，求 ABD的面积 S 的最大值. 21.（本小题满分 12 分）已知函数( )e2 x
11、 f xax. （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )f x在区间1,)上的最小值为 0，求 a 的值. （3）若对于任意0 x，( ) e x f x 恒成立，求 a 的取值范围. （二）选考题（共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分） 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线 C： 2 sin2 cosa（0a ） ；直线 l： 2 4 xt yt （t 为参数）与曲线 C 相交于 M、N 两 点. （1）求曲线 C 与直线 l 的普通
12、方程； （2）点( 2, 4)P ，若|PM、|MN、|PN成等比数列，求实数 a 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( ) |1|f xxax. （1）若2a ，求函数( )f x的最小值； （2）如果关于 x 的不等式( )2f x 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 武功县武功县 2022 届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测 理科数学参考答案及评分标准理科数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目
13、要求的一项） 1B2D3A4C5C6D7C8D9B10D11A12B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13114 1 2 15 28 3 1618 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）必考题（共 60 分） 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）设 n a的公差为 d，由已知得 2 1 134 a aa， 即 2 3(3 12 )(33 )dd，解得：2d 或0d （舍） ，所以32(1)21 n ann； 因为 24 9ba， 1 3b ，所以 n b的公比3q ，所以3n n b （2）由（1）
14、可知 21 3 n n n c ， 所以 23 35721 3333 n n n S ， 21 5721 33 333 n n n S ， 所以 21 11121 232 3333 n nn n S 1 11 21 212433 34 1 33 1 3 n nn nn ， 所以 2 2 3 n n n S 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）设该班男生人数为 x，则女生人数为4x，由条件可得： 5 2411 x x ， 解得：20 x ，故该班男生有 20 人，女生有 24 人； （2）由条件知在该班随机抽取一名学生，持满意态度的概率为 6 11 ； （3）由题意知0、1、2，服从参数
15、为11N ，6M ，2n 的超几何分布， 02 65 2 11 C C2 (0) C11 P， 11 65 2 11 C C6 (1) C11 P， 20 65 2 11 C C3 (2) C11 P， 故的分布列为： 012 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） P 2 11 6 11 3 11 于是， 26312 ( )012 11111111 E 19 （本小题满分 12 分） 解:（1）证明：PA 底面ABCD，ABAD 以 A 为原点，AB为 x 轴，AD为 y 轴，AP为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示， 由题意得：(0,0,0)A，(1,0,0)B，(0
16、,0,2)P，(2,2,0)C，(1,1,1)E，(0,2,0)D， (0,1,1)BE ，(2,0,0)DC ， 0BE DC ，即BEDC （2） (1,2,0)BC ，( 2, 2,2)CP ，(2,2,0)AC ，(1,0,0)AB ， 由点 F 在棱PC 上，设CF ( 2 , 2 ,2 )CP ， （01） ， (12 ,22 ,2 )BFBCCF ， BFAC，2(12 )2(22 )0BF AC ， 解得： 3 4 ， 1 1 3 , 2 2 2 BF 设平面FAB的法向量为 1 ( , , )nx y z ，则 1 1 0 113 0 222 nABx n BFxyz ， 不
17、妨令1z ， 可得 1 (0, 3,1)n 为平面FAB的一个法向 量， 取平面ABP的一个法向量 2 (0,1,0)n ， 则 12 12 12 33 10 cos, 1010 n n n n nn ， 易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为 3 10 10 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）由题意得| | | 42 |QMQNQMQPMPMN， 根据椭圆的定义得点 Q 的轨迹 E 是以 M、N 为焦点的椭圆， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2a ，1c ，3b ，轨迹方程为 22 1 43 xy （2）由题意知 1 22| 2 ABDABO SS
