1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2019 级高三上学期阶段考试级高三上学期阶段考试 数学试题（理）数学试题（理） 试题说明：试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 150 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 一、一、选择题选择题（本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，每道题每道题 4 个选项中只有一个符个选项中只有一个符 合题目要求）合题目要求） 1.已知集合，则 A.B.C.D. 2.设数是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 A.1B.2C.D.4 3.曲线
2、在点处的切线方程为 A.B.C.D. 4.已知向量，若，则实数 m 的值为 A.9B.7C.17D.21 5.如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的 5 次数学测试的 班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是 A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班 B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定 C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班 D.甲、乙两班所有学生这 5 次数学测试的总平均分是 103 6.设函数，则下列结论错误的是 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） A.的一个对称中心为 B.的图象关于直线对称 C.的一个零点为 D.在单调递减 7.现将 5 张连号的电影票
3、分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同 分法的种数为 A.12B.24C.48D.60 8.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A.2B.C.D. 9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日 脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的 地，请问第二天走了 A.192 里B.96 里C.48 里D.24 里 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 10.已知 A，B 是
4、球 O 的球面上两点，C 为该球面上的动点，若三棱锥体积 的最大值为，则球 O 的表面积为 A.B.C.D. 11.已知点 A 是抛物线的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且 满足，若 m 取最大值时，点 P 恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心 率为 A.B.C.D. 12.已知数列满足，若前 n 项之和为，则满足不等式 的最小整数 n 是 A. 60B.62C.63D. 65 二、二、填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.设，则 z 的虚部为 14.已知是定义在 R 上的奇函数，当时，则 15.已
5、知 A、B、C 为的三内角，且角 A 为锐角，若，则的最小值 为 16.如图，在中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，AD 与 CE 交于点若，则的值是 三三、解答题解答题（共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 17.在中，角所对应的边分别为，且满足， 求的面积； 若，求 a 的值 18. 正项等比数列的
6、前 n 项和为，若，且点在函数的 图象上 求，通项公式； 记，求的前 n 项和. 19.如图，在正方体中，E 为的中点 求证：平面； 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 求直线与平面所成角的正弦值 20.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆：的左焦点为， 且点 在上 求椭圆的方程； 设直线 l 同时与椭圆和抛物线：相切，求直线 l 的方程 21.已知函数其中 a 为参数 求函数的单调区间； 若对任意都有成立，求实数 a 的取值集合； 证明：其中为自然对数的底数 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 22.已知曲线 C：，直线 l：为参数 ，点
7、P 的坐标为 写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； 若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求的值 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 参考答案 1.【答案】D 【解答】 解： 集合， 故选 D 2.【答案】B 【解答】 解：由条件，所以， 设公差为 d，则，解得， 又数列单调递增，所以， 所以， 故选 B 3.【答案】A 【解答】 解：， ，则切线斜率， 在点处的切线方程为：，即 故选 A 4.【答案】B 【解答】 解：根据题意得，因为， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 所以，得 故选：B 5.【答案】D 【解答】 解：由
8、题意可得甲班的平均分的平均水平是， 中位数是 103， 方差是； 乙班的平均分的平均水平是， 中位数是 101， 方差是， 则 A，B，C 正确； 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算， 故 D 错误 故选 D 6.【答案】D 【解析】解： 函数， 令，求得，故 A 正确； 令，求得，是最值，故 B 正确； 令，求得，故 C 正确； 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 当，故在单调递增，故 D 错误， 故选：D 由题意利用余弦函数的图象和性质，得出结论 本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题 7.【答案】C 【解答】 解：根据题意，分 3 步进行
9、分析： 将电影票分成 4 组，其中 1 组是 2 张连在一起，有 4 种分组方法， 将连在一起的 2 张票分给甲乙，考虑其顺序有种情况， 将剩余的 3 张票全排列，分给其他三人，有种分法， 则共有种不同分法 故选：C 8.【答案】C 【解答】 解：当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后， 当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后， 当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后， 当时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为： ， 故选：C 9.【答案】B 【解析】 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 【解答】 解：由题意可知此人每天走的步数构成 为公比的等比数列， 由题意和