18、AB dd AB （d 为点 O 到直线 l 的距离） ， 设 l 的方程为1ykx，联立方程得 22 1 1 43 ykx xy ， 消去 y 得 22 34880kxkx， 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 2 8 34 k xx k ， 12 2 8 34 x x k ， 则 22 2 2 1212 2 4 61 21 |14 34 kk ABkxxx x k ， 又 2 1 1 d k ， 2 2 4 61 2 | 34 ABD k Sd AB k ， 令 2 1 2kt，由 2 0k ，得1t， 2 4 64 6 1 21 2 ABD t S t t t ，1t，
19、易证 1 2yt t 在(1,)上递增， 1 23t t ， 4 6 3 ABD S，ABD面积 S 的最大值为 4 6 3 21 （本小题满分 12 分） 解： （1）当0a时，函数( )20 x fxea，( )f x在R上单调递增； 当0a 时，函数( )2 x fxea， 20 x ea，得ln( 2 )xa，当(,ln( 2 )xa 时， ( )0fx，函数( )f x单调递减； 当(ln( 2 ),)xa时，( )0fx，函数单调递增 （2）由（1）知：当0a时，函数( )20 x fxea，不符合题意 当0a 时，函数( )2 x fxea， 20 x ea，得ln( 2 )xa
20、，当(,ln( 2 )xa 时， ( )0fx，函数( )f x单调递减； 当(ln( 2 ),)xa时，( )0fx，函数单调递增 当ln( 2 ) 1a，即0 2 e a时，( )f x在1,)上的最小值为(1)2fae 令20ae，得 2 e a ，符合题意 当ln( 2 )1a，即 2 e a 时，( )f x最小值为(ln( 2 )22 ln( 2 )faaaa 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 令22 ln( 2 )0aaa，得 2 e a ，不符合题意，综上 2 e a （3）构建新函数( )2 xx g xeeax ，( )2 xx g xeea ，
21、当22a时，即1a，因为2 xx ee，所以( ) 0g x， （1a ，仅当0 x 时，( )0g x） ，所以( )g x在R上单调递增.又(0)0g， 所以当1a时，对于任意0 x都有( ) 0g x 当22a 时，即1a 时，20 xx eea ，即 2 210 xx eae ，得 22 11 x aaeaa ， （ 2 011aa ， 2 11aa ， ） 所以 22 ln1ln1aaxaa ， 且 2 ln10aa ， 2 ln10aa ， 所以( )g x在 2 0,ln1aa 上单调递减，又(0)0g， 所以存在 2 0 0,ln1xaa ， 0 0g x，不符合题意. 综上，
22、a 的取值范围为 1,) . （二）选考题（共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分） 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 解： （1）因为 2 sin2 cosa，所以 2 ( sin )2cosa， 即曲线 C 的普通方程为 2 2yax（0a ） ， 由直线 l： 2 4 xt yt ，得直线 l 的普通方程为2yx. （2）直线 l 的参数方程为 2 2 2 2 4 2 xt yt （t 为参数） ，代入 2 2yax， 得到 2 2 2(4)8(4)0ta ta，8 (4)0aa . 设点 M、N 分别对应参数 1
23、 t、 2 t，恰为上述方程的根，则有 12 2 2(4)tta， 12 8(4)t ta，则 12 0t t . 又 1| | |PMt， 2| | |PNt， 12| | |MNtt. 因为 2 | |MNPMPN， 所以 22 12121212 4ttttt tt t，代入 12 tt、 12 t t 的值得 2 340aa， 得1a 或4a . 因为0a ，所以1a . 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 解:（1）当2a 时，知( ) |2|1|(2)(1)| 3f xxxxx， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 当(2)(1) 0 xx ，即12x 时取等号， ( )f x的最小值是 3. （2）( ) |1|()(1)| |1|f xxaxxaxa，当()(1) 0 xa x 时取等号， 若关于 x 的不等式( )2f x 的解集不是空集，只需|1| 2a，解得31a ，即实数 a 的取值范围是( 3,1).