10、等比数列的求和公式可得， 解得， 第此人二天走里， 第二天走了 96 里， 故选 B 10.【答案】B 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球 O 的半径为 R，此时， 故，则球 O 的表面积为， 故选：B 11.【答案】B 【解答】 解：如图，过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 则由抛物线的定义可得， ， 设 PA 的倾斜角为 ，则， 当 m 取得最大值时，最小，此时直线 PA 与抛物线相切， 设直线 PA 的方程为，代入， 可得，即， ， 求得切点坐标， 双曲线的实轴长为，
11、双曲线的离心率为 故选 B 12.【答案】C 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 【解析】解：根据题意，数列，中满足，即+1， 变形可得， 又由，则数列是首项为 4，公比为 的等比数列，则， ， 则8+ 当时， 单调递增,2021故满足不等式的 最小整数 为 63 故选：C 13.【答案】 【解答】 解： ， 即 z 的虚部为 14.【答案】 【解答】 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 解：根据题意，时，则， 又由函数为 R 上的奇函数，则 故选 B 15.【答案】 【解答】 解：，角 A 为锐角， ， ， ， 当且仅当，即时，取等号， 故的最
12、小值为 故答案为 16.【答案】 【解答】 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 解：设， ， ， ， ， ， ， ， 又=，=, BD=CD,= 故答案为： 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 17.【答案】解：因为， ， 又由， 得， 解法 1：对于，又， 或， 由余弦定理得， 解法 2：，又， 由余弦定理得， 【解析】本题主要考查了解三角形的问题涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角形面积 公式等，属于基础题 利用二倍角公式利用求得 cosA，进而求得 sinA，进而根据求得 bc 的值， 进而根据三角形面积公式求得答案 解法，1，根据
13、bc 和的值求得 b 和 c，进而根据余弦定理求得 a 的值 解法 2，根据 bc 和的值，利用求出答案 18.解：由题意，设等比数列的公比为，则 ， 化简整理，得，解得舍去 ，或， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） ， 点在函数的图象上， ， 由得， 19.【答案】解： 由正方体的性质可知，中，且， 四边形是平行四边形， 又平面，平面，平面E. 以 A 为原点，AD、AB、分别为 x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 a，则0，0，0，a， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（73492435
14、7） 设直线与平面所成角为 ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为 【解析】本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空 间向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题 根据正方体的性质可证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； 以 A 为原点，AD、AB、分别为 x、y 和 z 轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所 成角为 ，先求出平面的法向量，再利用，以及空间向量 数量积的坐标运算即可得解 20.【答案】解：因为椭圆的左焦点为，所以， 点代入椭圆，得，即， 所以 所以椭圆的方程为 直线 l 的斜率显然存在， 设直线 l 的方程为，
15、由，消去 y 并整理得， 因为直线 l 与椭圆相切， 所以 整理得 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 由，消去 y 并整理得 因为直线 l 与抛物线相切，所以 整理得 综合，解得或 所以直线 l 的方程为或 【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解 答，注意合理地进行等价转化 因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，由此能求 出椭圆的方程 设直线 l 的方程为，由，得因为直线 l 与椭圆相切，所以由此能求出直线 l 的方程 21.【答案】解：， ， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 当时，恒成立
16、， 在上单调递增； 当时，令，得， 时，单调递减， 时，单调递增； 综上：时，在上递增，无减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 对恒成立， ， 当时，由知在定义域内单调递增， 当时，不符合题意； 当时，由知 令，则， 令，则， a1 0 极大值 ， 又， 的唯一解为， 实数 a 的取值集合为 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 证明：要证， 两边取对数，只要证， ， 即要证， 令，则只要证， 由知当时， 在上单调递增， ，即， 令， ， 在上单调递增， ，即， 综上可得，得证，即原不等式得证 【解析】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要
17、认真审题，注意构造法、 导数性质的合理运用，属于难题 求出，再讨论 a 的取值范围，从而求出其单调区间； 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 按和分类讨论，适当构造函数通过求导讨论最值即可得解 分析原不等式，要证，即证，令，则只要 证，利用的结论证明右边不等式，构造函数证明左边不等式即 可 22.【答案】解：由曲线 C：的方程可得其参数方程为：为参数 ； 由直线 l：为参数 ，消参 t 可得， 即直线 l 的普通方程为：； 法 联立直线 l 与椭圆的方程：， 整理可得：， 解得， 代入直线 l 的方程可得， 所以设， 所以； 法将直线 l 的标准的参数方程代入椭圆中可得：，整理可得： ， ，可得，同号， 所以 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 【解析】由椭圆的参数方程的求法及椭圆的方程可得 C 的参数方程，将 t 消去可得直线 l 的普通 方程； 法 将直线 l 的普通方程与椭圆的普通方程联立求出交点的坐标，进而求出的值 法用直线 l 的标准的参数方程代入椭圆的普通方程可得 t 的二次方程，求出两根之和及两根之积， 由两根之积大于 0 可得，的符合相同，进而可得的值 本题考查椭圆及直线的普通方程与参数方程之间的互化，及求直线与椭圆的交点弦长的求法，属于 中档题
